1、第二章 内力与内力图2-1 内力与内力分量内力与内力分量2-2 轴力图轴力图2-3 扭矩图扭矩图2-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图2-6 结论与讨论结论与讨论2-5 钢架的内力图钢架的内力图2.1 内力与内力分量内力与内力分量2.1.1 内力与内力分量的概念内力与内力分量的概念1）内力的概念内力的概念受力构件内相邻两部分间的相互作用力，称为受力构件内相邻两部分间的相互作用力，称为内力内力。内力完全由外力引起，内力完全由外力引起，并随着外力改变而改变；并随着外力改变而改变；这个力若超过了材料所能承受的极限值，杆件就这个力若超过了材料所能承受的极限值，杆件就 要在要在 m-m 面处断裂；面处断裂
2、；内力反映了材料对外力有抗力，内力反映了材料对外力有抗力，并传递外力。并传递外力。轴力NF剪力yFs剪力zFs扭矩T弯矩yM弯矩zM正面正面外法线沿着坐标正方向的截面外法线沿着坐标正方向的截面；反之为；反之为负面负面正面上与正面上与坐标正方向相同的内力为正坐标正方向相同的内力为正；反之为负。；反之为负。负面上与负面上与坐标正方向相反的内力为正坐标正方向相反的内力为正；反之为负。；反之为负。2.1.2 内力分量的正负号规则内力分量的正负号规则2.1.3 2.1.3 截面法确定截面上的内力截面法确定截面上的内力轴力轴力（1）沿横截面m-m假想地把杆件截分成两部分FPFPmm截开，取左边为研究对象（
3、2）将移去部分对保留部分的作用以截面上分布内力系的合力来代替，用 FN 表示 代以分布内力系，简化为主矢、主矩mFPmxFN （3）轴力FN视为左半部分的外力，由于整个杆件处于平衡状态，故左半部分也应平衡。列平衡方程 Fx=0：FN -FP=0 FN=FP（主矩为0）得轴力：轴力：杆件截面m-m上的分布内力系的合力。符号规定：符号规定：拉伸（背离截面）时为正，压缩（指向截面）时为负。2.2、轴力图、轴力图下面运用截面法确定拉、压杆横截面上的内力：下面运用截面法确定拉、压杆横截面上的内力：拉、压杆横截面上内力的作用线与杆的轴线重合，故拉、压杆横截面上内力的作用线与杆的轴线重合，故 称为称为轴力轴
4、力，记作，记作 。规定：背向截面使杆件受拉伸的规定：背向截面使杆件受拉伸的 轴力为正，指向截面使杆件受压缩的轴力为负。轴力为正，指向截面使杆件受压缩的轴力为负。NF 轴力随横截面位置变化的图线称为轴力随横截面位置变化的图线称为轴力图轴力图。例例 2-1 试作出图示拉压杆的轴力图。试作出图示拉压杆的轴力图。解：（解：（1）分段计算轴力）分段计算轴力 0 xF：N22kNF 压N14kNF拉（2）绘制轴力图）绘制轴力图 轴力图的位置要与杆件位置对应。轴力图的位置要与杆件位置对应。轴力图上正下负。轴力图上正下负。2.3 扭矩图扭矩图 一、扭转变形一、扭转变形 杆件在两端受到两个大小相等、转向相反、作
5、用面垂杆件在两端受到两个大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的力偶的作用，杆件的任意两个横截面直于杆件轴线的力偶的作用，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动，这样的变形称为发生绕轴线的相对转动，这样的变形称为扭转变形扭转变形。二、以扭转变形为主的杆件称为二、以扭转变形为主的杆件称为轴轴 扭转力偶矩的计算扭转力偶矩的计算 发生扭转变形的外力偶矩，称为发生扭转变形的外力偶矩，称为扭转力偶矩扭转力偶矩 1.已知外力已知外力2.已知传递的功率已知传递的功率P(kW)和转速和转速n(r/min)得得RFFM)(2T1Te602eenMMP)mN(9549enPM轴横截面上的内力偶矩轴横截面上的内
6、力偶矩-扭矩扭矩 求横截面求横截面n-n上的内力偶矩上的内力偶矩 截面法截面法 作用于横截面上的内力偶矩称为作用于横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩 由作用与反作用原理可知，在由作用与反作用原理可知，在部分部分横截面横截面n-n上也必然有上也必然有大小相等、转向相反的扭矩大小相等、转向相反的扭矩T 0 xM0e MTeMT 符号规定符号规定 以右手的四指顺着扭矩的转向，若拇指的指向与截面以右手的四指顺着扭矩的转向，若拇指的指向与截面外法线方向一致时为正外法线方向一致时为正(图图3-4a)，反之为负，反之为负(图图3-4b)。扭矩图扭矩图 扭矩图扭矩图 反映扭矩随横截面位置变化的情况反映扭矩随横截面
7、位置变化的情况 按选定的比例尺，以沿杆轴线方向的坐标表按选定的比例尺，以沿杆轴线方向的坐标表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标代示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标代表扭矩表扭矩T，正的扭矩画在横轴上方，负的画，正的扭矩画在横轴上方，负的画在下方。在下方。例例3-1 传动轴如图传动轴如图3-5a所示，主动轮所示，主动轮A输入功率输入功率PA=72 kW，从动轮，从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=20 kW，PD=32 kW，转速，转速n=300 r/min。试绘制轴的扭矩图。试绘制轴的扭矩图。解解(1)外力偶矩的计算外力偶矩的计算 mN8.2291300729549eA
8、MmN6.636300209549eeCBMMmN6.0181300329549eDM(2)扭矩的计算扭矩的计算 BC段段 CA段段 AD段段 0e1BMTmN6.636e1BMT0ee2BCMMTmN2.1273ee2BCMMT03eTMDmN6.1018e3DMT(3)扭矩图扭矩图 绝对值最大的扭矩发生在绝对值最大的扭矩发生在CA段的各截面上段的各截面上 结论结论 任一横截面上的扭矩等于该截面一侧任一横截面上的扭矩等于该截面一侧(左侧或右侧左侧或右侧)所有外力偶矩的代数和。所有外力偶矩的代数和。mN2.1273maxT2.4 2.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 02QQFqxqlFqxF
9、AyqxqlF2Q支座约束力分别为2qlFAy，2qlFBy 0yF由 得2.4.1 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力：剪力：与横截面相切的分布内力系的主矢FQ。0OM222qxxqlM弯矩：弯矩：横截面上沿法线方向的分布内力系的主矩M。022222MqxxqlMqxxFAy 剪力：剪力：以绕梁段内任意一点顺时针转向者为正，反之为负。弯矩：弯矩：以使梁段产生向下凸的弯曲变形者为正，反之为负。图5-7符号规则：aMFeAy2aMFeBy2例例 简支梁受载如图所示，求C处的左侧截面11和右侧截面22的剪力与弯矩的值。解：解：支座约束力分别为，aMFe211Q2211eeMaaMM，aMFe222Q2222
10、2eeeMMaaMM，二、剪力方程和弯矩方程二、剪力方程和弯矩方程 将剪力和弯矩表示成截面位置x的函数，即2.4.2、剪力图和弯矩图、剪力图和弯矩图剪力图：剪力图：表示剪力值变化情况的图线。弯矩图弯矩图：表示弯矩值变化情况的用图线。)(QQxFF 剪力方程：)(xMM 弯矩方程：例例 简支梁承受满跨的均布载荷如图所示，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图 1.求支座约束力 由 ，得：0AM 0BM2qlFFByAy2.列剪力方程和弯矩方程 解：解：qxqlqxFxFAy2)(Q)0(lx 222)(2qxqlxxqxxFxMAy)0(lx 3.绘制剪力图和弯矩图 四、平面刚架的内力
11、图四、平面刚架的内力图 平面刚架平面刚架：由平面内若干段不同取向的杆件所组成的具有刚节点的结构。习惯上约定：习惯上约定：平面刚架的弯矩图画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正、负号。例例 作图示刚架的内力图。1.列轴力方程、剪力方程和弯矩方程 CB段：01NxFax 10 FxF1Qax 10 11FxxMax 10BA段：FxF2Nlx 2002QxFlx 20aFxM2lx 20解：解：2.绘制剪力图和弯矩图 五、平面曲杆的内力图五、平面曲杆的内力图平面曲杆：平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。内力的符号规定为：内力的符号规定为：弯矩以使曲杆轴线曲
12、率增加者为正，轴力和剪力的符号规定与前面的相同。习惯上弯矩图画在曲杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图画在平面曲杆的任一侧，但须注明正、负号。例例 圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆轴线的半径为R,，试列出此杆的内力方程并作内力图。解：解：1.列内力方程 任选 截面，取截面以右的曲杆为隔离体，并建立n-t坐标系。由静力平衡方程可得：sin)(NFFcos)(QFFsin)(FRM0002.作内力图 2.4.3 2.4.3 剪力、弯矩与载荷集度间的关系剪力、弯矩与载荷集度间的关系一、剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系一、剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系由微段的平衡方程 0yF，得0)()
13、(d)()(QQQdxxqxFxFxF)()(dQxqdxxF即有 0CM由平衡方程，得02dd)(d)()(d)()(QxxxqxxFxMxMxM)(d)(dQxFxxM整理后得出 对x取导数得)(d)(dd)(dQ22xqxxFxxM剪力、弯矩图随载荷作用情况变化的一般规律剪力、弯矩图随载荷作用情况变化的一般规律：1.在梁的某一段内，若无载荷作用，则剪力图是平行于x轴的直线。2.在梁的某一段内，若作用均布载荷，则剪力图是斜直线，弯矩图是抛物线。3.在梁的某一段内若作用线性分布载荷，则剪力图是二次抛物线，弯矩图是三次曲线。4.在梁的某一截面上剪力为零，则在这一截面上弯矩有极值。5.在梁的某一
14、截面上若作用有集中力，则此处剪力图有突变，突变的值恰好等于集中力的数值。6.在梁的某一截面上若作用有集中力偶，则剪力图不发生变化，但此处弯矩图会发生突变，突变的值恰好等于集中力偶的数值。21)()()(Q12xxdxxFxMxM12)()()(1Q2QxxdxxqxFxFdxxFxMxMxx)()()(21Q1221)()()(1Q2QxxdxxqxFxF二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系简易作图法的三个主要步骤：分段分段：凡集中力、集中力偶的作用点，分布力的起、终点，梁中铰或支座处均作为分段点，将梁分成若干段；定点定点：求出各分段点处截面上的剪力和弯
15、矩，按适当的比例在相应的图上进行标点；连线连线：将各分段点截面上所标示的剪力点或弯矩点之间用适当的线条连接起来，从而得到全梁的剪力图和弯矩图。简易作图法简易作图法：求出各分段点截面上的剪力和弯矩，根据剪力、弯矩和载荷集度间的变化规律确定各段剪力和弯矩图的变化情况，绘出相应的剪力图和弯矩图。三、应用简易作图法绘剪力图和弯矩图三、应用简易作图法绘剪力图和弯矩图例例 悬臂梁及其所受载荷如图所示，试作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1.分段：根据分段的原则可将全梁分成AC和CB二段。2.定点：剪力图定点 ：A截面：剪力FQA=0 C截面：此处作用有向上的集中力，剪力由0突变到 qa。B截面：剪力 qaaq
16、qaFB2Q弯矩图定点 A截面：此处作用有集中力偶，弯矩由0突变到2qa2。C截面：弯矩 22qaMCB截面：弯矩为 22202qaqaMB3.连线剪力图、剪力图连线如右图。某些机器的机身，如压力机框架、轧钢机机架等，某些机器的机身，如压力机框架、轧钢机机架等，是由几根直杆组成的，而组成机架的各部分在其是由几根直杆组成的，而组成机架的各部分在其连接连接处的夹角不能改变处的夹角不能改变，即在联接处各部分不能相对转动。，即在联接处各部分不能相对转动。这种联接称为这种联接称为刚节点刚节点。P铰节点铰节点P刚节点刚节点2.5 刚架的内力图刚架的内力图螺旋夹紧器由刚节点联接成的框架结构称为由刚节点联接成
17、的框架结构称为刚架刚架。曲柄轴摇臂钻床轴线位于同一平面，且横截面纵向对称轴也在这个平面内，称为平面刚架。PP铰节点铰节点刚节点刚节点载荷载荷作用在节点处；作用在节点处；铰节点铰节点两边可相互转两边可相互转 动，不能传递弯矩；动，不能传递弯矩；内力内力只有轴力只有轴力N；变形变形只有拉伸或压缩只有拉伸或压缩 变形。变形。载荷载荷作用在任意处；作用在任意处；刚节点刚节点两边不能相互转两边不能相互转动，可传递弯矩；动，可传递弯矩；内力内力一般有轴力一般有轴力N、剪、剪力力FS和弯矩和弯矩M；变形变形以弯曲变形为主。以弯曲变形为主。平面桁架与刚架的主要区别：平面桁架与刚架的主要区别：平面刚架和平面曲杆中，杆件横截面上的内力一般有轴力、剪力和弯矩。静定刚架和曲杆的内力计算和静定梁相似，下面将用例题来说明。还有些构件，如吊钩、链环、拱等，其轴线为平面曲线且横截面纵向对称轴在这个平面内，称为平面曲杆。对静定曲杆，可用截面法求出横截面上的内力。PP链环链环曲杆 一个重要概念一个重要概念 三个微分方程三个微分方程 一套方法一套方法2.6 2.6 结论与讨论结论与讨论FQFQFQ
