1、本章内容本章内容1.1 变化率与导数变化率与导数1.2 导数的计算导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念定积分的概念1.6 微积分基本定理微积分基本定理1.7 定积分的简单应用定积分的简单应用第一章第一章 小结小结1.5 定积分的概念定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程1.5.3 定积分的概念定积分的概念(第一课时第一课时)1.5.3 定积分的概念定积分的概念(第二课时第二课时)1.5.1曲边梯形的面积曲边梯形的面积返回目录返回目录1.课本中的曲边
2、梯形是指的什么样的图形课本中的曲边梯形是指的什么样的图形?2.求曲边梯形的面积是基于什么样的思想求曲边梯形的面积是基于什么样的思想?学习要点3.求曲边梯形面积的具体步骤是怎样的求曲边梯形面积的具体步骤是怎样的?问题问题1.如图如图,你能求出你能求出 x=1,x=2,y=0 和和 y=x2 所围成的图形的面积吗所围成的图形的面积吗?如果一个运动物体的位移函如果一个运动物体的位移函数数 S(t)=0.5t2+t,你能求出它的瞬时速度吗你能求出它的瞬时速度吗?反之反之,如如果一个运动物体作变速直线运动果一个运动物体作变速直线运动,它的速度函数是它的速度函数是v(t)=-=-t2+2,你能求出这个物体
3、在某段时间内所经过的你能求出这个物体在某段时间内所经过的路程是多少吗路程是多少吗?Oxy1 2y=x2 我们可以求各边为直边的多边我们可以求各边为直边的多边形面积形面积,如图中有一边是曲边如图中有一边是曲边,该该如何求得面积呢如何求得面积呢?S(t)的瞬时速度的瞬时速度,我们可以用我们可以用导数求得导数求得,按速度按速度 v(t)在某段时间在某段时间内运动所经过的路程又怎样求得呢内运动所经过的路程又怎样求得呢?将要学的定积将要学的定积分为我们解决分为我们解决这类问题这类问题.Oxyaby=f(x)f(a)f(b)如图的阴影部分近似于一如图的阴影部分近似于一个梯形个梯形,但有一腰是曲线段但有一腰
4、是曲线段,我们称这个图形为曲边梯形我们称这个图形为曲边梯形.这个图形的面积怎样求呢这个图形的面积怎样求呢?思想思想:将图形分成无数多的小块将图形分成无数多的小块.每小块近似于直边梯形每小块近似于直边梯形,可用直边梯形求面积可用直边梯形求面积.这无数小块之和即为整块面积这无数小块之和即为整块面积.下面取下面取 a=0,b=1,f(x)=x2 为例为例.OxyS1y=x2 如图是抛物线如图是抛物线 y=x2 与直线与直线 x=1,y=0 围成的曲边多边形围成的曲边多边形.对这个图形求面积对这个图形求面积 S,我们用无数个矩形的面积之我们用无数个矩形的面积之和逼近曲边多边形的面积和逼近曲边多边形的面
5、积.请看几何画板的动态效果请看几何画板的动态效果.如图是抛物线如图是抛物线 y=x2 与直线与直线 x=1,y=0 围成的曲边多边形围成的曲边多边形.对这个图形求面积对这个图形求面积 S,我们用无数个矩形的面积之我们用无数个矩形的面积之和逼近曲边多边形的面积和逼近曲边多边形的面积.请看几何画板的动态效果请看几何画板的动态效果.OxyS1y=x2 如图是抛物线如图是抛物线 y=x2 与直线与直线 x=1,y=0 围成的曲边多边形围成的曲边多边形,对这个图形求面积对这个图形求面积 S,我们将按以下四个步骤进行我们将按以下四个步骤进行:(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取
6、极限取极限.Oxy1y=x2(1)分割分割 在区间在区间 0,1 上等间隔地上等间隔地插入插入 n-1 个点个点,将区间分成将区间分成 n 个小区间个小区间:,1 ,1 ,2 ,1 ,1 ,0nnnnn-记第记第 i 个区间为个区间为 (i=1,2,n),其长度为其长度为 ,1nini-.11nninix=-=过各分点作过各分点作 x 轴的垂线轴的垂线,将图形分成了将图形分成了 n 个小曲个小曲边梯形边梯形,各面积分别记作各面积分别记作:S1,S2,Sn,则则.1=niiSSOxy1y=x2Oxy1y=x2(2)近似代替近似代替 把每一个小曲边梯形的面把每一个小曲边梯形的面积用一个矩形的面积代
7、替积用一个矩形的面积代替,第第 i 个矩形的宽为个矩形的宽为,1nx=),1(nif-高为高为则第则第 i 个矩形的面积为个矩形的面积为.1)1()1(2nnixnifSi-=-=当分点无限多当分点无限多,即即 n 无限大时无限大时,Si 就几乎等于就几乎等于Si.Oxy1y=x2(2)近似代替近似代替 把每一个小曲边梯形的面把每一个小曲边梯形的面积用一个矩形的面积代替积用一个矩形的面积代替,第第 i 个矩形的宽为个矩形的宽为,1nx=),1(nif-高为高为则第则第 i 个矩形的面积为个矩形的面积为.1)1()1(2nnixnifSi-=-=当分点无限多当分点无限多,即即 n 无限大时无限大
8、时,Si 就几乎等于就几乎等于Si.Oxy1y=x2(3)求和求和 将将n个近似代替的小矩形面个近似代替的小矩形面积求和积求和=niinSS1=-=ninni121)1()1()2()1(01222nnnnn-+=)1(21 12223-+=nn6)12()1(13-=nnnn).211)(11(31nn-=当当 n 无限大时无限大时,S n 就近似等于就近似等于 Sn.这时这时,S n 是是 Sn的不足近似值的不足近似值.(3)求和求和 将将n个近似代替的小矩形面个近似代替的小矩形面积求和积求和=niinSS1=ninni121)()()2()1(1222nnnnn+=21 12223nn+
9、=6)12)(1(13+=nnnn).211)(11(31nn+=当当 n 无限大时无限大时,S n 就近似等于就近似等于 Sn.这时这时,S n 是是 Sn的过剩近似值的过剩近似值.Oxy1y=x2第第 i 个矩形的高也可取个矩形的高也可取),(nifOxy1y=x2(4)取极限取极限Oxy1y=x2如图如图,当当 n 趋向无限大时趋向无限大时,nx1=无限小无限小,趋近于趋近于 0,此时小矩形与小曲边梯形的此时小矩形与小曲边梯形的误差接近于误差接近于 0,即即 S n 等于等于 Sn.nnnSS=lim即即)211)(11(31limnnn-=.31=阴影部分面积为阴影部分面积为.31=S
10、(4)取极限取极限如图如图,当当 n 趋向无限大时趋向无限大时,nx1=无限小无限小,趋近于趋近于 0,此时小矩形与小曲边梯形的此时小矩形与小曲边梯形的误差接近于误差接近于 0,即即 S n 等于等于 Sn.nnnSS=lim即即)211)(11(31limnnn+=.31=同样得阴影部分面积为同样得阴影部分面积为.31=SOxy1y=x2Oxy1y=x2可以证明可以证明,取取 f(x)=x2 在区间在区间上任意一点上任意一点 xi 处的值处的值 f(xi)作为作为近似值近似值,都有都有=niixxfS10)(lim Oxyaby=f(x)f(a)f(b)一般地一般地,对右下图的曲边对右下图的
11、曲边梯形梯形,我们也可采用分割、近我们也可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法似代替、求和、取极限的方法求面积求面积.31)(1lim1=ininfn Oxy1y=x2【小结小结】1.曲边梯形曲边梯形 由函数曲线由函数曲线 y=f(x)和直线和直线 x=a,x=b,y=0所围成的图形所围成的图形.2.求曲边梯形面积的基本思想求曲边梯形面积的基本思想 (1)大块分小块大块分小块,每块近似矩形每块近似矩形,即可有矩即可有矩形求各块面积形求各块面积.(2)块数无限多时块数无限多时,每小块矩形几乎等于小每小块矩形几乎等于小梯形梯形.(3)这无数小块之和即为整块面积这无数小块之和即为整块面积.【小结小
12、结】3.求曲边梯形面积的基本步骤求曲边梯形面积的基本步骤(1)分割分割:将区间将区间 0,a 分割成分割成 n 等分等分,每等分宽为每等分宽为.na(2)近似代替近似代替:每个小曲边梯形面积用矩每个小曲边梯形面积用矩形面积代替形面积代替,第第 i 个矩形面积为个矩形面积为).(niafna(3)求和求和:将将 n 个小矩形的面积相加个小矩形的面积相加).(1niafnaSni=(4)取极限取极限:将将 n 个小矩形面积和取极限个小矩形面积和取极限).(limlim1niafnaSSninn=练习练习:(课本课本42页页)求直线求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线与曲线 y=x2 所围成的曲边
13、所围成的曲边梯形的面积梯形的面积.解解:(1)分割分割:将区间将区间 0,2 分成分成 n 等分等分,每一等每一等,2nx=分为分为(2)近似代替近似代替:用小矩形面积用小矩形面积S i 近似代替小曲近似代替小曲边边梯形的面积梯形的面积SiS ixnif -=)22(.2)22(2nni-=(3)求和求和:=niinSS1=-=ninni122)22().12)(11(34nn-=(4)取极限取极限:nnSS=lim)12)(11(34limnnn-=.38=1.5.2汽车行驶的路程汽车行驶的路程返回目录返回目录 1.给定一个变速运动关于时间给定一个变速运动关于时间 t 的速度函的速度函数数,
14、它的图象是什么它的图象是什么?2.在速度函数图象的坐标系中在速度函数图象的坐标系中,用什么表用什么表示某段时间内所经过的路程示某段时间内所经过的路程?学习要点3.怎样求变速运动的路程怎样求变速运动的路程?问题问题2.我们知道我们知道,汽车以速度汽车以速度 v 作匀速直线运动作匀速直线运动时时,经过时间经过时间 t 所行驶的路程为所行驶的路程为 s=vt.如果汽车作变速如果汽车作变速直线运动直线运动,在时刻在时刻 t 的速度为的速度为 v(t)=-=-t2+2(t 的单位的单位:h,v 的单位的单位:km/h),那么它在那么它在 0t1 这段时间内行驶的这段时间内行驶的路程路程 s(单位单位:k
15、m)是多少是多少?Otss=2t(图图1)图图 1 是匀速运动中是匀速运动中,v=2 时时路程与时间的函数图象路程与时间的函数图象.图图 2 是变速运动中是变速运动中,速度与时速度与时间的函数图象间的函数图象,速度与时间的乘积速度与时间的乘积即为路程即为路程.在在 0t1 这段时间内行这段时间内行驶的路程即为影阴部分的面积驶的路程即为影阴部分的面积.1Otvv=-=-t2+2(图图2)问题问题2.我们知道我们知道,汽车以速度汽车以速度 v 作匀速直线运动作匀速直线运动时时,经过时间经过时间 t 所行驶的路程为所行驶的路程为 s=vt.如果汽车作变速如果汽车作变速直线运动直线运动,在时刻在时刻
16、t 的速度为的速度为 v(t)=-=-t2+2(t 的单位的单位:h,v 的单位的单位:km/h),那么它在那么它在 0t1 这段时间内行驶的这段时间内行驶的路程路程 s(单位单位:km)是多少是多少?Otss=2t(图图1)求变速运动的路程求变速运动的路程,类似于类似于求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积.四个步骤四个步骤:(1)分割分割(2)近似代替近似代替(3)求和求和(4)取极限取极限1Otvv=-=-t2+2(图图2)问题问题2.我们知道我们知道,汽车以速度汽车以速度 v 作匀速直线运动作匀速直线运动时时,经过时间经过时间 t 所行驶的路程为所行驶的路程为 s=vt.如果汽车作变速如果汽
17、车作变速直线运动直线运动,在时刻在时刻 t 的速度为的速度为 v(t)=-=-t2+2(t 的单位的单位:h,v 的单位的单位:km/h),那么它在那么它在 0t1 这段时间内行驶的这段时间内行驶的路程路程 s(单位单位:km)是多少是多少?Otss=2t(图图1)1Otvv=-=-t2+2(图图2)(1)分割分割 在区间在区间 0,1 内插入内插入 n-1 个分点个分点,分成分成 n 个小区间个小区间,1 ,1 ,2 ,1 ,1 ,0nnnnn-每每 个区间长度为个区间长度为.11nninit=-=则则.1=niiSS第第 i 个小区间的路程为个小区间的路程为si,问题问题2.我们知道我们知
18、道,汽车以速度汽车以速度 v 作匀速直线运动作匀速直线运动时时,经过时间经过时间 t 所行驶的路程为所行驶的路程为 s=vt.如果汽车作变速如果汽车作变速直线运动直线运动,在时刻在时刻 t 的速度为的速度为 v(t)=-=-t2+2(t 的单位的单位:h,v 的单位的单位:km/h),那么它在那么它在 0t1 这段时间内行驶的这段时间内行驶的路程路程 s(单位单位:km)是多少是多少?Otss=2t(图图1)1Otvv=-=-t2+2(图图2)(2)近似代替近似代替以宽为以宽为 高为高为,1nt=2)1()1(2+-=-niniv的小矩形面积的小矩形面积s i 近似代替近似代替si,即即iis
19、s tniv-=)1(.12)1(2nni+-=问题问题2.我们知道我们知道,汽车以速度汽车以速度 v 作匀速直线运动作匀速直线运动时时,经过时间经过时间 t 所行驶的路程为所行驶的路程为 s=vt.如果汽车作变速如果汽车作变速直线运动直线运动,在时刻在时刻 t 的速度为的速度为 v(t)=-=-t2+2(t 的单位的单位:h,v 的单位的单位:km/h),那么它在那么它在 0t1 这段时间内行驶的这段时间内行驶的路程路程 s(单位单位:km)是多少是多少?Otss=2t(图图1)1Otvv=-=-t2+2(图图2)(3)求和求和=niinss1=+-=ninni1212)1(n 个小矩形的面
20、积和为个小矩形的面积和为=+-=ninin1232)1(1).12)(11(612nn-=问题问题2.我们知道我们知道,汽车以速度汽车以速度 v 作匀速直线运动作匀速直线运动时时,经过时间经过时间 t 所行驶的路程为所行驶的路程为 s=vt.如果汽车作变速如果汽车作变速直线运动直线运动,在时刻在时刻 t 的速度为的速度为 v(t)=-=-t2+2(t 的单位的单位:h,v 的单位的单位:km/h),那么它在那么它在 0t1 这段时间内行驶的这段时间内行驶的路程路程 s(单位单位:km)是多少是多少?Otss=2t(图图1)1Otvv=-=-t2+2(图图2)(4)取极限取极限当当 n 趋向于无
21、穷大时趋向于无穷大时,sn趋向于趋向于 s,)12)(11(612limnnn-=nnss=lim.35=的路程为的路程为.km 35汽车在汽车在 0t1 这段时间内行驶这段时间内行驶 问题问题2.我们知道我们知道,汽车以速度汽车以速度 v 作匀速直线运动作匀速直线运动时时,经过时间经过时间 t 所行驶的路程为所行驶的路程为 s=vt.如果汽车作变速如果汽车作变速直线运动直线运动,在时刻在时刻 t 的速度为的速度为 v(t)=-=-t2+2(t 的单位的单位:h,v 的单位的单位:km/h),那么它在那么它在 0t1 这段时间内行驶的这段时间内行驶的路程路程 s(单位单位:km)是多少是多少?
22、Otss=2t(图图1)1Otvv=-=-t2+2(图图2)一般地一般地,如果物体做变速直线运如果物体做变速直线运动动,速度函数为速度函数为 v=v(t),那么我们也那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法极限的方法,求出它在求出它在 atb 内所作内所作的位移的位移 s.【小结小结】变速运动的路程变速运动的路程(1)变速运动的速度函数是一条曲线变速运动的速度函数是一条曲线.(2)变速运动的路程是速度函数曲线与时间变速运动的路程是速度函数曲线与时间段段 t=a,t=b 以及横轴所围成的曲边梯形的面积以及横轴所围成的曲边梯形的面积.(3)求变速运动的路
23、程就是求曲边梯形的面求变速运动的路程就是求曲边梯形的面积积,基本步骤为基本步骤为:分割分割;近似代替近似代替;求和求和;取极限取极限.练习练习:(课本课本45页页)第第 1、2 题题.1.在上面的第二步在上面的第二步“近似代替近似代替”中中,如果我们如果我们认认为在每个小时间间隔为在每个小时间间隔 (i=1,2,n)上上,汽汽车近似地以时刻车近似地以时刻 处的速度处的速度 作匀速行作匀速行驶驶,从而得到汽车行驶的总路程从而得到汽车行驶的总路程 s 的近似值的近似值,用这种用这种方法能求出方法能求出 s 的值吗的值吗?若能求出若能求出,这个值也是这个值也是 吗吗?,1nini-ni2)()(2+
24、-=niniv35解解:iiss tniv=)(nni12)(2+-=能得出能得出,取小区间的右端点的函数值取小区间的右端点的函数值 为小矩形的高为小矩形的高,)(niv则近似代替为则近似代替为nnss=lim=ninns1lim=+-=ninnin12321lim.2123nin+-=)12)(11(612limnnn+-=.35=2.一辆汽车在笔直的公路上变速行驶一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在设汽车在时刻时刻 t 的速度为的速度为 v(t)=-=-t2+5(t 的单位的单位:h,v 的单位的单位:km/h),试计算这辆汽车在试计算这辆汽车在 0t2 这段时间内汽车行驶这段时间内汽
25、车行驶的路程的路程 s(单位单位:km).解解:(1)分割分割,将区间将区间 0,2 分割成分割成 n 个小区间个小区间,第第 i 个区间为个区间为,2 ,22nini-其长度为其长度为.2nt=(2)近似代替近似代替,第第 i 个小区间的路程个小区间的路程si,用用 近似代替近似代替nnisi25)2(2+-=(3)求和求和,=niinss1=+-=ninni122 5)2().12)(11(3410nn+-=(4)取极限取极限,nnss=lim)12)(11(3410limnnn+-=.322=即这段时间汽车行驶的路程为即这段时间汽车行驶的路程为.km 3221.5.3定积分的概念定积分的
26、概念(第一课时第一课时)返回目录返回目录 1.什么是定积分什么是定积分,它是一些什么运算的它是一些什么运算的组合组合?2.定积分的几何意义是什么定积分的几何意义是什么?学习要点 问题问题1.以上求曲边梯形的面积和求变速直线运动以上求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程有什么共同点的路程有什么共同点?它们解决问题的方法都是基于它们解决问题的方法都是基于一个什么思想一个什么思想?两个问题的解题过程都是四步两个问题的解题过程都是四步:分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限.其基本思想都是其基本思想都是:将整体分割将整体分割,便于用已有的方便于用已有的方法近似代替法近似代替,然后再取
27、和的极限逼近整体值然后再取和的极限逼近整体值.以上两个问题中的函数以上两个问题中的函数 f(x)=x2 和和 v(t)=-=-t2+2 在所在所求区间内的图象都是连续不断的求区间内的图象都是连续不断的.象这样象这样,如果函数如果函数 y=f(x)在某个区间在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线上的图象是一条连续不断的曲线,那么我们就把它称为区间那么我们就把它称为区间 I 上的上的连续函数连续函数.一般地一般地,如果函数如果函数 f(x)在区间在区间 a,b 上连续上连续,用分点用分点 a=x0 x1xi-1xixn=b 将区间将区间 a,b 等分成等分成 n 个小区个小区间间,在每个小区
28、间在每个小区间 xi-1,xi 上任取一点上任取一点 i(i=1,2,n),作和式作和式这里这里,a 与与 b 分别叫做积分分别叫做积分下限下限与积分与积分上限上限,区间区间 a,b 叫做叫做积分区间积分区间,函数函数 f(x)叫做叫做被积函数被积函数,x 叫做叫做积分变量积分变量,f(x)dx 叫做叫做被积式被积式.),()(11ininiifnabxf =-=当当 n 时时,上述和式无限接近某个常数上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函这个常数叫做函数数 f(x)在区间在区间 a,b 上的上的定积分定积分,记作记作 即即,)(badxxf,)(lim)(1 =-=niinbafnabdx
29、xf 上一节求曲边梯形面积上一节求曲边梯形面积,就是求函数就是求函数 f(x)=x2 在区在区间间 0,1 上的定积分上的定积分,即即.31)(10210=dxxdxxfS 求速度为求速度为 v(t)=-=-t2+2 在在 0t1 这段时间内行驶的这段时间内行驶的路程路程 s,就是求函数就是求函数 v(t)=-=-t2+2 在区间在区间 0,1 上的定积上的定积分分,即即.35)2()(10210=+-=dttdttvs 定积分定积分 的几何意义的几何意义是曲线是曲线 y=f(x)与直线与直线 x=a,x=b,y=0 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积.badxxf)(Oxyaby=
30、f(x)f(a)f(b)问题问题2.根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,你能用定积分你能用定积分表示图中阴影部分的面积表示图中阴影部分的面积 S 吗吗?Oxyaby=f1(x)y=f2(x)ABCDMNS=SABNM-SDCNMSABNM=,)(1 badxxfSDCNM=,)(2 badxxf.)()(21dxxfdxxfSbaba -=例例1.利用定积分的定义利用定积分的定义,计算计算 的值的值.103dxx分析分析:定积分定义的计算形式定积分定义的计算形式,与我们求曲边多与我们求曲边多边形面积边形面积,以及求变速直线运动的路程的形式相同以及求变速直线运动的路程的形式相同:(1)分割
31、分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.例例1.利用定积分的定义利用定积分的定义,计算计算 的值的值.103dxx解解:令令 f(x)=x3,(1)分割分割,将区间将区间 0,1 等分成等分成 n 个小区间个小区间),2 ,1(,1ninini=-每个小区间的长度为每个小区间的长度为.1nx=(2)近似代替近似代替、求和求和,取取),2 ,1(ninii=niixf1)(=ninni131)(=niinSSdxx1103=niin1341)21(13334nn+=224)1(411+=nnn.)11(412n+=(3)取极限取极限,nnSdxx=lim1032)11(
32、41limnn+=.41=不取极限时不取极限时,S i(i=1,2,n)的和是定积分的和是定积分的近似值的近似值,即即练习练习:(课本课本48页页)只一题只一题.练习练习:(课本课本48页页)计算计算 的值的值,并从几何上解释这个值表示什么并从几何上解释这个值表示什么.dxx 203解解:(1)分割分割,把区间把区间 0,3 等分成等分成 n 个小区间个小区间),2 ,1(2 ,22ninini=-小区间长度为小区间长度为.2nx=(2)近似代替近似代替、求和求和,取取),2 ,1(2ninii=ninni132)2(=niinxfSdxx1203)(=niin13416)21(163334n
33、n+=4)1(16224+=nnn.)11(42n+=(3)取极限取极限,nnSdxx=lim2032)11(4limnn+=4.练习练习:(课本课本48页页)计算计算 的值的值,并从几何上解释这个值表示什么并从几何上解释这个值表示什么.dxx 203解解:(1)分割分割,把区间把区间 0,3 等分成等分成 n 个小区间个小区间),2 ,1(2 ,22ninini=-小区间长度为小区间长度为.2nx=(2)近似代替近似代替、求和求和,取取),2 ,1(2ninii=ninni132)2(=niinxfSdxx1203)(=niin13416)21(163334nn+=4)1(16224+=nn
34、n.)11(42n+=(3)取极限取极限,nnSdxx=lim2032)11(4limnn+=4.几何意义表示的是几何意义表示的是:由曲线由曲线 y=x3 与直线与直线 x=0,x=2,y=0 所围成的曲边所围成的曲边梯形的面积梯形的面积 S=4.【小结小结】1.定积分定积分(1)f(x)在区间在区间 a,b 上连续上连续.(2)n 等分区间等分区间 a,b,每等分宽每等分宽.nabx-=(3)每等分取点每等分取点 i,得区间高得区间高 f(i).(4)作小区间面积和作小区间面积和).()(11ininiifnabxf =-=(5)求求 n时的极限时的极限,)(lim1=-niinfnab 这
35、个极限就叫函数这个极限就叫函数 f(x)在区间在区间 a,b 上的上的定积分定积分,记作记作 即即,)(badxxf,)(lim)(1 =-=niinbafnabdxxf f(x)dx 叫做叫做被积式被积式.x 叫做叫做积分变量积分变量.函数函数 f(x)叫做叫做被积函数被积函数.a 与与 b 分别叫做积分分别叫做积分下限下限与积分与积分上限上限.【小结小结】2.定积分各部分名称定积分各部分名称,)(lim)(1 =-=niinbafnabdxxf 区间区间 a,b 叫做叫做积分区间积分区间.【小结小结】3.定积分的几何意义定积分的几何意义 定积分定积分 的几何意义是曲线的几何意义是曲线 y=
36、f(x)与直线与直线 x=a,x=b,y=0 所围成的曲边所围成的曲边梯形的面积梯形的面积.badxxf)(习题习题 1.5第第 3、4、5 题题,A 组组 3.利用定积分的定义利用定积分的定义,证明证明 其中其中 a,b 均为常数且均为常数且 ab.,1abdxba-=证明证明:把区间把区间 a,b 等分成等分成 n 个小区间个小区间),2 ,1()(,)1)(nianiabaniab=+-+-,nabx-=在小区间内任取在小区间内任取 i 都有都有 =niinbaxfdx1)(lim1 =-=ninnab11lim)(lim个个nnnabnabnab-+-+-=)(limabn-=b-a.
37、如图如图,矩形矩形ABCD的面积等于的面积等于 b-a,xyOab1y=1ABCD习题习题 1.5A 组组4.试用定积分的几何意义说明试用定积分的几何意义说明 的大小的大小.-1021dxxxyO1AB-121xy-=定积分定积分 的的-1021dxx几何意义是由曲线几何意义是由曲线21 xy-=和直线和直线 x=0,x=1 和和 y=0 所围所围成的图形的面积成的图形的面积(如图如图).这是半径为这是半径为 1 的圆的的圆的.41.41 102=-dxx解解:5.计算下列定积分计算下列定积分,并从几何上解释这些值分并从几何上解释这些值分别表示什么别表示什么.(1)(2)(3);013-dxx
38、;113-dxx;213-dxx解解:(1)把区间把区间-1,0 等分成等分成 n 个小区间个小区间),2 ,1(1 ,11ninini=-小区间长度为小区间长度为.1nx=取取),2 ,1(1ninii=-=-=ninnni131)1(lim =-=niinnnxfSdxx1013)(limlim 1)12)(11(21)11(23)11(41lim2-+-+=nnnnn.41-=几何表示为由曲线几何表示为由曲线 y=x3 和直线和直线 x=-=-1,x=0,y=0 围成的曲边梯形的面积的相反数围成的曲边梯形的面积的相反数.xyO1-1y=x3 5.计算下列定积分计算下列定积分,并从几何上解
39、释这些值分并从几何上解释这些值分别表示什么别表示什么.(1)(2)(3);013-dxx;113-dxx;213-dxx解解:(2)把区间把区间 0,1 等分成等分成 n 个小区间个小区间),2 ,1(,1ninini=-小区间长度为小区间长度为.1nx=取取),2 ,1(ninii=ninnnidxx131031)(lim)11(41lim2nn+=.41=两面积相等两面积相等,其和为其和为0.103013113 +=-dxxdxxdxx由由(1)得得.41013-=dxx下面求下面求:103 dxx.04141 113=+-=-dxx几何表示如图几何表示如图,符号相反符号相反,xyO1-1
40、y=x3 5.计算下列定积分计算下列定积分,并从几何上解释这些值分并从几何上解释这些值分别表示什么别表示什么.(1)(2)(3);013-dxx;113-dxx;213-dxx解解:(3)把区间把区间 1,2 等分成等分成 n 个小区间个小区间),2 ,1(1 ,11ninini=+-小区间长度为小区间长度为.1nx=取取),2 ,1(1ninii=+=+=ninnnidxx132131)1(lim 1)311)(11(41lim+=nnn.415=.213113213 +=-dxxdxxdxx由由(2)得得.0113-=dxx下面求下面求:213 dxx 5.计算下列定积分计算下列定积分,并
41、从几何上解释这些值分并从几何上解释这些值分别表示什么别表示什么.(1)(2)(3);013-dxx;113-dxx;213-dxx解解:(3)把区间把区间 1,2 等分成等分成 n 个小区间个小区间),2 ,1(1 ,11ninini=+-小区间长度为小区间长度为.1nx=取取),2 ,1(1ninii=+=+=ninnnidxx132131)1(lim 1)311)(11(41lim+=nnn.415=.213113213 +=-dxxdxxdxx由由(2)得得.0113-=dxx下面求下面求:213 dxx.4154150 213=+=-dxx几何表示如图几何表示如图,x 轴上边的面积减去
42、轴上边的面积减去 x 轴下边的面积轴下边的面积.xyO1-12y=x31.5.3定积分的概念定积分的概念(第二课时第二课时)返回目录返回目录 1.什么是定积分的不足近似值和过剩近什么是定积分的不足近似值和过剩近似值似值?2.定积分的运算有哪些性质定积分的运算有哪些性质?学习要点问题问题3.记得定积分的定义吗记得定积分的定义吗?(1)分割分割;(2)近似代替近似代替,求和求和;(3)取极限取极限.问题问题4.如果给定一个数如果给定一个数 n,将所给连续的区间分将所给连续的区间分割成割成 n 等分等分,经过近似代替经过近似代替,求和求和.得到的和是定积得到的和是定积分吗分吗?为什么为什么?给定了数
43、给定了数 n,就不能对求得的和求极限了就不能对求得的和求极限了.所以求得的和不是定积分所以求得的和不是定积分,只是定积分的近似值只是定积分的近似值.看下面的例题看下面的例题:解解:例例(补充补充).将区间将区间 0,1 分割成分割成 n 个的小区间个的小区间,n 取下列各值时取下列各值时,求求 的近似值的近似值,并比较哪个并比较哪个值更接近值更接近 (1)n=100;(2)n=10000.dxx 103?103dxx n=100时时,第第 i 个小区间是个小区间是,100 ,1001ii-小区间长度是小区间长度是.1001Oxy1f(x)=x3当当 i 取取 时时,求得的是定积求得的是定积10
44、01-i分的分的不足近似值不足近似值(如图如图).1001)1001(10013103-=iidxx0.245025.(1)1(nf)1(nnf-)0(nf解解:例例(补充补充).将区间将区间 0,1 分割成分割成 n 个的小区间个的小区间,n 取下列各值时取下列各值时,求求 的近似值的近似值,并比较哪个并比较哪个值更接近值更接近 (1)n=100;(2)n=10000.dxx 103?103dxx n=100时时,第第 i 个小区间是个小区间是,100 ,1001ii-小区间长度是小区间长度是.1001(1)Oxy1f(x)=x3当当 i 取取 时时,求得的是定积求得的是定积100i分的分的
45、过剩近似值过剩近似值(如图如图).1001)100(10013103 =iidxx0.255025.)2(nf)(nnf)1(nf解解:例例(补充补充).将区间将区间 0,1 分割成分割成 n 个的小区间个的小区间,n 取下列各值时取下列各值时,求求 的近似值的近似值,并比较哪个并比较哪个值更接近值更接近 (1)n=100;(2)n=10000.dxx 103?103dxx(2)n=10000时时,第第 i 个小区间是个小区间是,10000 ,100001ii-小区间长度是小区间长度是.100001当当 i 取取 时时,求得定积求得定积100001-i分的不足近似值分的不足近似值(如图如图).
46、100001)100001(1000013103-=iidxx0.249999992499.Oxy1f(x)=x3解解:例例(补充补充).将区间将区间 0,1 分割成分割成 n 个的小区间个的小区间,n 取下列各值时取下列各值时,求求 的近似值的近似值,并比较哪个并比较哪个值更接近值更接近 (1)n=100;(2)n=10000.dxx 103?103dxx(2)n=10000时时,第第 i 个小区间是个小区间是,10000 ,100001ii-小区间长度是小区间长度是.100001当当 i 取取 时时,求得定积求得定积10000i分的过剩近似值分的过剩近似值(如图如图).100001)100
47、00(1000013103 =iidxx0.2500500025.Oxy1f(x)=x3解解:例例(补充补充).将区间将区间 0,1 分割成分割成 n 个的小区间个的小区间,n 取下列各值时取下列各值时,求求 的近似值的近似值,并比较哪个并比较哪个值更接近值更接近 (1)n=100;(2)n=10000.dxx 103?103dxx.41(2)更接近于更接近于 103dxx若求若求 的精确值的精确值,得得nnidxxnin1)(lim13103=2)11(41limnn+=.41=(1)的不足近似值的不足近似值 0.245025,过剩近似值过剩近似值 0.255025.(2)的不足近似值的不足
48、近似值 0.249999992499,过剩近似值过剩近似值 0.2500500025.问题问题3.定积定定积定 成成立吗立吗?你能根据定积分的几何意义进行解释吗你能根据定积分的几何意义进行解释吗?+=bccabadxxfdxxfdxxf )()()(等式成立等式成立.(如图如图)Oxyacy=f(x)ABCDEFb.)()()(成立成立 +=bccabadxxfdxxfdxxfdxxfca)(表示表示 ACFE 的面积的面积,bcdxxf)(表示表示 EFDB 的面积的面积,badxxf)(表示表示 ACDB 的面积的面积,而而 ACDB 的面积等于的面积等于 ACFE 与与 EFDB 的面积
49、和的面积和,定积分有如下的性质定积分有如下的性质:(1);()()(为常数为常数kdxxfkdxxkfbaba =;)()()()(2121 =bababadxxfxfdxxfxf(2).()()()(bcadxxfdxxfdxxfbccaba +=其中其中(3)习题习题 1.5第第 1、2 题题.A 组组习题习题 1.5A 组组1.求求 的近似值的近似值(取取 i 为小区间的左端点为小区间的左端点):(1)把区间把区间 1,2 平均分成平均分成100等份等份;(2)把区间把区间 1,2 平均分成平均分成500等份等份;(3)把区间把区间 1,2 平均分成平均分成1000等份等份;-21)1(
50、dxx解解:设设 f(x)=x-1,(1)把区间把区间 1,2 平均分成平均分成100等份等份,第第 i 个小区间为个小区间为),100 ,2 ,1(1100 ,11001=+-iii小区间长度为小区间长度为.1001=x取取,11001+-=ii 则则 =-100121)()1(iinxfSdxx =-+-=10011001)111001(ii)9910(10012+=0.495.0.495.习题习题 1.5A 组组1.求求 的近似值的近似值(取取 i 为小区间的左端点为小区间的左端点):(1)把区间把区间 1,2 平均分成平均分成100等份等份;(2)把区间把区间 1,2 平均分成平均分成
