1、第九章第九章 重积分重积分1。二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 1。二重积分的概念二重积分的概念再考虑几何问题：曲顶柱体的体积先考虑物理问题：平面薄片的质量niiiiDfdyxf10),(lim),(即 二重积分，上的在函数存在，则称此极限值为时如果当Dyxffdiiinii),(),(lim,0max10Ddyxf),(:记作iniiiiiif1),(),(作和式中任取一点在每个小区域.,),(21也表示它的面积个小闭区域既表示第其中个小闭区域任意分成将上的有界函数是有界闭区域定义：设inDDyxfin2。二重积分的性质。二重积分的性质DDdyxfkdyxkf),(),(:1性质DD
2、Ddyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(),(:2性质2121),(),(),(:3DDDDdyxfdyxfdyxf性质DDdyxgdyxfyxgyxfDyx),(),(),(),(,),(:4则设性质的面积。表示其中则设性质DMdyxfmMyxfmD ),(),(:5),(),(,),(,),()(:6fdyxfDDDyxfD使得则的面积是上连续在闭区域设函数二重积分的中值定理性质2.二重积分的计算法二重积分的计算法 1。利用直角坐标计算二重积分。利用直角坐标计算二重积分xyzoab)(1xyy)(2xyyx)()(21),()(xyxydyyxfxAA(x)来表示。可以用不等式设
3、积分区域 ,)()()1(21bxaxyyxyD0yxabx)()(21),()(xyxybabadyyxfdxdxxAV)()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdyxf来表示。可以用不等式设积分区域 ,)()()2(21dycyxxyxD0yxcdy)()(21),(),(yxyxdcDdxyxfdydyxf所围成的区域。由所围成的区域。由是其中区域化为二次积分，将二重积分例1,2,)2(1,2,)1(),(.1xxyxyyxxyDdyxfD所围成的区域。由是，其中区域计算二重积分例2,2,.2yxyxyDxydD所围成的区域。是由区域，其中计算二重积分例1,1,1.322yxx
4、yDdyxyD所围成的区域。由是，其中区域计算二重积分例2,.42xyxyDxydD的积分次序。交换积分例yydxyxfdy11102),(.5110.7yxydxedy计算二次积分例12102.8xydyexdx计算二次积分例的积分次序。交换积分例 ),(.622221xxxdyyxfdx2。利用极坐标计算二重积分。利用极坐标计算二重积分设积分区域是由不等式,)()(21rrr上连续。在来表示，其中,)(,)(21rr)sin,cos(),(DDrdrdrrfdyxf则极坐标下二重积分可化为二次积分)()(21)sin,cos(rrrdrdrrfdrdrdd积分元素rdrd0)(1rr)(2
5、rr x设积分区域是由不等式,)(0rr上连续。在来表示，其中,)(r则极坐标下二重积分可化为二次积分)sin,cos(),(DDrdrdrrfdyxf)(0)sin,cos(rrdrdrrfd)(rr 0。圆域是，其中区域计算二重积分例222 .922ayxDdeDyx所围成的区域。第一象限中由是，其中区域计算二重积分例)0()()(,0.10222222baaayxbbyxxyxDxydDxRyxDdyxRD22222:.11其中区域，计算二重积分例0,0,1:)1ln(.122222yxyxDdyxD其中区域，计算二重积分例3.三重积分的计算法三重积分的计算法1。三重积分的概念与性质三重
6、积分的概念与性质.,),(21也表示它的体积个小闭空间域既表示第其中个小闭空间域任意分成将上的有界函数是有界闭空间域定义：设ivvvvnzyxfin 三重积分，上的在函数存在，则称此极限值为时如果当),(),(lim,0max10zyxfvfdiiiiniidvzyxf),(:记作iniiiiiiiivfv1),(),(作和式中任取一点在每个小区域三重积分的性质类似于二重积分2。三重积分的计算。三重积分的计算(1)利用直角坐标计算三重积分分成上、下两部分。交线，把的面轴的柱面。这柱面与曲线作母线平行于的边界曲线为准，以上得到一个平面区域面投影到域相交不多于两点，把区曲面的边界内部的直线与轴且穿
7、过区域设平行于zDDxoyzxyxy方法1：先计算定积分再计算二重积分的体积）（Vdv)(),(),(),(),(),(:),(:21212211如图所示且上的连续函数，都是其中，设它们的方程分别为yxzyxzDyxzyxzyxzzyxzzxyoxyzz=z1(x,y)z=z2(x,y)Dxy),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF),(),(21),(),(),(yxzyxzDDdzzyxfddyxFdvzyxfxyxy则为：如果区域,)()(21bxaxyyxyDxy),(),()()(2121),(),(yxzyxzxyxybadzzyxfdydxdvzyxf则为：如果
8、区域,)()(21dycyxxyxDxy),(),()()(2121),(),(yxzyxzyxyxdcdzzyxfdxdydvzyxf方法2：先计算二重积分再计算定积分zDdcdcdzyxfdzdzzFdvzyxf),()(),(xyzzoDz所围成的区域。及是由平面其中为累次积分，化三重积分例0,0,0132),(.1zyxzyxdvzyxf所围成。及是由曲面，其中计算三重积分例2,01.3222yyzyxdvey所围成的区域。及是由平面，其中计算三重积分例0,0,0132.2zyxzyxxdv所围成的区域。及是由曲面其中为累次积分，化三重积分例2,014),(.4222zzzyxdvzy
9、xf(2)利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标。称为点有序数组那么，的极坐标为影面上的投在并设点为空间一点，设MzrrPxoyMzyxM),(),(),(zr,20,0规定xyzorMP直角坐标与柱面坐标的关系zzryrxsincosdzddrrdv积分元素dzrdrdzrrfdvzyxf),sin,cos(),(因此xyzodrdzrdd所围成的区域。及是由曲面为累次积分，其中分利用柱面坐标化三重积例2,014),(.5222zzzyxdvzyxf所围成。及是由曲面其中，计算三重积分例hzyxzdvzeyx2222.6(3)利用球面坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系cossinsinco
10、ssinzyxddddvsin 2为积分元素0,20,0 xyzMPodddfdvzyxfsin)cos,sinsin,cossin(),(2因此2222)(),(.7aazyxdvzyxf为：化为三次积分，其中分利用球面坐标将三重积例.0,.82222222222zRzyxzyxdvzyx为：，其中计算三重积分例3.3.重积分的应用重积分的应用积。所围公共部分的立体体和计算由曲面例1)1(.122222zyxyxz1.二重积分的应用二重积分的应用(1)立体的体积立体的体积公共部分的立体体积。和计算例zyxzzyx232.222222(2)曲面的面积曲面的面积多于一点。轴的直线的交点不与平行于
11、曲面假设面上的投影区域为它在其方程为设空间曲面zDxoyyxfzxy,),(,1),(),(yxfyxfnyx1,0,0k 2211)1(),cos(cosyxffkndffddsyx221cos1nkoxyzdssddyxfyxfSxyDyx),(),(122的面积为于是曲面则如果曲面方程为),(zygx 则如果曲面方程为),(zxhy dzygzygSyzDzy),(),(122dzxhzxhSzxDzx),(),(122的曲面面积。所截下被柱面计算锥面例yzyxz2.32222相交立体的表面积。与柱面计算球面例axyxazyx222222.5曲面的面积。轴旋转，求旋转将这段曲线绕设上的曲
12、线面设有例xxfbxaxfyxoy,0)(.,)(.4(3)平面薄片的重心坐标平面薄片的重心坐标的重心的坐标为上连续，则该平面薄片在，假定处的面密度为在点，面上的闭区域设有一平面薄片，占有DyxyxyxDxoy),(),(),(DDydyxdyxxMMx),(),(DDxdyxdyxyMMy),(),(，求该薄片的重心。处的面密度所围成，它在点及直线由抛物线域设平面薄片所占的闭区例yxyxyxxyxyD22),(),(.6例7。在均匀的半径为 R 的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应
13、是多少？(4)平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量为惯量和对于坐标原点的转动动惯量轴的转及对于轴的转动惯量则该平面薄片对于上连续，在，假定处的面密度为在点，面上的闭区域占有设有一平面薄片，oyxIIyIxDyxyxyxDxoy),(),(),(DxdyxyI),(2DydyxxI),(2dyxyxIDo),()(222。三重积分的应用三重积分的应用(1)重心坐标重心坐标dvzyxdvzyxxx),(),(dvzyxdvzyxyy),(),(dvzyxdvzyxzz),(),(2)转动惯量转动惯量dvzyxzyIx),()(22dvzyxzxIy),()(22dvzyxyxIz),()(22dvzyxzyxIo),()(222轴的转动惯量。）求物体关于（）求物体的重心；（）求物体的体积；（所围成，和平面由曲面占有的闭区域为常数密度一均匀物体例zayaxzyxz321,0)(.822
