1、上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强1第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度四、小结四、小结一、问题的提出一、问题的提出二、方向导数的定义二、方向导数的定义三、梯度的概念三、梯度的概念上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强2实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一处有一个
2、蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行一、问题的提出一、问题的提出上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强3 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题),(yxfz 二、方向导数的定义二、方向导数的定义oyxlP xyP引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz)(),(),().(),(
3、,pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设（如图）（如图）上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强4|PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf ,z 考虑考虑是否存在？是否存在？上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强5.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定义义，函函数数),(yxf在在点点P沿沿着着x轴轴正正向向0,11 e、y轴轴正正向向1,02 e的的方方向向导导数数分分别别
4、为为yxff,；沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,.的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),(记为记为上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强6证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(),(),(00000000 oyyxfxyxfyxfyyxxfyx 两边同除以两边同
5、除以,得到得到 的的方方向向余余弦弦。是是方方向向其其中中的的方方向向导导数数存存在在，且且有有函函数数在在该该点点沿沿任任一一方方向向可可微微分分，那那么么在在点点如如果果函函数数定定理理lyxfyxflflyxPyxfyxyx cos,coscos,cos,),(0000,00000 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强7 cos cos )(,),(),(00000000oyyxfxyxfyxfyyxxfyx 故有方向导数故有方向导数 ),(),(lim00000yxfyyxxf .cos,cos,0000 yxfyxfyx 00,yxlf上一页上一页下一页下一页湘
6、潭大学数学与计算科学学院 王文强8例例 1 1 求函数求函数yxez2 在点在点)0,1(P处沿从点处沿从点)0,1(P 到点到点)1,2(Q的方向的方向导数的方向的方向导数.解解故与方向故与方向l同向的单位向量为同向的单位向量为.22,22 le;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz所求方向导数所求方向导数 222221 lz.22 这这里里方方向向l即即为为1,1 PQ,上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强9例例 2 2 求函数求函数22),(yxyxyxf 在点在点（1，1）沿与沿与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l
7、的方向导数的方向导数.并并问在怎样的方向上此方向导问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值；（2）最小值；）最小值；（3）等于零？）等于零？解解 sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyx 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强10 sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数
8、等于 0.上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强11对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxP沿着方向沿着方向 L的方向导数的方向导数，可定义，可定义为为,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义（其中其中222)()()(zyx ）上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强12 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向沿任意方向 L的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有.coscoscos
9、zfyfxflf 设设方方向向 L 的的方方向向角角为为 ,cos x,cos y,cos z上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强13例例 3 3 设设n是曲面是曲面632222 zyx 在点在点)1,1,1(P处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu 在此处沿方向在此处沿方向n的方向的方向导数导数.解解令令,632),(222 zyxzyxF,44 PPxxF,66 PPyyF,22 PPzzF故故 zyxFFFn ,2,6,4,142264222 n方向余弦为方向余弦为上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
10、14,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos(.711 故故上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强15定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf
11、 .三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强16 coscosyfxflf cos,cos,yfxfeyxgradf ),(,cos|),(|yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 当当1),(cos(eyxgradf时，时，lf 有有最最大大值值.设设 cos ,cos e 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量 由方向导数公式知由方向导数公式知上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强17 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯
12、度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22|),(|yfxfyxgradf.结论结论当当xf 不不为为零零时时，x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为xfyf tangradfgradf P上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强18),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),(czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf)
13、,(等值线等值线),(yxgradf梯度为等值线上的法向量梯度为等值线上的法向量P上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强19等值线的画法等值线的画法播放播放上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强20图图形形及及其其等等值值线线图图形形函函数数xyzsin 例如例如,上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强21梯度与等值线的关系：梯度与等值线的关系：向导数向导数的方的方于函数在这个法线方向于函数在这个法线方向模等模等高的等值线，而梯度的高的等值线，而梯度的值较值较值较低的等值线指向数值较低的等值线指向数从数从数线的一个方向相同，且线的一个
14、方向相同，且在这点的法在这点的法值线值线的等的等的梯度的方向与点的梯度的方向与点在点在点函数函数cyxfPyxPyxfz ),(),(),(上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强22 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数
15、的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强23类似地类似地,设曲面设曲面czyxf),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向与的梯度的方向与过点过点 P的等量面的等量面czyxf),(在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数向的方向导数.上一页上一页下一页下一页湘潭大
16、学数学与计算科学学院 王文强24例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点)2,1,1(处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2,1,1(kjigradu 在在)0,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强251、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数
17、与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）四、小结.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强26讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0,0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？方方向向导导数数是是否否存存在在？思考题思考题上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强27xfxfxzx )0,0()0,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy|lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.思考题
18、解答思考题解答上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强28沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数,)0,0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强29一、一、填空题填空题:1 1、函数函数22yxz 在点在点)2,1(处沿从点处沿从点)2,1(到点到点 )32,2(的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 ,则则)0,0,0(g
19、radf_._.3 3、已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、称向量场称向量场a为有势场为有势场,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.练练 习习 题题上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强30三三、设设vu,都都是是zyx,的的函函数数,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续,证证明明:ugradvvgraduuvgrad )(四四、求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的
20、方方向向导导数数,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模?二、求函数二、求函数)(12222byaxz 在点在点)2,2(ba处沿曲线处沿曲线 12222 byax在这点的内法线方向的方向导数在这点的内法线方向的方向导数.上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强31一、一、1 1、321；2 2、kji623；3 3、graduczbyax 222222)2()2()2(；4 4、gradua .二、二、)(2122baab.四、四、cbazyxzyxuruM ;),(22020200000.练习题答案练习题答案上一页上一页下一页
21、下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强32等高线的画法等高线的画法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强33等高线的画法等高线的画法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强34等高线的画法等高线的画法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强35等高线的画法等高线的画法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强36等高线的画法等高线的画法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强37等高线的画法等高线的画法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强38等高线的画法等高线的画法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强39等高线的画法等高线的画法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强40等高线的画法等高线的画法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强41等高线的画法等高线的画法播放播放
