1、第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9.1 引言引言9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷材料力学材料力学各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式支承情况支承情况两端铰支两端铰支一端固定一端固定另端铰支另端铰支两端固定两端固定一端固定一端固定另端自由另端自由失稳时挠曲线形状失稳时挠曲线形状临界载荷临界载荷Fcr的欧拉的欧拉公式公式长
2、度系数长度系数 2cr2EIFl2cr2(0.7)EIFl2cr2(0.5)EIFl2cr2(2)EIFl=1 0.7=0.5=29.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷crspcrscrab2cr2Esp2cr11CBab段：9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力3crststFFFncrstFnnF9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件stFstn49.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件 st 稳定计算的三类问题稳定计算的三类问题 1.稳定校核稳定校核 2.选择截面选择截面 3.确定许用载荷确定许用载荷9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件压杆稳定性计
3、算步骤压杆稳定性计算步骤 a、计算、计算 、与与 :ps,2PPEss,abminlib、由压杆类型算、由压杆类型算 cr:，大柔度杆大柔度杆，p 2cr2E，中柔度杆中柔度杆，根据有关经验根据有关经验 公式计算。公式计算。sp crc、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：crst;ncrstAFnd、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算 来实现。来实现。crFA 9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计 il 22cr E 9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计IAlilyyzzilil
4、zyII 22cr E 增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计 例例6 厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=270 kN。根据杆端约束情况，该钢柱的长度系数取为1.3。钢柱长7 m，材料为Q235钢，强度许用应力=170 MPa。该柱属于b类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有4个直径为d0=30 mm的螺钉孔。试为该钢柱选择槽钢型号。9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计解解：1.按稳定条件选择槽钢号码 为保
5、证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有同样的稳定性，应根据y=z确定两槽钢的合理间距h。现先按压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码。假设0.50，得到压杆的稳定许用应力为 MPa85MPa17050.0st因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为 2463stm109.15Pa10852/N102702/FA9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为 A=18.51 cm218.5110-4 m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52 cm=55.2 mm。下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数 是否不小于假设的 0.5。1
6、65m102.55m73.13zil 注意到此组合截面对于z 轴的惯性矩 Iz 和面积 A 都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz 值就等于单根槽钢的iz 值。于是有该组合截面压杆的柔度：9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计由图9.11查得，Q235钢压杆相应的稳定因数为0.262。显然，前面假设的0.5这个值过大，需重新假设 值再来试算；重新假设的 值大致上取以前面假设的0.5和所得的0.262的平均值为基础稍偏于所得 的值。重新假设0.35，于是有 MPa5.59MPa17035.0st 2463stm107.22Pa105.59N101352/FA9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计试选1
7、6号槽钢，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，从而有组合截面压杆的柔度：2.149m1061m73.13由图9.11得 0.311，它略小于假设的0.35。现按采用2根16号槽钢的组合截面柱而0.311进行稳定性校核。此时稳定许用应力为 MPa9.52MPa170311.0st按横截面毛面积(不计螺孔)算得的工作应力为MPa7.53m1015.25N101352/243AF9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过1.5，这是允许的。2.计算钢柱两槽钢的合理间距 由于认为此钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的柔度y=z。根据 可知
8、，也就是要求组合截面的惯性矩Iy=Iz。AIlil9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则IyIz的条件可表达为20022200hzAIIyz亦即20202022200hziAiAyz消去公因子2A0后有2022200hziiyz在选用16号槽钢的情况下，上式为2222mm5.17mm2.18mm61h9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计由此求得 h81.4 mm。实际采用的间距h不应小于此值。3.按钢柱的净横截面积校核强度钢柱的净横截面积为2333240m10830.3m1030m10104m1015.2
9、5242dA按净面积算得的用于强度计算的工作应力为MPa5.70m10830.3N10270422330dAF它小于强度许用应力=170 MPa，满足强度条件。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9.1 引言引言9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷材料力学材料力学I9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷UWddlsx22221ddd1 d1d2sxyyxyx21 d2ly
10、x2crcr d2lFWFyx9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷ABxlFcrxB ds9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷 22d d22llMxEIUxyxEI2crcr d2lFWFyx2cr2 d dllEIyxFyx2cr2d dllMEIxFyxABxlFcrxB ds2222llxay 00lyy 22crcr22llM xF yF ax 9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷ABCyxlFx2cr2d dllMEIxFyx22 3crcr02d226lFF a llWa xx23222222222 5crcrcr00d
11、d222260llF yF aF a lllUxxxEIEIEI210lEIFcr2cr2EIFl9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷2cr2 d dllEIyxFyx22200 d2d222llEIEIUyxaxEIa lcr212EIFl9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷 22crcr22llM xF yF ax 2cr2d dllMEIxFyx2cr2 d dllEIyxFyx9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷 xlxfy2cos1f 222201 dsin216xflxxyxxll 22crcr0d184lq fWx qx
12、422301 d264lEIfUEIyxlcr38.30EIql9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷UWcr37.83EIql279.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷 x crdlxM xy qlf2cos1 cr2cos1 sin22xlxM xfqlxll 2223cr2301932d226lMxf q lUxEIEIcr27.89EIql%77.0第九章第九章 压杆稳定压杆稳定材料力学材料力学2cr2EIFl2cr2EcrststFFFn st crstFnnF第八章第八章 能量法能量法一、杆件的应变能一、杆件的应变能二、应变能普遍表达式二、应变能
13、普遍表达式(克拉贝隆原理克拉贝隆原理)三、卡氏定理三、卡氏定理能量法能量法四、互等定理四、互等定理五、虚功原理五、虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法六、超静定问题六、超静定问题 力法力法七、冲击应力七、冲击应力求解弹性体系求解弹性体系(如杆件如杆件)的变形可采用的方法：的变形可采用的方法：1 1、分析法分析法/解析法解析法平衡方程平衡方程静力平衡关系静力平衡关系几何方程几何方程变形变形几何关系几何关系物理方程物理方程应力应变关系应力应变关系 利用利用应变能应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。方法。在求解在求解组合变形组合变形、曲杆或杆
14、系曲杆或杆系以及以及超静定问题超静定问题时，能量时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。能量法能量法/基本概念基本概念2 2、能量法、能量法能量法有关的几个基本概念能量法有关的几个基本概念 3 3、能量守恒：、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损 失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U 在数值上与外力所作的功在数值上与外力所作的功 W 相等。相等。功能原理功能原理 UW1 1、外力功、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力线弹性体系在外
15、力的作用下产生变形，每个外力 在与它相对应的位移上所作的功在与它相对应的位移上所作的功 W。2 2、应变能、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 被储存的能量即为被储存的能量即为应变能应变能或或变形能变形能 U。能量法能量法/基本概念基本概念一、杆件产生基本变形时的应变能一、杆件产生基本变形时的应变能1 1、轴向拉伸或压缩、轴向拉伸或压缩FL LOB LFA22N212222UWF LF LF LEAEAEALL能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能式中式中 轴力，轴力，A 横截面面积横截面面积NF由拉压杆件组成的杆系的应变能：由拉压
16、杆件组成的杆系的应变能：122N111222niiinniiiiiiiiiiUWF LF LF LE AE AF12345 结构中第结构中第i杆的轴力杆的轴力 Li结构中第结构中第i杆的长度，杆的长度，Ai 第第i杆的截面面积杆的截面面积式中式中 n杆系中杆件的总数。杆系中杆件的总数。NiF能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能取微段研究取微段研究：N()dd()FxxLEA微段的应变能微段的应变能：2NN()d1d()d()22Fx xUF xLEA整个杆件的整个杆件的拉压应变能拉压应变能2N()dd2LLFxxUUEA受力复杂杆受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化轴力沿杆的轴线变化)的应变能的应
17、变能qLdxdx(dx)N()FxNN()dFxFx能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能2 2、圆截面杆的扭转、圆截面杆的扭转mLmOBmA圆截面杆的应变能圆截面杆的应变能22p2pp12222GIT Lm LUWmGIGIL式中式中 T 圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面对圆心的极惯性矩。圆杆横截面对圆心的极惯性矩。pI能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能受力复杂的圆截面杆受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量扭矩沿杆的轴线为变量)d dxTT2pd1dd22TxUTGI整个杆的整个杆的扭转应变能扭转应变能为为2p()dd2LLTxxUUGI可取微段分析：可取微段分析：
18、能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能3 3、平面弯曲、平面弯曲22222221LEIEILMEILmmWU纯弯曲梁的应变能：纯弯曲梁的应变能：式中式中 M 梁横截面上的弯矩；梁横截面上的弯矩；I 梁横截面对中性轴的惯性矩梁横截面对中性轴的惯性矩LmmoBAm能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能横力弯曲梁横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能的应变能221()dd()d22Mx xUMxEI整梁的整梁的弯曲应变能弯曲应变能2()dd2LLMxxUUEI按微段分析：按微段分析：2N()dd2LLFxxUUEA2p()dd2LLTxxUUGI能量法能量法/杆件的应变能杆件
19、的应变能4 4、剪切、剪切纯剪切时微段梁的应变能：纯剪切时微段梁的应变能：FSdxFSOBCFS/A SS1dd21d2UFxFxG2S()1d2FxGA 由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此因此微段梁的应变能为：微段梁的应变能为：2S()dd2FxUkGA能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能整个梁的整个梁的剪切应变能剪切应变能：2S()dd2LLFxUUkGA式式中中222()dAASAkIb(b为截面的宽度，为截面的宽度，S为截面对中性为截面对中性轴的静矩轴的静矩)(2)一般实心截面的细长梁一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲剪
20、切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。应变能，通常忽略不计。(1)k 由截面的几何形状决定由截面的几何形状决定:矩形截面矩形截面:k=1.2,圆截面圆截面:k=10/9,圆环形截面圆环形截面:k=2能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能F例：矩形截面悬臂梁，长例：矩形截面悬臂梁，长L，截，截面高面高h，宽，宽b，k=1.2。22()d0.62sSLFxF LUkGAGbh2233()d22bLMxxF LUEIEbh253(1)bSULUh细长梁细长梁5Lh125303(1)bSUU整个梁的弯曲应变能：整个梁的弯曲应变能：细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！细长梁的剪切应变能远
21、小于弯曲应变能，可忽略不计！整个梁的剪切应变能：整个梁的剪切应变能：得得解：解：二、应变能的普遍表达式二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理克拉贝隆原理)FOB A基本变形下应变能的一般表达式：基本变形下应变能的一般表达式：式中式中F广义力广义力(力或力偶力或力偶)；广义位移广义位移(线位移或角位移线位移或角位移)且且 F=C (力与位移成线性关系力与位移成线性关系)表明：表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。移的最终值，与加载的过程无关。22111222FUWFCC能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理应变能
22、的普遍表达式应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理克拉贝隆原理)的导出的导出1F2FiFnF1F2FiFnF12in 设在某弹性体上作用有外力设在某弹性体上作用有外力12,nF FF，在支承约束，在支承约束下，在相应的力下，在相应的力 方向产生的位移为方向产生的位移为iFi，(i=1,2,n)。则物体的应变能为：则物体的应变能为：112niiiUWF能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理证明证明：弹性体在弹性体在 载荷作用下同时发生几种基本变形载荷作用下同时发生几种基本变形 (即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只 取决于外力和位移的终值，与
23、加力顺序无关。取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。12,nF FF因此可假设因此可假设12,nF FF 按同一比例按同一比例 从零逐渐增加到终值，从零逐渐增加到终值，即外力增加的过程为即外力增加的过程为：0(1,2,)iiFF in 若材料是线弹性的，则对应的位移也以若材料是线弹性的，则对应的位移也以 的比例增加，相的比例增加，相应的位移为：应的位移为：0(1,2,)iiin式中式中 ：0 01(1(从从0 0线性增加到线性增加到1)1)能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理如果如果 增加增加d，则位移的相应增量为：，则位移的相应增量为：12d,d,d,n 则外力则外力12(d),(d),
24、(d,)nFFF在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：11d(d)ddnniiiiiiWFF积分得积分得10111d2nniiiiiiWFFU 此式称为此式称为克拉贝隆原理克拉贝隆原理。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理：广义力广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶，可以是一个力，也可以是一个力偶，或者是一对力，或者是一对力偶或者是一对力，或者是一对力偶。iFi 在所有力共同作用下在所有力共同作用下(因因 与全部作用力有关与全部作用力有关)，与广义力与广义力 相对应的沿着力的方向的广义位移。相对应的沿着力的方向的广义位移。力力沿力矢方向的线
25、位移沿力矢方向的线位移 力偶力偶力偶转向的角位移力偶转向的角位移 一对力一对力该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移 一对力偶一对力偶该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移iiF能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理F 力：力：F，位移：，位移：力：力：m，位移：，位移：FFLL+力：力：F，位移：，位移：力：力：m，位移：，位移：mm m 能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理1 以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变形能的计算。变形能的计算。2 应变能可以通过
26、应变能可以通过外力功外力功计算，也可以通过杆件微段计算，也可以通过杆件微段上的上的内力功内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。杆件上的应变能。3 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理 在应变能计算中不能使用在应变能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。例如：做功时，才可应用。例如：能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理222Np()d()d()d222LLLFx xTx xMx xUEAGIEI4 应变能是恒
27、为正的标量，与坐标轴的选择无关，应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理M(x)只产生弯曲转角FN(x)只产生轴向线位移T(x)只产生扭转角不计FS 产生的应变能例例1 1 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的的 竖直位移。已知竖直位移。已知E=200=200GPa,F=57.6=57.6kN。斜杆。斜杆AB由两根由两根 50 50 5mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积等边角钢组成，每根角钢的横截面面积 ，横杆，横杆AC由两根由两根N
28、o.10No.10槽槽钢组成，每根槽钢钢组成，每根槽钢的横截面面积的横截面面积 。设各杆自重可以不计。设各杆自重可以不计。214.8cmA 2212.74cmA F30ACB2m能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理解解:F1NF2NFA由节点由节点A的平衡条件求得的平衡条件求得AB杆的内力：杆的内力：1N2115.2 kNFFAC杆的内力为：杆的内力为：21NNcos3099.8 kNFF杆系的应变能：杆系的应变能：1222NN12172 J22ABACF LF LUEAEA设节点设节点A的竖直位移为的竖直位移为 ，则由，则由 得：得：A12AUWP5.97 mm12AUP能量法能量法/克拉
29、贝隆原理克拉贝隆原理例例2 2 图示等截面悬臂梁，图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受集中力已知。在自由端受集中力F 和集和集中力偶中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响种不同的加载次序，略去剪力的影响。解解：(1)(1)集中力集中力F和集中力偶和集中力偶m同时由同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。零开始按比例逐渐增加至最终值。32()32BFLmLEIEI梁自由端的转角为：梁自由端的转角为：22BFLmLEIEI(方向与方向与m一致一致)F mL自由端的垂直位移为：自由端的垂直位移为
30、：梁的应变能梁的应变能23221122622BBF LFmLm LUFmEIEIEI能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理(2)(2)先作用先作用F,加载时做功为加载时做功为：3123FLFEI 再加力偶矩再加力偶矩m，外力所作的功为，外力所作的功为：2122mLmLFmEIEI梁的总应变能：梁的总应变能：2322622F LFmLm LUEIEIEI 从这两种不同的加载次序来看，从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始梁的应变能仅与载荷的始态和终态有关，而与加载次序无关。态和终态有关，而与加载次序无关。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理F mL(3)(3)AB 梁的应变能也可通
31、过截面上的内力来计算。梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。()()()FmM xMxMxFxm 代入应变能的内力表达式：代入应变能的内力表达式：220()d()d22LLM x xFx mUxEIEI2 322622F LFmLm LEIEIEI 弯矩方程：弯矩方程：能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理F mL从结果中可以看到：第一、三项分别为从结果中可以看到：第一、三项分别为F和和m单独作用时单独作用时的的应变能，应变能，故故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各同时作用在杆内所引起的应变能不等于各载荷单独作用时所引起的应变能之和载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载。其原因是这两个载荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位移上做了功（结果中的第二项即代表移上做了功（结果中的第二项即代表F和和m共同作用时在相共同作用时在相互影响下所做的功）。互影响下所做的功）。2322622F LFmLm LUEIEIEI能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理F mL
