1、一一.课前复习课前复习若若a,b,c,d都是实数都是实数,则则 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且仅当当且仅当ad=bc时时,等号成立等号成立.定理定理1（二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）:二维形式的柯西不等式经过变形二维形式的柯西不等式经过变形后可得到两个比较重要的不等式：后可得到两个比较重要的不等式：22222222|abcdacbdabcdacbd定理定理2:（柯西不等式的向量形式）柯西不等式的向量形式）设设 是两个向量是两个向量,则则,当且仅当当且仅当 是零向量是零向量,或存在实数或存在实数 ,使使 时时,等号成立等号成立.kk第三讲第三讲二二维维形形式式的的
2、柯柯西西不不等等式式一一?,.关系吗关系吗个实数蕴涵着何种大小个实数蕴涵着何种大小这这你能发现你能发现的边长关系的边长关系根据根据的坐标分别为的坐标分别为设点设点中中系系标标坐坐角角面直面直在平在平如图如图观察观察4213221121221121yxyxPOPyxyxPP Oxy 111yxP,222yxP,Oxy 111yxP,222yxP,213.图图.打开几何画板观察实验打开几何画板观察实验Oxy 111yxP,222yxP,Oxy 111yxP,222yxP,213.图图 ,.22122122222121213yyxxyxyx 容易发现容易发现的边长关系的边长关系及三角形及三角形根据两
3、点间距离公式以根据两点间距离公式以如图如图.,式中的等号成立式中的等号成立两旁时两旁时在原点在原点并且点并且点在同一直线上在同一直线上与原点与原点当且仅当当且仅当OPPOPP2121).(inequalityletriang 叫做二维形式的叫做二维形式的不等式不等式三角不等式三角不等式 .,2212212222212122113yyxxyxyxRyxyx 那么那么设设二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式定理定理 .,.,用用柯柯西西不不等等式式了了就就能能使使样样这这例例如如构构造造出出平平方方和和的的形形式式另另两两数数设设法法构构造造两两数数平平方方和和乘乘进进行行式式子子变变形形需需
4、要要为为了了使使用用柯柯西西不不等等式式证证明明中中这这个个不不等等式式从从代代数数的的角角度度证证明明式式下下面面我我们们利利用用柯柯西西不不等等发发现现了了三三角角不不等等到到式式上上面面从从几几何何角角度度分分析析22222121yxyx 22222222212121212222221212yxyxyxyxyxyx 证明2222212121212yxyyxxyx|2222212121212yxyyxxyx )(22212122212122yyyyxxxx ,221221yyxx .22122122222121yyxxyxyx 故.,哪一步用了柯西不等式哪一步用了柯西不等式证明中证明中 .
5、221221232232231231yyxxyyxxyyxx 得得等式等式代入不代入不代代用用代代用用代代用用代代不妨用不妨用对于任何实数都成立对于任何实数都成立由于不等式由于不等式,232232131131yyyxxxyyyxxx .,的几何意义的几何意义解释不等式解释不等式请结合直角坐标系请结合直角坐标系探究探究.,.,柯西不等式的应用柯西不等式的应用介绍二维形式介绍二维形式证明证明下面继续结合不等式的下面继续结合不等式的中的应用中的应用证明证明几何背景及其在不等式几何背景及其在不等式西不等式的数学意义、西不等式的数学意义、柯柯维形式维形式分别讨论了二分别讨论了二程程的过的过理理上面得出三
6、个定上面得出三个定.,三三角角不不等等式式仍仍被被称称为为二二维维形形式式的的有有明明显显的的几几何何意意义义不不等等式式.,41113 babaRba求证求证设设例例 .,.,用柯西不等式了用柯西不等式了就可以就可以有了有了注意到注意到在本例中在本例中以应用这个条件以应用这个条件根据证明的需要可根据证明的需要可都不会改变它们的值都不会改变它们的值去乘任何数或式子去乘任何数或式子用用的特殊性的特殊性数数由于常由于常这个条件这个条件问题中有问题中有分析分析 bababababababa11111111得根据柯西不等式由于证明,Rba .411112 bbaababa.,4111 baba所以又?
7、,为为什什么么这这个个条条件件可可以以去去掉掉吗吗本本例例中中 Rba37页习题页习题3.1 7.1,yb,4的最小值求且已知例yxxaRbayx2min22222)()(.,)()()(,1,:bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx时取等号即当且仅当解变式引申变式引申:.,94,13222并并求求最最小小值值点点的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32,1312.2194,1)32()11)(94(:222222222最最小小值值点点为为的的最最小小值值为为得得由由时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx .,等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则都都是是实实数数若若二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcadbdacdcbadcba 222221 .,|,等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当则则个个向向量量是是两两设设式式的的向向量量形形式式等等柯柯西西不不定定理理kk 2小结作业：作业：36页习题页习题3.1 6,8,9
