1、2006 年全国中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动 433e870d3a2c3112f74ae207882f3ba4 第 1 页 共 7 页 2006-08-31 课题：课题：18181 1 勾股定理勾股定理 教材：义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册（人民教育出版社） 说课教师：四川省南充市第七中学 汪 敏 教学任务教学任务 教 学 目 标 知识与技能目标 理解并掌握勾股定理及其证明. 过程与方法目标 在学生经历“观察猜想归纳验证”勾股 定理的过程中， 发展合情推理能力， 体会数形结合和 从特殊到一般的思想. 情感与态度目标 通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化，激 发学习兴趣； 在
2、探究活动中， 培养学生的合作交流意识和探索 精神. 重点 探索和证明勾股定理. 难点 用拼图方法证明勾股定理. 教学教学准备准备 教具 多媒体课件. 学具 剪刀和边长分别为 a、b 的两个连体正方形纸片. 教学流程教学流程安排安排 活动流程图 活动内容和目的 活动 1 创设情境激发兴趣 通过对赵爽弦图的了解，激发起学生对勾 股定理的探索兴趣. 活动 2 观察特例发现新知 通过问题激发学生好奇、探究和主动学习 的欲望. 活动 3 深入探究交流归纳 观察分析方格图，得出直角三角形的性质 勾股定理， 发展学生分析问题的能力. 活动 4 拼图验证加深理解 通过剪拼赵爽弦图证明勾股定理，体会数 形结合思
3、想，激发探索精神. 活动 5 实践应用拓展提高 初步应用所学知识，加深理解. 活动 6 回顾小结整体感知 回顾、反思、交流. 活动 7 布置作业巩固加深 巩固、发展提高. 2006 年全国中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动 433e870d3a2c3112f74ae207882f3ba4 第 2 页 共 7 页 2006-08-31 教学过程教学过程设计设计 问题与情境 师生行为 设计意图 活动 1 创设情境激发兴趣 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会， 它是最 高水平的全球性数学科学学 术会议，被誉为数学界的“奥 运会”.这就是本届大会会徽 的图案. 它象一个转动的风 车，
4、挥舞着手臂，欢迎来自世 界各国的数学家们. . （1） 你见过这个图案吗？ （2） 你听说过 “勾股定理” 吗？ 会徽 教师出示照片及图片. 学生观察图片发表见解. 教师作补充说明： 这个图案是我国汉代数 学家赵爽用来证明勾股定理 的“赵爽弦图”加工而来，展 现了我国古代对勾股定理的 研究成果， 是我国古代数学的 骄傲. 教师应重点关注： （1）学生对“赵爽弦图” 及勾股定理的历史是否感兴 趣； （2）学生对勾股定理的 了解程度. 通 过 欣 赏 图片，了解历 史， 介绍与勾股 定理有关的背 景知识， 激发学 生学习兴趣， 自 然引出本节课 的课题. 活动 2 观察特例发现新知 毕达哥拉斯是古
5、希腊著名 的数学家.相传在 2500 年以 前，他在朋友家做客时，发现 朋友家用地砖铺成的地面反 映了直角三角形的三边的某种 数量关系. （1）同学们，请你也来观 察下图中的地面， 看看能发现 些什么？ 地面 图 18.1-1 （2）你能找出图 18.1-1 中正方形 A、B、C 面积之间 的关系吗？ （3）图中正方形 A、B、 C 所围等腰直角三角形三边 之间有什么特殊关系? 教师展示图片，提出问 题. 学生独立观察图形， 分析 思考其中隐藏的规律. 学生通过直接数等腰直 角三角形的个数， 或者用割补 的方法将正方形 A、 B 中小等 腰直角三角形补成一个大正 方形得到：正方形 A、B 的面
6、 积之和等于大正方形 C 的面 积. . 教师引导学生， 由正方形 的面积等于边长的平方归纳 出： 等腰直角三角形两条直角 边的平方和等于斜边的平方. 通 过 讲 传 说故事来进一 步激发学生学 习兴趣， 使学生 在不知不觉中 进入学习的最 佳状态. “ 问 题 是 思维的起点” ， 通过层层设问， 引导学生发现 新知. 2006 年全国中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动 433e870d3a2c3112f74ae207882f3ba4 第 3 页 共 7 页 2006-08-31 问题与情境 师生行为 设计意图 活动 3 深入探究交流归纳 （1）等腰直角三角形是特 殊的直角三角形， 一般的
7、直角 三角形是否也具有 “两直角边 的平方和等于斜边的平方” 呢？ A B C 图图1 图 18.1-2 如图 18.1-2， 每个小方格 的面积均为 1， 以格点为顶点， 有一个直角边分别是 2、3 的 直角三角形.仿照上一活动， 我们以这个直角三角形的三 边为边长向外作正方形. （2）想一想，怎样利用小 方格计算正方形 A、B、C 面 积？ 直角三直角三 角形三角形三 边关系边关系 A、B、 C 面积面积 关系关系 图图2 图图1 C的面的面 积积(单位单位 面积面积) B的面积的面积 (单位单位 面积面积) A的面积的面积 (单位单位 面积面积) 直角三直角三 角形三角形三 边关系边关系
8、 A、B、 C 面积面积 关系关系 图图2 图图1 C的面的面 积积(单位单位 面积面积) B的面积的面积 (单位单位 面积面积) A的面积的面积 (单位单位 面积面积) （3）正方形 A、B、C 面积 之间的关系是什么？ （4） 直角三角形三边之间 的关系用命题形式怎样表 述？ 教师出示图表. 学生独立观察并计算各 图中正方形 A、B、C 的面积 并完成填表. 教师参与小组活动，指 导、倾听学生交流.针对不同 认识水平的学生， 引导其用不 同的方法得出大正方形的面 积. 学生分组交流， 展示求面 积的不同方法， 如： 在正方形 C 周围补出四个全等的直角 三角形而得到一个大正方形， 通过图形
9、面积的和差， 得到正 方形 C 的面积.或者，将正方 形 C 分割成四个全等的直角 三角形和一个小正方形， 求得 正方形 C 面积. 学生利用表格有条理地 呈现数据， 归纳得到： 正方形 A、B 的面积之和等于正方形 C 的面积. 在上一活动 “探究等腰直 角三角形三边关系” 的基础 上，学生类比迁移，得到：两 直角边的平方和等于斜边的 平方. 师生共同讨论、交流、逐 步完善，得到命题 1:如果直 角三角形的两直角边长分别 为 a、b，斜边长为 c ，那么 a2 + b2 =c2 . 教师应重点关注： 学生能否主动参与探究 活动， 在讨论中发表自己的见 解， 倾听他人的意见， 对不同 的观点进
10、行质疑，从中获益. 渗 透 从 特 殊到一般的数 学思想.为学生 提供参与数学 活动的时间和 空间， 发挥学生 的主体作用； 培 养学生的类比 迁移能力及探 索问题的能力， 使学生在相互 欣赏、争辩、互 助中得到提高. 2006 年全国中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动 433e870d3a2c3112f74ae207882f3ba4 第 4 页 共 7 页 2006-08-31 问题与情境 师生行为 设计意图 活动 4 拼图验证加深理解 （弦图验证） （1） 观察赵爽弦图， 思考： 如何利用此图的面积表示式 验证命题 1 ？ 赵爽弦图 （拼图验证） （2） 仿照课本中赵爽的思 路，只剪两刀
11、，将边长为 a、b 的两个连体正方形， 拼成一个 新的正方形？ 图 18.1-3（1） b a b a C 图 18.1-3（2） b a b a C 图 18.1-3（3） 教师展示图片，提出问 题. 学生观察图形可得： 大正 方形面积=四个全等直角三角 形面积+中间小正方形面积. 再由代数恒等变形能得到 a2 + b2 c2 ，即验证了 命题 1. 教师指导学生阅读教材 73 页，了解赵爽是如何利用 拼图的方法来证明命题 1 的. 学生在弦图验证的基础 上， 参照教科书 74 页图 18.1 3 开展拼图，以小组为单 位，合作探究. 有的学生会盲目动手， 如 沿正方形对角线分割等.让学 生
12、自己思考、总结、更正，在 不断的摸索中找到解决问题 的正确方法. 引导学生拼图的关键是： 构造以 a、b 为直角边的直角 三角形.结合纸片，即在线段 MN 上确定一点 P，使分得的 新线段与已有边长 a、b 构成 需要的直角三角形. 通过小组讨论， 学生可能 出现以下方法确定点 P ： 情况 1， 在线段MN上截取MP = a,得到NP = b，从而确定点P； 情况 2，通过折叠，得到边 长为 a - b 的正方形， 它实际上是 赵爽弦图的黄实，延长小正方形 的一边与线段 MN 相交于点 P. 得到教科书 74 页图 18.13 图 1，构造了以 a、b 为直角边的直角三角形， 令斜 边为 c
13、，沿直角三角形的斜边 分割从而拼得边长为 c 的正 方形，完成拼图. 鼓励学生代表作示范演 示，展示分割、拼接的过程. 让 学 生 模 拟数学家的思 维方式和思维 过程, 亲身体 验勾股定理的 探索与验证， 使 学生对定理的 理解更加深刻， 体会数形结合 思想， 发展创造 性思维能力. 由 传 统 的 数学课堂向实 验的数学课堂 转变. a b c C A b a b b a a b a c M N P B 2006 年全国中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动 433e870d3a2c3112f74ae207882f3ba4 第 5 页 共 7 页 2006-08-31 问题与情境 师生行为
14、设计意图 （3）怎样根据拼图活动的结 果证明勾股定理呢？ （定理命名）结合本节内 容给出定理的概念.向学生对 比介绍古今中外对勾股定理 的研究成果， 指出我国是最早 发现勾股定理的国家之一， 据 周髀算经记载：公元前 1100 年人们已经知道“勾广 三，股修四，径隅五”. 把直 角三角形中较短的直角边称 为勾，较长的称为股，斜边称 为弦. 将此定理命名为勾股 定理. 再利用多媒体动画演示. 学生容易想到：未剪之 前，图形面积是 a2 + b2 ， 在拼图过程中，构造了以 a、 b 为直角边的直角三角形， 得 到斜边为 c. .拼接之后新的正 方形边长是 c ，面积为 c2 . 从而得到直角三角
15、形三边的 关系：a2 + b2 c2 .再次 验证命题 1. 教师应重点关注： （1）学生能否进行合理 的分割， 对不同层次的学生有 针对性地给予分析、帮助； （2）学生能否用语言准 确地表达自己的观点. 对学生进行 爱国主义教育， 增强学生的民族 自豪感. 活动 5 实践应用拓展提高 1.求出下列直角三角形中 未知边的长度. 2. 试一试： 剪四个与图 1 完全相同的 直角三角形， 然后将它们拼成 如图 2 所示的图形. 大正方形的面积可以表示为 _, 又可以表示为_. 对比两种表示方法， 看看能不 能得到勾股定理的结论. 练习 1 是求直角三角形中未 知边的长度， 提示学生分清直 角边和斜
16、边， 再将值代入 a2 + b2 =c2 求解. 归纳出： 已知直角三角形任意两边， 能 求第三边. 练习 2 与前面的弦图验证相 呼应， 让学生体会数形结合思 想， 了解勾股定理证法的多样 性. 补 充 课 堂 练习， 让学生对 本节课的知识 进行最基本的 运用， 为下节课 勾股定理的应 用做好铺垫. 图 1 图 2 A B 8 15 C B 10 C A 6 2006 年全国中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动 433e870d3a2c3112f74ae207882f3ba4 第 6 页 共 7 页 2006-08-31 问题与情境 师生行为 设计意图 3.如图所示， 一棵大树在 一次强烈
17、台风中于离地面 10 米处折断倒下， 树顶落在离树 根24米处.大树在折断之前高 多少？ 练习3是在练习1的基础 上运用勾股定理解决简单实 际问题. 活动 6：回顾小结整体感知 过程小结，知识小结. 学生谈体会. 教师进行补充. 教师应关注学生是否能 从不同方面谈感受. 学生通过对 学习过程的小 结， 领会其中的 数学思想方法； 通过梳理所学 内容， 形成完整 知识结构， 培养 归纳概括能力. 活动 7：布置作业巩固加深 1.必做题：课本第 77 页，习题 18.1 第 1, 7 题. 2.选做题： （根据自己的情况选择完成） （1）课本第 80 页“阅读与思考”了解勾股定理的多种 证法. （
18、2）课本第 86 页“活动”上网查阅下列网址： dl.htm 了解勾股定理的发现和证明，并写一篇关于关于它的 小论文. 针 对 学 生 认知的差异设 计了有层次的 作业题， 既使学 生巩固知识， 形 成技能， 又使学 有余力的学生 获得最佳发展. 板书设计： 18.1 勾股定理（一） 一、了解历史 ：赵爽弦图 四、反馈练习 二、图形探究猜想证明 1. 三、勾股定理： 2. 如果直角三角形两直角边长 3. 分别是 a,b,斜边是 c,那么 五、小结： a2 + b2 =c2 六、作业： 勾 勒 出 教 学的主线， 呈现 完整知识结构 体系.并用彩色 增加信息的强 度，突出重点. 2006 年全国
19、中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动 433e870d3a2c3112f74ae207882f3ba4 第 7 页 共 7 页 2006-08-31 教学教学设计说明设计说明 勾股定理是中学数学几个重要定理之一， 它揭示了直角三角形三边之间的数 量关系，既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础. 它紧密联系了数学中两个最基本的量数与形，能够把形的特征（三角形中一 个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足 a2 + b2 = c2 ）堪称数形结合的 典范，在理论上占有重要地位. 八年级学生已具备一定的分析与归纳能力， 初步掌握了探索图形性质的基本 方法 . 但是学生对用割补方
20、法和面积计算证明几何命题的意识和能力存在障 碍，对于如何将图形与数有机的结合起来还很陌生. 为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理， 本节课从探究等腰直角三角形 三边的关系入手，再自然过渡到探究一般直角三角形，引导学生去观察、思考、 探索、发现，进而得到勾股定理学生再通过小组合作，讨论交流，验证勾股定 理.从而经历知识产生、形成和发展的过程，提高学生的思维能力. 荷兰数学教育家赖登塔尔认为，学习数学唯一正确的方法是实现再创造.也 就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来， 教师的任务是引导和帮 助学生去进行这种再创造的工作， 而不是把现成的知识灌输给学生. 本节课正是 基于这样的理念，根据教材的特点，把学生的探索和验证活动放在首位，一方面 要求学生在教师引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用 到的数学思想方法有一定的领悟和认识.从而教给学生探求知识的方法，教会学 生获取知识的本领. 在教师的启发引导下，学生独立思考、自主探究、获取知识，掌握方法，真 正成为学习的主体.在授课过程中，根据学生对课堂提问及习题的解答情况，及 时调节课堂节奏， 并通过课后批改作业以及与学生谈话等方式来了解学生对知识 掌握的情况。
