1、 2020 届普通高考（天津卷）适应性测试数学试题届普通高考（天津卷）适应性测试数学试题 一、单选题一、单选题 1已知全集已知全集 2, 1,0,1,2U ，集合，集合 2,0,1,2 A， 1,0,1B ，则，则 U AC B （ ） A0,1 B 2,2 C 2, 1 D 2,0,2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先利用补集的定义求出 U C B，再利用交集的定义可得结果. 【详解】 因为全集 2, 1,0,1,2U ， 1,0,1B ， 所以 2,2 U C B ， 又因为集合 2,0,1,2 A， 所以 U AC B 2,2. 故选：B. 【点睛】 研究集合问题，一定要抓住元素，
2、看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是 将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且不属于集合B的 元素的集合. 2设设aR，则，则“2a”是是“ 2 320aa ”的（的（ ） ） A充分非必要条件充分非必要条件 B必必要非充分条件要非充分条件 C充要条件充要条件 D既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用一元二次不等式的解法化简 2 320aa，再由充分条件与必要条件的 定义可得结果. 【详解】 “ 2 320aa ”等价于 “1a 或2a”， “2a”能推出“1a 或2a”，而“1a 或2a”不能推出“2a”， 所以“2a
3、”是“ 2 320aa ”的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据 定义、定理、性质尝试 ,pq qp .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除 借助集合思想化抽象为直观外， 还可利用原命题和逆否命题、 逆命题和否命题的等价性， 转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 3函数函数 2 x x y e 的图象大致是（的图象大致是（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据函数有两个极值点，可排除选项 C、D；利用奇偶性可排除选项 B，进而 可得结果. 【详解】 因为 2
4、 x x y e ，所以 2 2 x xx y e ， 令0y 可得，0,2xx， 即函数有且仅有两个极值点，可排除选项 C、D； 又因为函数 2 x x y e 即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项 B， 故选：A. 【点睛】 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置 (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4如图，长方体如图，长方体 1111 ABCDABC D的体积是的体积是 36，点，点 E 在棱在棱 1 CC上，且 上，且 1
5、 2CEEC， 则三棱锥则三棱锥 E-BCD 的体积是（的体积是（ ） A3 B4 C6 D12 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为 1 1 9 BC CD CC，结合长方体 1111 ABCDABC D的体积是 36 可得结果. 【详解】 因为长方体 1111 ABCDABC D的体积是 36，点 E 在棱 1 CC上，且 1 2CEEC， 所以 1 36BC CD CC， 三棱锥 E-BCD 的体积是 11 32 BC CDEC 11 11211 364 32399 BC CDCCBC CD CC 故选：B. 【点睛】 本题主要考查柱体的体积与锥体的体积
6、，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础 题. 5 某市为了解全市居民日常用水量的分布情况， 调查了一些居民某年的月均用水量 （单 某市为了解全市居民日常用水量的分布情况， 调查了一些居民某年的月均用水量 （单 位：吨） ，其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中位：吨） ，其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中 t 的值为（的值为（ ） 分组分组 频数频数 频率频率 0,0.5) 4 0.04 0.5,1) 8 0.08 1,1.5) 15 a 1.5,2) 22 0.22 2,2.5) m 0.25 2.5,3) 14 0.14 3,3.5) 6 0.06 3.5,4) 4 0.04
7、4,4.5) 2 0.02 合计合计 100 1.00 A0.15 B0.075 C0.3 D15 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由频率和为 1 可求得0.15a，再除以组距即可得结果. 【详解】 因为 0.04+0.08+a+0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1， 所以0.15a， 又因为组距等于 0.5， 所以 t 的值为 0.15 0.3 0.5 ， 故选：C. 【点睛】 直方图的主要性质有： （1）直方图中各矩形的面积之和为1； （2）组距与直方图纵坐标 的乘积为该组数据的频率； （3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后 求和可得平均值；
8、（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 6已知已知 ( )f x是定义在 是定义在 R 上的偶函数且在区间上的偶函数且在区间0,)单调递减，则（单调递减，则（ ） A 22 1 loglog2 3 fff B 22 1 log2log 3 fff C 22 1 2loglog 3 fff D 22 1 2loglog 3 fff 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出 22 loglo2g 3 ， 再利用函数 ( )f x的单调性与奇偶性可得结果. 【详解】 因为 ( )f x是定义在 R 上的偶函数，所以 222 1 loglog 3lo
9、g 3 3 fff ， 根据对数函数的单调性可得 222 3log1l g2olog， 根据指数函数的单调性可得 0 1022 ， 所以 22 loglo2g 3 ， 因为 ( )f x在区间0,)单调递减， 所以 22 2log 3logfff ， 即 22 1 2loglog 3 fff 故选：C. 【点睛】 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区 间 ,0 , 0,1 , 1, ） ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问 题也可以两种方法综合应用. 7抛物线抛物线 2 2(0)xpy p的焦点与双曲线的焦点与双曲线 22 1 169 x
10、y 的右焦点的连线垂直于双曲线的的右焦点的连线垂直于双曲线的 一条渐近线，则一条渐近线，则 p 的值为（的值为（ ） A 15 2 B 40 3 C 20 3 D 8 7 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先求出抛物线 2 2(0)xpy p的焦点与双曲线 22 1 169 xy 的右焦点，再利用直 线垂直斜率相乘等于-1 可得结果. 【详解】 抛物线 2 2(0)xpy p的焦点为0, 2 p F ，双曲线 22 1 169 xy 的右焦点为 1 5,0F， 所以 1 10 FF p k ，又因为双曲线的渐近线为 3 4 yx=?， 所以 1 340 1 1043 FF p kp ，
11、故选：B. 【点睛】 本题主要考查抛物线与双曲线的焦点， 考查了双曲线的渐近线方程以及直线垂直斜率之 间的关系，属于基础题. 8已知函数已知函数( )sin cosf xxx ，则下列结论错误的是（，则下列结论错误的是（ ） A ( )f x的最小正周期为 的最小正周期为2 B ( )yf x 的图象关于直线的图象关于直线 5 4 x 对称对称 C 7 4 是是 ( )f x的一个零点 的一个零点 D ( )f x在区间 在区间 3 , 2 单调递减单调递减 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用辅助角公式化简( )2sin 4 f xx ，再利用正弦函数的周期性、对 称性、单调性以及函数零
12、点的定义逐一判断即可. 【详解】 ( )sincos2sin 4 f xxxx ， 对于 A， ( )f x的最小正周期为 2 2 1 ，正确； 对于 B， 5 4 x 时，1y 为最小值，( )yf x的图象关于直线 5 4 x 对称，正确； 对于 C， 7 4 x 时，0y ， 7 4 是 ( )f x的一个零点，正确； 对于 D， ( )f x在区间 3 , 2 上不是单调函数，错误， 故选：D. 【点睛】 本题通过对多个命题真假的判断，综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函 数的零点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往 往因为某一处知识点掌握不好
13、而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题， 尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然 后集中精力突破较难的命题. 9已知函数已知函数 2 2 ,0 ( ) 24 ,0 xxx f x x x x ，若函数，若函数( )( ) |1|F xf xkx有且有且只有只有 3 个零个零 点，则实数点，则实数 k 的取值范围是（的取值范围是（ ） A 9 0, 16 B 9 , 16 C 1 0, 2 D 19 ,00, 1616 【答案】【答案】D 【解析】【解析】画出函数图象，分两种情况讨论，分别求出直线与曲线 24 0 x yx x 相 切时的斜率，结
14、合函数图象的交点个数，即可判断函数( )( ) |1|F xf xkx有且只有 3 个零点时实数 k 的取值范围. 【详解】 0k 时， 1ykx过0, 1 ， 设1ykx与 24 0 x yx x 切于 1 1 1 24 , x x x ，因为 2 4 y x ， 2 1 4 k x ， 则 1 1 1 2 11 24 1 489 , 0316 x x xk xx 画出 f x的图象，由图可知，当 9 0, 16 k 时， yf x与1ykx有三个交点 k0时，11ykxykx ， 1ykx 过0,1， 设1ykx 与 24 0 x yx x 切于 2 2 2 24 , x x x ， 因为
15、 2 4 y x ， 所以 2 2 4 k x ， 可得 2 2 2 2 22 24 1 411 8 01616 x x xkk xx ， 画出 f x的图象，由图可知，当 1 0, 16 k ，即 1 ,0 16 k 时， yf x与 1ykx有三个交点， 综上可得， 19 ,00, 1616 k 时， yf x与1ykx有三个交点， 即 1F xf xkx有三个零点. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据 数量与图形之间的对应关系， 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方 法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象
16、地揭示了函数的性质，为研究函数的数 量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定 方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质 二、填空题二、填空题 10i 是虚数单位，复数是虚数单位，复数 32 1 i i _. 【答案】【答案】 15 22 i 【解析】【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可. 【详解】 321321 5 1112 iiii iii 15 22 i， 故答案为： 15 22 i. 【点睛】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的 理解， 掌握
17、纯虚数、 共轭复数、 复数的模这些重要概念， 复数的运算主要考查除法运算， 通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单 问题出错，造成不必要的失分. 11已知直线已知直线2 50xy 与圆与圆 22 9xy交于点交于点 A,B 两点，则线段两点，则线段 AB 的长为的长为 _. 【答案】【答案】4 【解析】【解析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得结果. 【详解】 因为 22 9xy的圆心为0,0，半径3r ， 0,0到直线 250xy的距离 5 5 1 4 d ， 所以线段 AB 的长为2 954， 故答案为：4. 【点睛】 本题主要考
18、查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利 用弦长公式 2 12 1lkxx，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半 径构成直角三角形，利用勾股定理求解. 12在在 4 3 2 x x 的展开式中，常数项是的展开式中，常数项是_ 【答案】【答案】8 【解析】【解析】写出 4 3 2 x x 的展开式的通项公式，让x的指数为零，求出常数项. 【详解】 因为 4 3 2 x x 的展开式的通项公式为： 4 4 43 3 144 2 ()()( 2) r rrrrr r TCxCx x ， 所以令 44 01 3 r r ，常数项为 11 4 ( 2)8C . 【点睛
19、】 本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题，考查了运算能力. 13已知某同学投篮投中的概率为已知某同学投篮投中的概率为 2 3 ，现该同学要投篮，现该同学要投篮 3 次，且每次投篮结果相互独次，且每次投篮结果相互独 立，则恰投中两次的概率为：立，则恰投中两次的概率为：_；记；记 X 为该同学在这为该同学在这 3 次投篮中投中的次次投篮中投中的次 数数,则随机变量则随机变量 X 的数学期望为的数学期望为_. 【答案】【答案】 4 9 2 【解析】【解析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率；分析题意可得随机变量 2 3, 3 XB ，利用二项分布的期望公式可得结果. 【详解】
20、 由独立重复试验的概率公式可得，恰投中两次的概率为 2 2 3 21 39 4 3 C ； X可取 0，1，2，3， 3 0 3 2 (0) 332 11 7 P XC ； 2 1 3 21 ) 2 (1 339 P XC 2 2 3 ( 2 2) 339 14 P XC 30 3 3 2 (3) 327 8 3 1 P XC 则随机变量 2 3, 3 XB ， 所以 2 32 3 EXnp ， 故答案为： 4 ,2 9 . 【点睛】 “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望对于某些实际问题中的 随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布,XB n p） ，则此
21、随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E Xnp)求得 因此， 应熟记 常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度 14已知已知0, 0ab ，则，则 2233 22 4aba b a b 的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】4 【解析】【解析】化简原式为 22 14 ab ba ，两次运用基本不等式可得结果. 【详解】 2233 2222 414aba b ab a bba 22 14 2ab ba 44 24abab abab ， 当且仅当 22 14 4 ba ab ab ，即 2 1 a b 等号成立， 所以， 2233 22 4aba b a b 的最小值为 4， 故答
22、案为：4. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要 正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二 定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定 要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用 或时等号能否同时成立）. 15如图，在如图，在ABC中，中，3,2,60ABACBAC，D,E 分别边分别边 AB,AC 上的上的 点点,1AE 且且 1 2 AD AE， 则， 则|AD_， 若， 若 P 是线段是线段 DE 上的上的一个动点，一个动点， 则则
23、BP CP的最小值为 的最小值为_. 【答案】【答案】1 1 16 【解析】【解析】由 1 2 AD AE利用数量积公式可求|AD的值为 1，设DP的长为x，则 1PEx ， 2,1BDEC，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则， 可得 BP CP 2 2 x x，再利用配方法可得结果 【详解】 11 cos601 22 AD AEADAEAD ，1AD； 又因为1AE 且60BAC ，ADE为正三角形， 1DEADAE ，120BDPCEP ， 2,1BDEC， 设DP的长为x（01x） ，则1PEx ， ， BP CPBDDPCEEP BD CEBD EPDP CEDP EP 1
24、11 2 12 1111 222 xxxx 2 2 111 , 241616 x xx 1 4 x 时取等号， BP CP 的最小值为 1 16 . 故答案为：1， 1 16 . 【点睛】 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运 算法则是： （）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ； （） 三角形法则 （两箭头间向量是差， 箭头与箭尾间向量是和） 平面向量数量积的计算问题， 往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几 何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用 三、解答题三、解答题
25、 16在在 ABC 中，角中，角 A、B、C 的对边分别为的对边分别为 a、b、c，已知，已知 22 3()32acbac （1）求）求cos B的值的值 （2）若）若53ab （i）求）求sin A的值的值 （ii）求）求sin 2 6 A 的值的值. 【答案】【答案】 （1） 2 3 ； （2） （i） 5 5 ;（ii） 4 33 10 . 【解析】【解析】 （1）化简原式，直接利用余弦定理求cos B的值即可； （2） （i）由（1）可得 5 sin 3 B ，再利用正弦定理求sin A的值； （ii）利用二倍角的余弦公式求得 5 sin 5 A ，可得 2 5 cos 5 A，再由二
26、倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得 结果. 【详解】 （1） 在ABC中，由 2 2 332acbac，整理得 222 2 23 acb ac ， 又由余弦定理，可得 2 cos 3 B ； （2） （i）由（1）可得 5 sin 3 B ，又由正弦定理 sinsin ab AB ， 及已知53ab，可得 sin355 sin 535 aB A b ； （ii）由 （i） 可得 2 3 cos21 2sin 5 AA ，由已知53ab，可得ab，故有AB ， A为锐角， 故由 5 sin 5 A ， 可得 2 5 cos 5 A， 从而有 4 sin22sincos 5 AAA, 4331
27、4 33 sin 2sin2 coscos2 sin 666525210 AAA . 【点睛】 以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解 三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解 答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并 灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 17 如图， 在四棱锥 如图， 在四棱锥P一一ABCD中， 已知中， 已知5,4,2 2ABBCACADDC， 点点 Q 为为 AC 中点，中点，PO底面底面 ABCD,2PO，点，点 M 为为 PC 的中点的中点.
28、 （1）求直线）求直线 PB 与平面与平面 ADM 所成角的正弦值；所成角的正弦值； （2）求二面角）求二面角 D-AM-C 的正弦值；的正弦值； （3）记棱）记棱 PD 的中点为的中点为 N，若点，若点 Q 在线段在线段 OP 上，且上，且/ /NQ平面平面 ADM，求线段，求线段 OQ 的的 长长. 【答案】【答案】 （1） 7 55 55 ； （2） 110 11 ； （3） 4 3 . 【解析】【解析】以 O 为原点，分别以向量,OB OC OP的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建 立空间直角坐标系， （1）求出直线 PB 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求 出平面A
29、DM的法向量， 可求直线PB与平面ADM所成角的正弦值；（2） 由已知可得OB 平面AMC，故OB是平面AMC的一个法向量，结合（1）中平面 ADM 的法向量，利 用空间向量夹角余弦公式可求二面角 D-AM-C 的余弦值，从而可得正弦值； （3）设线段 OQ的长为02hh， 则点Q的坐标为 0,0,h， 由已知可得点N的坐标为1,0,1， 利用直线NQ与平面的法向量数量积为零列方程求解即可. 【详解】 依题意，以 O 为原点，分别以向量,OB OC OP的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建 立空间直角坐标系（如图） ，可得(0,0,0),(0, 2,0),(1,0,0),(0,2,0
30、)OABC， ( 2,0,0),(0,0,2),(0,1,1)DPM. （1）依题意，可得( 2,2,0),(0,3,1)ADAM ， 设, ,nx y z为平面 ADM 的法向量，则 0 0 n AD n AM ， 即 220 30 xy yz ，不妨设1y ，可得1,1, 3n ， 又1,0, 2PB ， 故 7 55 cos, 55| PB n PB n PB n ， 直线 PB 与平面 ADM 所成角的正弦值为 7 55 55 ； （2）由已知可得,OBAC OBPO， 所以OB平面AMC， 故OB是平面AMC的一个法向量， 依题意可得1,0,0OB ， 因此有 11 cos, 11
31、| OB n OB n OB n ，于是有 110 sin, 11 OB n ， 二面角 D-AM-C 的正弦值 110 11 ； （3）设线段 OQ 的长为02hh，则点 Q 的坐标为0,0,h， 由已知可得点 N 的坐标为1,0,1，进而可得1,0,1NQh， 由/ /NQ平面 ADM，故,0NQnNQ n， 即1 310h，解得 4 0,2 3 h ， 线段 OQ 的长为 4 3 . 【点睛】 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是： （1） 观察图形， 建立恰当的空间直角坐标系； （2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量； （3）设出相应平面的法向量，利 用两直线垂直数量积为零列出
32、方程组求出法向量；（4） 将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 18已知椭圆已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为的离心率为 6 3 ，点，点 3 2 2, 3 T在椭圆上在椭圆上 （1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程； （2）已短直线）已短直线2myx与椭交于与椭交于 A、B 两点，点两点，点 P 的坐标为的坐标为(2 2,0)，且，且 1PA PB uur uur ,求实数求实数 m 的值的值. 【答案】【答案】 （1） 22 1 93 xy ； （2）3m. 【解析】【解析】 （1）根据题意，结合性质 222 abc ，列出关于a 、
33、b 、c的方程组， 求出a 、b，即可得椭圆的方程； （2）直线与曲线联立，根据韦达定理，利用平面向 量数量积公式，结合条件 1PA PB uur uur 列方程求解即可. 【详解】 （1）设椭圆的焦距为2c，由已知有 2 2 2 3 c a ，又由 222 abc， 可得 22 3ab=，由点 3 2 2, 3 T在椭圆上，有 22 81 1 3ab ， 由此可得 22 9,3ab，椭圆的方程为 22 1 93 xy ； （2）设点 A 的坐标 11 ,x y，点 B 的坐标 22 ,x y, 由方程组 22 2 1 93 yxm xy ，消去 y，整理可得 22 76 2390xmxm ，
34、 由求根公式可得 2 1212 6 239 , 77 mm xxx x ， 由点 P 的坐标为2 2,0，可得 1122 2 2,2 2,PAxyPBxy， 故 1212121212 2 22 22 28PA PBxxy yx xxxy y ， 又 1122 2,2yxm yxm， 2 121212 22y yx xm xxm， 代入上式可得 2 1212 3( 22 2)8PA PBx xmxxm， 由已知 1PA PB uur uur ，以及，可得 2 2 3 39 ( 22 2)( 6 2 ) 81 77 m mm m ， 整理得 2 690mm，解得3m， 这时，的判别式 2 1225
35、21440m ，故3m满足题目条件， 3m. 【点睛】 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于, ,a b c的方程组，解出 , ,a b，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思 路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程， 解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 19已知数列已知数列 n a是公差为是公差为 1 的等差数列，数列的等差数列，数列 n b是等比数，且是等比数，且 347 aaa, 245 b bb, 423 4abb数列数列 n c满足满足 21 2 ,32 ,31 ,3 m
36、nm m bnm cbnm anm 其中其中 * mN . （1）求）求 n a和和 n b的通项公式的通项公式 （2）记）记 * 32 3131 3331nnnnnnn tccccc cnN ，求数列，求数列 n t的前的前 n 项和项和. 【答案】【答案】 （1） 1 ,2n nn an b ； （2） 2628 164 15315 nn n . 【解析】【解析】 （1）利用 341 aaa, 245 b bb, 423 4abb列方程求出，等差数列的首项、 等比数列的首项与公比，从而可得结果； （2）先根据 21 2 ,32 ,31 ,3 m nm m bnm cbnm anm 得 22
37、212124321 2222232 nnnnnn n tnnn ， 再根据分组求和与错位相减求和 法，结合等比数列的求和公式可得结果. 【详解】 （1）设数列 n a的公差为 d，数列 n b的公比为 q，则1d ， 由 347 aaa，可得 1 1ad，由 245 b bb，可得 244 11 bqb q， 又 1 0,0bq，故可得 1 1b ， 再由 423 4abb，可得 2 440qq，解得 2q = ， 1 ,2n nn an bnN ； （2） 22 21 2,32 2,31 ,3 m m n nm cnm mnm ，其中n N， 22212124321 2222232 nnnn
38、nn n tnnn ， 记 4321 111 ,2,2 nnn kk nknn kkk TtABk ， 则 4 4 2122 161 22 16 12151515 nn n n A ， 21 1 22 83 322 n n Bn ， 故有 2121 41 82 32(1) 22 nn n Bnn ， -可得 2121 3283222 nn n Bn 21 2 14 2 14 n n n 262 4 33 n n ， 由此可得 622 34 33 n n n B ， 由3 nnn TAB，故可得 2628 164 15315 nn n n T . 【点睛】 “错位相减法”求数列的和是重点也是难点
39、，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几 点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积） ； 相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记 等式两边同时除以1q. 20 已知函数 已知函数 2 ( )2 lnf xxxx， 函数， 函数 2 ( )(ln ) a g xxx x ， 其中， 其中aR， 0 x是是( )g x 的一个极值点，且的一个极值点，且 0 2g x . （1）讨论）讨论 ( )f x的单调性 的单调性 （2）求实数）求实数 0 x和和 a 的值的值 （3）证明）证明 * 2 1 11 ln(21) 2 41 n
40、k nnN k 【答案】【答案】 （1） f x在区间0,单调递增； （2） 0 1,1xa； （3）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）求出 fx，在定义域内，再次求导，可得在区间0,上 0fx 恒 成立，从而可得结论； （2）由 0gx ，可得 2 000 2ln0xxxa，由 0 2g x可 得 2 2 0000 ln20xxxxa，联立解方程组可得结果； （3）由（1）知 2 2 lnf xxxx在区间0,单调递增，可证明 1 lnxx x ，取 * 21, 21 k xkN k ，可得 2121 ln(21)ln(21) 2121 kk kk kk ，而 2 21212 2121
41、41 kk kk k ，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果. 【详解】 （1）由已知可得函数 f x的定义域为0,，且( )22ln2fxxx ， 令 h xfx，则有 21 ( ) x h x x ，由 0h x ，可得1x ， 可知当 x 变化时， ,h xh x的变化情况如下表： x 0,1 1 1, h x - 0 + h x 极小值 10h xh，即 0fx ，可得 f x在区间0,单调递增； （2）由已知可得函数 g x的定义域为0,，且 2 2ln ( )1 ax g x xx ， 由已知得 0gx ，即 2 000 2ln0xxxa， 由 0 2g x可得， 2 2 0000
42、ln20xxxxa， 联立，消去 a，可得 2 000 2ln2ln20xxx， 令 2 ( )2(ln )2ln2t xxxx，则 2ln22(ln1) ( )2 xxx t x xxx ， 由（1）知，ln10xx ，故 0tx ， t x在区间0,单调递增， 注意到 10t，所以方程有唯一解 0 1x ，代入，可得1a ， 0 1,1xa； （3）证明：由（1）知 2 2 lnf xxxx在区间0,单调递增， 故当1,x时， 11f xf， 2 22 2 ln1( ) 1 ( )0 xxxf x g x xx ， 可得 g x在区间 1,单调递增， 因此，当1x 时， 12g xg，即 2 1
