1、【课标要求课标要求】1.1基本计数原理理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题12理解两个计数原理的内容及它们的区别理解两个计数原理的内容及它们的区别(难点难点)两个计数原理的应用两个计数原理的应用(重点重点)应用两个计数原理时，合理选择分类还是分步应用两个计数原理时，合理选择分类还是分步(易混点易混点)【核心扫描】123分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理自学导引分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理做一件事，完成它有做一件事，完成它有n类办类办法，在第一类办法中有法，在第一类办法中有m1种
2、种不同的方法，在第二类办法不同的方法，在第二类办法中有中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n类办法中有类办法中有mn种不同种不同的方法，那么完成这件事共的方法，那么完成这件事共有有N_种种不同的方法不同的方法.做一件事，完成它需要分成做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步种不同的方法，做第二个步骤有骤有m2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n个步骤有个步骤有mn种不同的方种不同的方法，那么完成这件事共有法，那么完成这件事共有N_种不同的种不同的方法方法.m1m2mnm1m2mn想一想想一想：两个原理中对：两个原理中对“完成一
3、件事完成一件事”的要求有什么不同？的要求有什么不同？提示提示分类加法计数原理中，每一类方案中的每一种方法分类加法计数原理中，每一类方案中的每一种方法都能都能“完成一件事完成一件事”；分步乘法计数原理中，只有两步全部；分步乘法计数原理中，只有两步全部完成，才算完成，才算“完成一件事完成一件事”分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系名师点睛分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理关键词关键词分类分类分步分步本质本质每类方法都能独立地每类方法都能独立地完成这件事，它是独完成这件事，它是独立的、一次性的且每立的、一次性的且每
4、次得到的是最后结次得到的是最后结果，只需一种方法就果，只需一种方法就可完成这件事可完成这件事每一步得到的只是中间结每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这步骤都完成了，才能完成这件事件事各类各类(步步)的关系的关系各类办法之间是互斥各类办法之间是互斥的、并列的、独立的、并列的、独立的，即的，即“分类互斥分类互斥”各步之间是关联的、独立各步之间是关联的、独立的，的，“关联关联”确保连续性，确保连续性，“独立独立”确保不重复，即确保不重复，即“分步互
5、依分步互依”题型一分类加法计数原理的应用 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？共有多少个？思路探索思路探索 该问题与计数有关，完成这件事只要两位数的该问题与计数有关，完成这件事只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此只要考虑十个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此只要考虑十位或个位上的数字情况进行分类即可位或个位上的数字情况进行分类即可【例1】解法一解法一根据题意将十位上的数字分别是根据题意将十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的类，在每一类中满足题目条
6、件的两位数分别是两位数分别是8个，个，7个，个，6个，个，5个，个，4个，个，3个，个，2个，个，1个个由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：8765432136(个个)法二法二根据题意将个位上的数字分别是根据题意将个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9的情况分成的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是数分别是1个，个，2个，个，3个，个，4个，个，5个，个，6个，个，7个，个，8个个由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有，由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有，12
7、34567836(个个)规律方法规律方法分类加法计数原理要求每一类中的各种方法都分类加法计数原理要求每一类中的各种方法都是相互独立的，且每一类方法中的每一种方法都可以独立是相互独立的，且每一类方法中的每一种方法都可以独立地完成这件事在应用该原理解题时，首先要根据问题的地完成这件事在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准分类时应满足：完成一件事的特点，确定好分类的标准分类时应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类书架上层放有书架上层放有15本不同的数学书，中层放有本不同的数学书，中层放有16本不本不同的语文书，下层放有
8、同的语文书，下层放有14本不同的化学书，某人从中取出本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？一本书，有多少种不同的取法？解解要完成要完成“取一本书取一本书”这件事有三类不同的取法：第这件事有三类不同的取法：第1类，从上层取一本数学书有类，从上层取一本数学书有15种不同的取法；第种不同的取法；第2类，从类，从中层取一本语文书有中层取一本语文书有16种不同方法；第种不同方法；第3类，从下层取一类，从下层取一本化学书有本化学书有14种不同方法其中任何一种取法都能独立完种不同方法其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事，故从中取一本书的方法种数为成取一本书这件事，故从中取一本书的方法
9、种数为15161445.【变式1】已知集合已知集合M3，2，1，0，1，2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，问：表示平面上的点，问：(1)点点P可表示平面上多少个不同的点？可表示平面上多少个不同的点？(2)点点P可表示平面上多少个第二象限内的点？可表示平面上多少个第二象限内的点？思路探索思路探索 完成完成“确定点确定点P”这件事，需要依次确定点这件事，需要依次确定点P的的横、纵坐标，应运用分步乘法计数原理求解横、纵坐标，应运用分步乘法计数原理求解解解(1)确定平面上的点确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步，可分两步完成：第一步确定确定a的值，有的值，有6种不同方法；第二步确
10、定种不同方法；第二步确定b的值，也有的值，也有6种种不同方法根据分步乘法计数原理，得到平面上点不同方法根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个的个数为数为6636.题型二分步乘法计数原理的应用【例2】(2)确定平面上第二象限内的点确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步，可分两步完成：第一步确定确定a的值，由于的值，由于a0，所以有，所以有3种不同方法；第二步确定种不同方法；第二步确定b的值，由于的值，由于b0，所以有，所以有2种不同方法由分步乘法计数种不同方法由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为的个数为326.规律方法规律方法利用分步乘
11、法计数原理解决问题应注意：利用分步乘法计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事都完成才算完成这件事乒乓球队的乒乓球队的10名队员中有名队员中有3名主力队员，派名主力队员，派5名参加名参加比赛，比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名名队员选队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？多少
12、种？解解按出场位置顺序逐一安排第一位置队员的安排有按出场位置顺序逐一安排第一位置队员的安排有3种方法；第二位置队员的安排有种方法；第二位置队员的安排有7种方法；第三位置队员种方法；第三位置队员的安排有的安排有2种方法；第四位置队员的安排有种方法；第四位置队员的安排有6种方法；第五种方法；第五位置队员的安排只有位置队员的安排只有1种方法种方法由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有37261252(种种)【变式2】现有高一四个班的学生现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班人，其中一、二、三、四班各各7人、人、8人、人、9人、人、10人，他们自
13、愿组成数学课外小组人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？少种不同的选法？题型三两个原理的综合应用【例3】规范解答规范解答(1)分四类：第一类，从一班学生中选分四类：第一类，从一班学生中选1人，有人，有7种选法；第二类，从二班学生中选种选法；第二类，从二班学生中选1人，有人，有8种选法；第三种选法；第三类，从三班学生中选类，从三
14、班学生中选1人，有人，有9种选法；第四类，从四班学种选法；第四类，从四班学生中选生中选1人，有人，有10种选法种选法所以，共有不同的选法所以，共有不同的选法N7891034(种种)(4分分)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长学生中选一人任组长所以，共有不同的选法所以，共有不同的选法N789105 040(种种)(8分分)(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，人，有有78种不同的选法；从一、三班学生中各选种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有人，有7
15、9种不同的选法；从一、四班学生中各选种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有人，有89种不种不同的选法；从二、四班学生中各选同的选法；从二、四班学生中各选1人，有人，有810种不同的种不同的选法；从三、四班学生中各选选法；从三、四班学生中各选1人，有人，有910种不同的选种不同的选法法所以，共有不同的选法所以，共有不同的选法N787971089810910431(种种)(12分分)【题后反思题后反思】(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清在处理具体的应用题时，首先必须弄清是是“分类分类”还是还是“分步分
16、步”，其次要搞清，其次要搞清“分类分类”或或“分步分步”的具体的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，可以避免计数的重复或遗漏立完成这件事，可以避免计数的重复或遗漏(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰或列出表格，使问题更加直观、清晰在在7名学生中，有名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有名会下象棋但不会下围棋，有2名会
17、下围棋但不会下象棋，另名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围名既会下象棋又会下围棋，现从这棋，现从这7人中选人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？解解分四类求解：分四类求解：(1)从从3名只会下象棋的学生中选名只会下象棋的学生中选1名参加名参加象棋比赛，同时从象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选名只会下围棋的学生中选1名参加围棋名参加围棋比赛有比赛有326种选法；种选法；(2)从从3名只会下象棋的学生中选名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选名
18、既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有名参加围棋比赛有326种选法；种选法；【变式3】(3)从从2名只会下围棋的学生中选名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有名参加象棋比赛有224种选法；种选法；(4)从从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比名参加象棋比赛，剩下的一名参加围棋比赛，有赛，剩下的一名参加围棋比赛，有212种选法种选法根据分类加法计数原理，一共有根据分类加法计数原理，一共有664218种不同的种不同的选法选法 分类讨
19、论思想是计数原理的重要思想，尤其体现在两分类讨论思想是计数原理的重要思想，尤其体现在两个原理的综合应用上，对于个原理的综合应用上，对于“完成某件事完成某件事”大多根据实际大多根据实际进行合理分类尤其对于涂色问题，因为问题解决稍显复进行合理分类尤其对于涂色问题，因为问题解决稍显复杂，既能考查两个原理的应用，又能体现分类讨论思想，杂，既能考查两个原理的应用，又能体现分类讨论思想，倍受命题者的青睐倍受命题者的青睐 方法技巧分类讨论思想在计数原理中的应用【示例】如图有4个编号为1、2、3、4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不
20、同的涂色方法？思路分析思路分析 明确用明确用5种颜色涂种颜色涂4个区域，分别考虑个区域，分别考虑1、3同色同色和和1、3不同色两种情况分类讨论说明不同色两种情况分类讨论说明解解分为两类：分为两类：第一类：若第一类：若1、3同色，则同色，则1有有5种涂法，种涂法，2有有4种涂法，种涂法，3有有1种种涂法涂法(与与1相同相同)，4有有4种涂法种涂法故故N1541480(种种)第二类：若第二类：若1、3不同色，则不同色，则1有有5种涂法，种涂法，2有有4种涂法，种涂法，3有有3种涂法，种涂法，4有有3种涂法种涂法故故N25433180(种种)综上可知不同的涂法共有综上可知不同的涂法共有NN1N280180260(种种)方法点评方法点评 涂色问题中包含着丰富的数学思想，解决涂色涂色问题中包含着丰富的数学思想，解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变因而这类问题有利于培养问题方法技巧性强且灵活多变因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力于开发学生的智力
