1、第二十七章第二十七章27.2.8 27.2.8 相似三角形应用举例相似三角形应用举例人教版数学九年级下册1.1.进一步巩固相似三角形的知识进一步巩固相似三角形的知识 2.2.能够运用三角形相似的知识，解决能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题题）等的一些实际问题 学习目标学习目标 埃及金字塔到底有多高？据史料记载：古希腊科学埃及金字塔到底有多高？据史料记载：古希腊科学家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光家泰勒斯利用相似三角形的原
2、理，借助金字塔在太阳光线下形成的影子测出了线下形成的影子测出了金字塔的高度你知道金字塔的高度你知道他是怎样测量的吗？今他是怎样测量的吗？今天我们就利用这些知识天我们就利用这些知识测量一些不能直接测量测量一些不能直接测量的物体的高度吧的物体的高度吧.导入新知导入新知1知识点知识点用相似三角形测量高度用相似三角形测量高度 对于学校里旗杆的高度，我对于学校里旗杆的高度，我们是无法直接进行测量的但是们是无法直接进行测量的但是我们可以根据相似三角形的知识，我们可以根据相似三角形的知识，测出旗杆的高度结合右面的图测出旗杆的高度结合右面的图形，大家思考如何求出高度形，大家思考如何求出高度.合作探究合作探究利
3、用阳光下的影子测高：利用阳光下的影子测高：(1)构造相似三角形，如图构造相似三角形，如图.(2)测量数据：测量数据：AB(身高身高)，BC(人影长人影长)，BE (旗杆影长旗杆影长)；待求数据：；待求数据：DE(旗杆高旗杆高)(3)计算理由：计算理由：因为因为ACDB(平行光平行光)，所以，所以ACBDBE.因为因为ABCDEB90(直立即为垂直直立即为垂直)，所以所以ABCDEB，有，有.ABBCAB BEDEDEBEBC，则则 测量方法：测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，测量不能到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与如同一时
4、刻，物高与影长影长)来解决常见的测量方式有四种，如图所示来解决常见的测量方式有四种，如图所示.新知小结新知小结(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的 移动而发生变化因此，度量影子的长一定要在移动而发生变化因此，度量影子的长一定要在 同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性(2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看 成平行光线成平行光线(3)此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不 到被测物体的影长，从而计算不出物
5、体的高到被测物体的影长，从而计算不出物体的高例例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相 似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔 的高度的高度.如图，木杆如图，木杆EF长长2 m，它的影长，它的影长FD为为3 m，测，测 得得OA为为201 m，求金字塔的高度求金字塔的高度BO.怎样测出怎样测出OA的长？的长？合作探究合作探究太阳光是平行光线，因此太阳光是平行光线，因此BAO=EDF.又又AOB=DFE
6、=90，ABO DEF.因此金字塔的高度为因此金字塔的高度为134 m.解：解：,BOOAEFFD2012134(m).3OA EFBOFD即=所以BDE=180-DOC-DEO=18【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图根据分配律去括号：8、角的平分线2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零5.画一次函数图像的最简单方法：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，2），B（1，1）都是“等轴距点”，长方形ACBD为A，B两点的“轴距长方形”10.如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的
7、中点，则EF的最大值为()(2)把点(-1,-5)及点(2,a)代入一次函数解析式，再根据(1)即可求得k，b的值其中0 x70最省的总运费为：-3070+39200=37100(元)利用影长测量不能直接测量的物高的方法：利用影长测量不能直接测量的物高的方法：利用利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影来计算出物高来计算出物高新知小结新知小结1在某一时刻，测
8、得一根高为在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为的竹竿的影长为 3 m，同时测得一栋楼的影长为，同时测得一栋楼的影长为90 m，这栋楼的高，这栋楼的高 度是多少？度是多少？设这栋楼的高度是设这栋楼的高度是x m由题意得由题意得解得解得x54.因此这栋楼的高度是因此这栋楼的高度是54 m.解：解：1.8,903x巩固新知巩固新知【中考中考吉林吉林】如图，数学活动小组为了测量学校如图，数学活动小组为了测量学校旗杆旗杆AB的高度，使用长为的高度，使用长为2 m的竹竿的竹竿CD作为测量作为测量工具移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端工具移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面的影子在
9、地面O处重合，测得处重合，测得OD4 m，BD14 m，则旗杆，则旗杆AB的高为的高为_m.29如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为墙壁上的影高为1.2 m，又测得地，又测得地面上的影长为面上的影长为2.6 m，请你帮她算
10、，请你帮她算一下，树高是一下，树高是()A3.25 m B4.25 m C4.45 m D4.75 m3C 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高图，他先测得留在墙上的影高l.2 m，又测得地面部分的影长又测得地面部分的影长2.7 m，他求，他求得的树高是多少得的树高是多少?问问 题题解：解：如图，过点如图，过点C
11、作作CEAB于点于点E，因此因此BE=CD=1.2 m，CE=BD=2.7 m，由由 所以所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2(m).答：答：这棵树的高为这棵树的高为4.2 m 1,2.70.9AE 可得可得AE=3 m，1.与测量有关的概念：与测量有关的概念：(1)视点：视点：观察物体时人的眼睛称为视点观察物体时人的眼睛称为视点 (2)仰角：仰角：测量物体的高度时，水平视线与观察物测量物体的高度时，水平视线与观察物 体的视线间的夹角称为仰角体的视线间的夹角称为仰角 (3)盲区：盲区：人的视线看不到的区域称为盲区人的视线看不到的区域称为盲区2.测量原理：测量原理：用标杆或直尺作为三角形的边
12、，利用视用标杆或直尺作为三角形的边，利用视 点和盲区的知识构造相似三角形点和盲区的知识构造相似三角形新知小结新知小结3.测量方法：测量方法：如图，观测者的眼睛如图，观测者的眼睛C必须与标杆的顶必须与标杆的顶 端端D和物体的顶端和物体的顶端A“三点共线三点共线”，标杆与地面要，标杆与地面要 垂直，测量出标杆的高度垂直，测量出标杆的高度DF，人眼离地面的高度人眼离地面的高度 CE，人与标杆的距离，人与标杆的距离EF，标杆与，标杆与 物体的距离物体的距离FG.利用相似三角形利用相似三角形 “对应边的比相等对应边的比相等”的性质求物体的性质求物体 的高度的高度AG.利用标杆或直尺测量物体的高度也叫目测
13、，在利用标杆或直尺测量物体的高度也叫目测，在日常生活中有着广泛的应用，必要时可以用自己的日常生活中有着广泛的应用，必要时可以用自己的身高和臂长等作为测量工具身高和臂长等作为测量工具例例2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8 m和和 CD=12 m，两树底部的距离，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计，一个人估计 自己眼睛距地面自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水她沿着正对这两棵树的一条水 平直路平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小 于多少时，就看不到右边较高的树的顶端于多少时，就
14、看不到右边较高的树的顶端C了？了？合作探究合作探究平方根性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；且mn).4、二次根号下有意义的条件：根号下是非负数，即0（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进行：；三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与因式分解、分式。添“”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变；添“”号和括号，添到括号里的各项符号都要改变。列不等式（组）解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。【专题】521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案故选D分析：分
15、析：如图如图，设观察者眼睛的位置为点，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水，画出观察者的水 平视线平视线FG，分别交，分别交AB，CD于点于点H，K视线视线FA与与FG 的夹角的夹角AFH是观察点是观察点A时的仰角类似地，时的仰角类似地，CFK 是观察点是观察点C时的仰角由于树的遮挡，时的仰角由于树的遮挡，区域区域和和，观察者都看不到观察者都看不到.解：解：如图，假设观察者从左向右走到点如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位时，她的眼睛的位 置点置点E与两棵树的顶端与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上恰在一条直线上.ABl，CD l，ABCD.AEH CEK.即即 解得解得EH=8
16、(m).由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距 离小于离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的 顶端顶端C.,EHAHEKCK 81.66.4.5121.610.4EHEH 解实际问题关键是找出相似的三角形，然后根解实际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型据对应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型来解决问题来解决问题新知小结新知小结如图，测得如图，测得BD=120 m，DC=60m，EC=50 m，求河宽求河宽AB.1BC90，ADBEDC，AB
17、DECD.解得解得AB100 m.因此河宽因此河宽AB为为100 m解：解：，即即120.6050BDABABCDEC巩固新知巩固新知如图，小明同学用自制的直角三角形纸板如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测测量树的高度量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边保持水平，并且边DE与点与点B在同一直线上，已在同一直线上，已知纸板的两条直角边知纸板的两条直角边DE40 cm，EF20 cm，测，测得边得边DF离地面的高度离地面的高度AC1.5 m，CD8 m，则，则树高树高AB_m2【中考中考济南济南】济南大明湖畔的济南大明湖畔的“超然楼
18、超然楼”被称为被称为“江北第江北第一楼一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为处仰望塔顶，测得仰角为30，再往，再往楼的方向前进楼的方向前进60 m至至B处，测得仰角为处，测得仰角为60，若学生的身，若学生的身高忽略不计，结果精确到高忽略不计，结果精确到1 m，则该楼的高度，则该楼的高度CD约为约为()A47 m B51 m C53 m D54 m3B3知识点知识点用相似三角形测量高度用相似三角形测量高度 若在一个阴天，没有太阳光，还能测量金字塔的高度吗若在一个阴天，没有太阳光，还能测量金
19、字塔的高度吗?用镜面反射用镜面反射(如图，点如图，点A是一面小镜子，根据光的反射定是一面小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形律：由入射角等于反射角构造相似三角形)分析：分析：根据光的反射定律由入射根据光的反射定律由入射 角等于反射角构造角等于反射角构造AOB 与与AFE相似，即可利用相似，即可利用 对应边的比相等求出对应边的比相等求出BO问问 题题合作探究合作探究利用相似三角形测量的一般步骤：利用相似三角形测量的一般步骤：利用相似三角形的知识对未知量利用相似三角形的知识对未知量(高度、宽度等高度、宽度等)进行测量，进行测量，一般要经历以下几个步骤：一般要经历以下几个步骤：
20、(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；利用平行线、标杆等构造相似三角形；(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任 意一组对应边的长度；意一组对应边的长度；(3)画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括 未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；(4)检验并得出答案检验并得出答案新知小结新知小结例例3 如如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一 个目标点个目标点P，在近岸取点，在近岸取点Q和和 S，
21、使点，使点P，Q，S共线且共线且 直线直线PS与河垂直，接着在过点与河垂直，接着在过点S且与且与PS 垂直的直线垂直的直线a 上选择适当的点上选择适当的点T，确定，确定PT与与 过点过点Q且垂直且垂直PS的直线的直线b的交的交 点点R已已 测得测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，请，请 根据这些数据，计算河宽根据这些数据，计算河宽PQ.合作探究合作探究解：解：PQR=PST=90,P=P,PQR PST.即即 PQ90=(PQ+45)60.解得解得 PQ=90(m).因此，河宽大约为因此，河宽大约为90 m.PQQRPSST，604590PQQRPQPQQSSTPQ，【答案】解
22、：(1)依题意有：若甲库运往A库粮食x吨，则甲库运到B库(100-x)吨，乙库运往A库(70-x)吨，乙库运到B库(10+x)吨=（1）点在圆外 （2）点在圆上 （3）点在圆内零的立方根是零。A.3B.9C.12 D.27(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。（各个扇形所占的百分比之和为1）6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：【详解】解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小明同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数 测量
23、不能直接到达的两点间的距离，关键是构测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及相似三角形的性质求此距离相似三角形的性质求此距离新知小结新知小结1 (中考中考天水天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测如图是一位同学设计的用手电筒来测 量某古城墙高度的示意图点量某古城墙高度的示意图点P处放一水平的平处放一水平的平 面镜，光线从点面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古出发经平面镜反射后刚好到古 城墙城墙CD的顶端的顶端C处，已知处，已知ABBD，CDBD，测得测得AB2 m，BP3 m，PD12 m，那么该古城
24、墙，那么该古城墙 的高度的高度CD是是_8 m巩固新知巩固新知【中考中考兰州兰州】如图，小明为了测量一凉亭的高度如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端顶端A到水平地面到水平地面BD的距离的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶台阶BC等高的台阶等高的台阶DE(DEBC米，米，A，B，C三点共线三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得处，测得CG15米，米，然后沿直线然后沿直线CG后退到点后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端的顶端A，测得，测得EG3米，小明身高米，则凉亭的高度米，小明身高
25、米，则凉亭的高度AB约为约为()A米米 B9米米 C米米 D10米米2A一一、相似三角形的应用主要有如下两个方面：相似三角形的应用主要有如下两个方面：1.测高测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；2.测距测距(不能直接测量的两点间的距离不能直接测量的两点间的距离).二二、测高的方法测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度测量不能到达顶部的物体的高度,通常用通常用“在同一时刻物在同一时刻物高与影长的比例高与影长的比例”的原理解决的原理解决.三三、测距的方法测距的方法 测量不能到达两点间的距离测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解常构造相似三角形求解.1知识小结知识小结归纳新知归纳新知成比例成比例相等相等课后练习课后练习7CAA对应边的比对应边的比1002cb再见再见
