1、第 1 页，共 15 页 人教版八年级数学下册人教版八年级数学下册第十七章勾股定理第十七章勾股定理单元单元测试测试 一、选择题 1. 直角三角形的斜边为 20cm，两直角边之比为 3：4，那么这个直角三角形的周长为（ ） A. 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 2. 已知直角三角形的两条边长分别是 3 和 5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A. 4 B. 16 C. D. 4 或 3. 如图，两个较大正方形的面积分别为 225，289，则字母A所代表的正方形 的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 4. 设直角三角形的两条直角边分别为a和b，
2、斜边长为c，已知b=12，c=13，则a=（ ） A. 1 B. 5 C. 10 D. 25 5. 在RtABC中，C=90，AB=15，AC：BC=3：4，则这个直角三角形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 54 D. 108 6. E为正方形ABCD内部一点， 且AE=3， BE=4， E=90， 则阴影部分的面积为 （ ） A. 25 B. 12 C. 13 D. 19 7. 如图：在ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，CD是AB边上的高， 则CD=（ ） A. 5cm B. cm C. cm D. cm 8. 以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形
3、的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，6，5 C. 14，13，12 D. 7，25，24 9. 如图，在ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 10 第 2 页，共 15 页 10. 三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b） 2=c2+2ab，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 11. 以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ） A. 4cm，8cm，7cm B. 2cm，2cm，2cm C. 2cm，2cm，4cm D. 6cm，8cm，10cm 二、
4、填空题 12. 已知|a-6|+（2b-16） 2+ =0，则以a、b、c为三边的三角形的形状是_ 13. 如图，ABC中，D为BC上一点，且BD=3，DC=AB=5，AD=4，则AC=_ 14. 如果三角形的三边分别为， ， 2， 那么这个三角形的最大角的度数为_ 15. 如图， 在ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6， 则ABD的面积是_ 16. 已知|x-6|+|y-8|+（z-10） 2=0，则由 x、y、z为三边的三角形是_ 17. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将纸片沿AD 折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，则BDE的
5、面积为 _cm 2 18. 如图，在ABC中，C=90，AC=2cm，AB=3cm， 将ABC绕点B顺时针旋转 60得到FBE，则点E 与点C之间的距离是_cm 19. 如图，在ABC中，AB=AC=2，BAC=120，点D、E都在边BC上，DAE=60若BD=2CE，则DE 的长为_ 20. 将一副三角尺如图所示叠放在一起， 若AB=24cm， 则阴影部分的面积是_ 三、计算题 21. 如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，B=60，C=45 （1）求BAC的度数 （2）若AC=2，求AB的长 第 3 页，共 15 页 22. 如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C
6、三点， 且A、D、E、C四点在同一条直线上，C=90，已测得AB=100m，BC=60m， AD=20m，EC=10m，求池塘的宽度DE 23. 如图，四边形ABCD中，B=90，AB=BC=，CD=8，AD=10 （1）求BCD的度数； （2）求四边形ABCD的面积 24. 如图， 在ABC中， C=90， 在AB边上取一点D， 使BD=BC， 过D作DEAB 交AC于E，AC=8，BC=6求DE的长 第 4 页，共 15 页 25. 如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形 （）若PCD是等腰三角形时，求AP的长； （）若AP=，求
7、CF的长 第 5 页，共 15 页 答案和解析答案和解析 【答案】【答案】 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. B 8. D 9. C 10. C 11. D 12. 直角三角形 13. 14. 90 15. 15 16. 直角三角形 17. 6 18. 19. 3-3 20. 72cm 2 21. 解：（1）BAC=180-60-45=75 （2）AC=2， AD=ACsinC=2sin45=； AB= 22. 解：在RtABC中， = =80m 所以DE=AC-AD-EC=80-20-10=50m 池塘的宽度DE为 50 米 23. 解：（1）连接AC， 在R
8、tABC中，B=90，AB=BC=， 根据勾股定理得：AC=6，ACB=45， CD=8，AD=10， AD 2=AC2+CD2， ACD为直角三角形，即ACD=90， 则BCD=ACB+ACD=135； （2）根据题意得： S四边形ABCD=SABC+SACD= + 68=9+24=33 24. 解：在ABC中，C=90，AC=8，BC=6， AB=10，（2 分） 又BD=BC=6，AD=AB-BD=4，（4 分） DEAB，ADE=C=90，（5 分） 又A=A，AEDABC，（6 分） 第 6 页，共 15 页 ，（7 分） DE= 6=3（8 分） 25. 解：（）在矩形ABCD中，
9、AB=6，AD=8，ADC=90， DC=AB=6， AC=10， 要使PCD是等腰三角形， 当CP=CD时，AP=AC-CP=10-6=4， 当PD=PC时，PDC=PCD， PCD+PAD=PDC+PDA=90， PAD=PDA， PD=PA， PA=PC， AP=AC=5， 当DP=DC时，如图 1，过点D作DQAC于Q，则PQ=CQ， SADC=ADDC=ACDQ， DQ=， CQ=， PC=2CQ=， AP=AC-PC=10-=； 所以，若PCD是等腰三角形时，AP=4 或 5 或； （）方法 1、如图 2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC， 四边形ABCD和PEFD
10、是矩形， ADC=PDF=90， ADP+PDC=PDC+CDF， ADP=CDF， BCD=90，OE=OD， OC=ED， 在矩形PEFD中，PF=DE， OC=PF， OP=OF=PF， OC=OP=OF， OCF=OFC，OCP=OPC， OPC+OFC+PCF=180， 2OCP+2OCF=180， 第 7 页，共 15 页 PCF=90， PCD+FCD=90， 在RtADC中，PCD+PAD=90， PAD=FCD， ADPCDF， ， AP=， CF= 方法 2、如图， 四边形ABCD和DPEF是矩形， ADC=PDF=90， ADP=CDF， DGF+CDF=90， EGC+
11、CDF=90， CEF+CGE=90， CDF=FEC， 点E，C，F，D四点共圆， 四边形DPEF是矩形， 点P也在此圆上， PE=DF， ACB=DCF， ADBC， ACB=DAP， DAP=DCF， ADP=CDF， ADPCDF， ， AP=， CF= 第 8 页，共 15 页 方法 3、如图 3， 过点P作PMBC于M交AD于N， PND=90， PNCD， ， ， AN=， ND=8-= （10-） 同理：PM= （10-） PND=90， DPN+PDN=90， 四边形PEFD是矩形， DPE=90， DPN+EPM=90， PDN=EPM， PND=EMP=90， PNDEM
12、P， = ， PD=EF，DF=PE ， ， ，ADP=CDF， ADPCDF， = ， AP=， CF= 【解析】【解析】 1. 解：根据题意设直角边分别为 3xcm与 4xcm，由斜边为 20cm， 根据勾股定理得：（3x） 2+（4x）2=202， 整理得：x 2=16， 第 9 页，共 15 页 解得：x=4， 两直角边分别为 12cm，16cm， 则这个直角三角形的周长为 12+16+20=48cm 故选D 根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周 长 此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键 2. 解：
13、当 3 和 5 都是直角边时，第三边长为：=； 当 5 是斜边长时，第三边长为：=4 故选：D 此题要分两种情况：当 3 和 5 都是直角边时；当 5 是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可 此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一 点，造成丢解 3. 解： 正方形PQED的面积等于 225， 即PQ 2=225， 正方形PRGF的面积为 289， PR 2=289， 又PQR为直角三角形，根据勾股定理得： PR 2=PQ2+QR2， QR 2=PR2-PQ2=289-225=64， 则正方形QMNR的面积为 64 故选D 根据正方形
14、的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及 PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积 此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它 的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决能否由实际 的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键 4. 解：直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，b=12，c=13， a=5 故选B 直接根据勾股定理即可得出结论 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边
15、长的平方之和一定等于斜边长的平方 是解答此题的关键 5. 解：设AC=3x，则BC=4x， 根据勾股定理有AC 2+BC2=AB2， 即（3x） 2+（4x）2=152，得：x2=9， 则ABC的面积= 3x4x=6x 2=54 故选：C 第 10 页，共 15 页 设AC=3x，则BC=4x，然后根据勾股定理得到AC 2+BC2=AB2，求出 x 2的值，继而根据三角形的面积公式求出 答案 本题考查勾股定理的知识，难度适中，关键是根据勾股定理公式求出x 2的值 6. 解：在RtAEB中，AEB=90，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5， 正方形的面积是 55=25， AEB的面积是A
16、EBE= 34=6， 阴影部分的面积是 25-6=19， 故选D 根据勾股定理求出AB，分别求出AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案 本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的 表示是解题的关键 7. 解：在ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm， AC 2+BC2=AB2， ABC是直角三角形，且ACB=90 根据三角形面积相等可知， BCAC=ABCD， CD=cm 故选：B 由题干条件知：AC 2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，根据三角形的面积相等即 可求出CD的长 本题主要考查勾股定理的逆
17、定理的知识点，此题难度一般，利用好勾股定理的逆定理是解答本题的关键 8. 解：7 2+242=49+576=625=252 如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形 故选：D 根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a 2+b2=c2，则 可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形 此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握此题难度不大，属于基础题 9. 解：AB=8，BC=10，AC=6， 6 2+82=102， ABC是直角三角形，BAC=90， 则由面积公式知，SABC=ABAC=BCAD， AD= 故选C 根据所给的条件和勾股定理的逆定
18、理证出ABC是直角三角形， 再根据三角形的面积相等即可得出BC边上 的高 本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；由勾股定理的逆定理证出三角形是直角三角形是解决 问题的关键 10. 解：化简（a+b） 2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故选：C 对等式进行整理，再判断其形状 本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定 11. 解：A、4 2+7282，故不能构成直角三角形； B、2 2+2222，故不能构成直角三角形； 第 11 页，共 15 页 C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形； D、6 2+82=102，故能构成直角三角形
19、故选D 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可 本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股 定理的逆定理加以判断即可勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a 2+b2=c2，那么这个三角形是直角三 角形 12. 解：由题意得：a-6=0，2b-16=0，10-c=0， 解得：a=6，b=8，c=10， 6 2+82=102， 三角形为直角三角形， 故答案为：直角三角形 根据非负数的性质可得a-6=0，2b-16=0，10-c=0，再解方程可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理可 得三角形的形状 此题主要考查了非负数的性质，以
20、及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边 长a，b，c满足a 2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 13. 解：BD=3，DC=AB=5，AD=4， 又3 2+42=52， ABD是直角三角形， ACD是直角三角形 AC= 先根据勾股定理的逆定理得出ABD、ACD是直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长 本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理，确定ADB是直角是解题的关键 14. 解：（） 2+22=（ ） 2， 此三角形是直角三角形， 这个三角形的最大角的度数为 90， 故答案为：90 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a 2+b2=c2，那么
21、这个三角形就是直角三角形可 得答案 此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形必须满足较小两边平方 的和等于最大边的平方才能做出判断 15. 解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE， AD是BC边上的中线， BD=CD， 在ABD和CED中， ， ABDCED（SAS）， CE=AB=5，BAD=E， AE=2AD=12，CE=5，AC=13， CE 2+AE2=AC2， E=90， BAD=90， 即ABD为直角三角形， ABD的面积=ADAB=15， 第 12 页，共 15 页 故答案为：15 延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明ABDCE
22、D，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明 CDE是直角三角形即：ABD为直角三角形，进而可求出ABD的面积 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三 角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题 16. 解：|x-6|+|y-8|+（z-10） 2=0， x-6=0，y-8=0，z-10=0， 解得x=6，y=8，z=10， 6 2+82=102， x 2+y2=z2， 由x、y、z为三边的三角形是直角三角形 故答案为：直角三角形 根据非负数的性质可得x-6=0，y-8=0，z-10=0，进而可得x=6，y=8，z=10，再根据勾股定理逆
23、定理可得x、 y、z为三边的三角形是直角三角形 此题主要考查了非负数的性质， 以及勾股定理逆定理， 关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a 2+b2=c2， 那么这个三角形就是直角三角形 17. 解：AC=6cm，BC=8cm， AB=10cm， AE=6cm（折叠的性质）， BE=4cm， 设CD=DE=x，则在RtDEB中，4 2+x2=（8-x）2， 解得x=3， 即DE等于 3cm BDE的面积= 43=6， 故答案为：6， 先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得DE的长， 于是得到结论 本题考查了翻折变换（折叠问题），以及利用勾股
24、定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方 18. 解：连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离， 在RtACB中，由勾股定理得：BC=（cm）， 将ABC绕点B顺时针旋转 60得到FBE， BC=BE，CBE=60， BEC是等边三角形， EC=BE=BC=cm， 故答案为： 根据旋转的性质得出BC=BE，CBE=60，得出等边三角形BEC，求出EC=BC，根据勾股定理求出BC即可 第 13 页，共 15 页 本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出BEC是等边三角形是解 此题的关键 19. 解：（方法一）将ABD绕点A逆时针旋
25、转 120得到ACF，连接EF，过点E作EMCF于点M，过 点A作ANBC于点N，如图所示 AB=AC=2，BAC=120， BN=CN，B=ACB=30 在RtBAN中，B=30，AB=2， AN=AB=，BN=3， BC=6 BAC=120，DAE=60， BAD+CAE=60， FAE=FAC+CAE=BAD+CAE=60 在ADE和AFE中， ADEAFE（SAS）， DE=FE BD=2CE，BD=CF，ACF=B=30， 设CE=2x，则CM=x，EM=x，FM=4x-x=3x，EF=ED=6-6x 在RtEFM中，FE=6-6x，FM=3x，EM=x， EF 2=FM2+EM2，
26、即（6-6x）2=（3x）2+（ x） 2， 解得：x1=，x2=（不合题意，舍去）， DE=6-6x=3-3 故答案为：3-3 （方法二）：将ABD绕点A逆时针旋转 120得到ACF，取CF的中点 G，连接EF、EG，如图所示 AB=AC=2，BAC=120， ACB=B=ACF=30， ECG=60 CF=BD=2CE， CG=CE， CEG为等边三角形， EG=CG=FG， EFG=FEG= CGE=30， CEF为直角三角形 BAC=120，DAE=60， BAD+CAE=60， FAE=FAC+CAE=BAD+CAE=60 在ADE和AFE中， ADEAFE（SAS）， DE=FE
27、设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-3x， 在RtCEF中，CEF=90，CF=2x，EC=x， 第 14 页，共 15 页 EF=x， 6-3x=x， x=3-， DE=x=3-3 故答案为：3-3 （方法一） 将ABD绕点A逆时针旋转 120得到ACF， 连接EF， 过点E作EMCF于点M， 过点A作ANBC 于点N，由AB=AC=2、BAC=120，可得出BC=6、B=ACB=30，通过角的计算可得出FAE=60， 结合旋转的性质可证出ADEAFE（SAS） ， 进而可得出DE=FE， 设CE=2x， 则CM=x，EM=x、FM=4x-x=3x、 EF=ED=6-6x，在Rt
28、EFM中利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入 DE=6-6x中即可求出DE的长 （方法二）将ABD绕点A逆时针旋转 120得到ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB=AC=2、 BAC=120，可得出ACB=B=30，根据旋转的性质可得出ECG=60，结合CF=BD=2CE可得出CEG 为等边三角形， 进而得出CEF为直角三角形， 通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE， 设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-3x，在RtCEF中利用勾股定理可得出FE=x，利用FE=6-3x=x可求 出x以及FE的值，此题得解 本题考查了全等
29、三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程以及旋转的性质，通过勾股定理找出关 于x的一元二次方程是解题的关键 20. 解：B=30，ACB=90，AB=24cm， AC=AB=12cm 由题意可知BCED， AFC=ADE=45， AC=CF=12cm 故SACF= 1212=72（cm 2） 故答案为：72cm 2 由于BCDE，那么ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；RtABC中，已 知斜边AB及B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积 本题考查了含 30角的直角三角形的性质以及解直角三角形，发现ACF是等腰直角三角形，并能根
30、据直 角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键 21. （1）根据三角形的内角和是 180，用 180减去B、C的度数，求出BAC的度数是多少即可 （2）首先根据AC=2，AD=ACsinC，求出AD的长度是多少；然后在RtABD中，求出AB的长是多少即 可 此题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握 22. 根据已知条件在直角三角形ACB中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可 本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一 23. 此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的
31、关键 （1）连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由CD与AD的长，利用勾股定理的逆 定理判断得到三角形ACD为直角三角形，再由等腰直角三角形的性质，根据BCD=ACB+ACD即可求出； （2）四边形ABCD面积=三角形ABC面积+三角形ACD面积，求出即可 24. 依题意易证AEDABC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求出DE的长 本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应边成比例 25. （）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论； （）方法 1、先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出OCF=OFC，OCP=OPC，最 后判断出ADPCDF，得出比例式即可得出结论 方法2、 先判断出CEF=FDC， 得出点E，C，F，D四点共圆， 再判断出点P也在此圆上， 即可得出DAP=DCF， 第 15 页，共 15 页 此后同方法 1 即可得出结论 方法 3、先判断出PMEDNP即可得出，进而用两边对应成比例夹角相等判断出ADPCDF， 得出比例式即可得出结论 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质， 解（）的关键是分三种情况讨论计算，解（）的关键是判断出ADPCDF，是一道中考常考题
