1、 2018-2019 学年江苏省南通市通州区、海门市、启东市学年江苏省南通市通州区、海门市、启东市 高一（上）期末数学试卷高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题，共小题，共 40.040.0 分）分） 1.在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边，绕坐标原点O按逆时针方向旋转 3 弧度后所得角的 终边在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 根据角度制与弧度制的概念，即可作出判断，得到答案 【详解】由题意，因为，所以 弧度角的终边在第二象限，故选：B 【点睛】本题主要考查了象限角的判定，以
2、及弧度制的估算，其中解答中合理作出角的估算是解答此类问题 的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 2.已知集合，0，1，3，则中的元素个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用交集定义先求出，由此能求出中的元素个数 【详解】由题意，因为集合奇数 ，0，1，3， 1，所以中的元素个数为 3 故选：C 【点睛】本题主要考查了交集的运算，以及集合中元素的个数的判定，其中解答中熟练利用集合交集的运算， 求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 3.在下列区间上，方程无实数解的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函
3、数，从而利用零点的判定定理，即可作出判定，得到答案 【详解】由题意，令， 易知在 R 上连续， ， 且， 故在，上有零点， 故方程在区间上没有零点 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，以及零点的存在定理的应用，其中解答中根据函数的解析式求 得相应的函数值，验证零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 4.下列函数是周期函数的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用排除法，对周期函数的定义进行分析，进一步求出结果 【详解】对于选项：A 中，函数：，故函数为常量函数，错误 对于选项：B 中，函数为偶函数，图象关于 y 轴对称，由图象
4、可知不是周期函数，错误 对于选项：C 中，函数，由定义域不是 R，所以不是周期函数，错误。 以上选项都不满足， 对于选项：D，函数为分段函数，由函数的图象可判定是周期函数，错误 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质周期性定义的应用，其中熟记三角函数的周期性的判定方法是解答 的关键，着重考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 5.对于定义在R上的函数，给出下列四种说法： 若，则函数是奇函数； 若，则函数是偶函数； 若，则函数在R上不是单调减函数； 若函数在 一，上是单调增函数，在上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数 其中，正确说法的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D.
5、 3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性判断的正误；利用函数的单调性判断的正误，即可得到答案； 【详解】中，若，则函数不一定是奇函数，不一定满足奇函数的定义，所以不正确 若，则函数不一定是偶函数；不一定满足偶函数的定义，所以不正确 若，不满足函数的单调减函数的定义，则函数在 R 一定不是单调减函数，所以正确； 若函数在 一， 上是单调增函数，在上也是单调增函数，则函数在 R 上不一定是单调增 函数，所以不正确，例如函数，在 一，上是单调增函数，在上也是单调增函 数，但在 R 上不是单调递增函数，所以不正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的单调性及其函数的奇偶性的判定及其应
6、用，其中解答中熟记函数的单调性和 函数的奇偶性的判定和应用是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题 6.要得到函数的图象，只需要把函数的图象 A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数 即，再根据函数的图象变换规律，可得结论 【详解】由题意，把函数的图象向左平移 个单位长度，可得函数 的图象，故选 C 【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用，以及函数的图象变换规律，其中解答中熟记三角 函数的图象变换是解答的关键，属于基础题，着重考查了推理与运算能力 7.已知函数为幂
7、函数、指数函数、对数函数中的一种，下列图象法表示的函数中，分别具有性质 、的函数序号依次为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数图象可得函数类型对应于指数函数，对应于对数函数，对应于幂指数为正偶数的幂函数， 对应于幂函数中的一次函数，结合函数的性质得答案 【详解】由图可知，对应于指数函数，对应于对数函数，对应于幂指数为正偶数的幂函数，对应于 幂函数中的一次函数 由，可得； 由且，可得； 由且，可得； 由，可得 分别具有性质、 的函数序号依次为， 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的图象，以及基本初等函数的图象与性质的应用，其中解答熟记基本初等函数
8、的图象与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 8.在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，给出下列四组等 式 ， ， ， ， 其中，能使 ， 为常数的组数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 设，结合平面向量的线性运算有： ，可得，即 ，逐一检验即可 【详解】由题意，设， 则 ， 又， ， 为常数， 则，即，满足题意的只有， 故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理和向量共线条件的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理 准确运算，再根据向量的共线条件是解答的关键，着重考查了分析问题和
9、解答问题的能力，属于基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 30.030.0 分）分） 9.在平面直角坐标系xOy中，已知幂函数的图象过点，则 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由幂函数的图象过点，得，由此能求出 的值 【详解】在平面直角坐标系 xOy 中， 因为幂函数的图象过点，所以，解得， 故答案为 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念及其应用，其中解答中熟记幂函数的定义，准确计算是解答的关键， 着重考查了运算与求解能力，属于基础题 10.已知 ， 均为锐角，则的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用两角的和的正切关系式，即可求出结果 【详解
10、】已知 ， 均为锐角，则， 所以：， 故 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，以及两角和的正切关系式的应用，其中解答中熟记两 角和的正切的公式，准确运算是解答的关键，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 11.已知关于实数x的不等式的解集为，则的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由不等式的解集得到不等式所对应的方程的根，在由根与系数关系列式求得 b，c 的值，则可求 【详解】由题意知一元二次不等式的解集是 ， 即， 是方程的两根， 由根与系数关系得：，即，所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，及一元二次方程根与系数关系，其中解答中熟
11、记一元二次 不等式与一元二次方程， 以及一元二函数之间的关系是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力， 属于基础题 12.已知，则_ 用a，b表示 【答案】 【解析】 【分析】 推导出，由此能求出结果 【详解】由题意，因为，所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了指数式、对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解 能力，属于基础题 13.九章算术中记载了弧田 圆弧和其所对弦围成的弓形 的面积公式， 其中“弦” 指圆弧所对弦长， “矢”指半径长与圆心到弦的距离之差已知一块弦长为的弧田按此公式计算所得的面 积为，则该弧田的实际面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】
12、根据题意画出图形，结合图形求出扇形的半径和圆心角，再计算弓形的面积 【详解】如图所示，弦长，设， 则弧田的面积为， 即， 所以，所以， 解得或不合题意，舍去 ； 设，则，所以， 解得，所以， 该弧田的实际面积为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了扇形的面积与弓形的面积计算问题，及方程的解法与应用问题，其中解答中熟记扇 形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题 14.如图，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为 1，2，点A，B分别在直线m，n 上，且，则的最大值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 建立如图所示的坐标系，得到点 A、B、C
13、的坐标，由，求得，利用二次函数的性质求 得的最大值 【详解】由题意，平面内点 P 在两条平行直线 m，n 之间，且到 m，n 的距离分别为 1，2， 可得平行线 m、n 间的距离为 3， 以直线 m 为 x 轴，以过点 P 且与直线 m 垂直的直线为 y 轴，建立坐标系，如图所示： 则由题意可得点，直线 n 的方程为， 设点、点，所以、，所以 所以，所以，所以，或舍去 当时， 当时，取得最大值，最大值为 4 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积公式及其坐标运算，以及二次函数的性质的应用，其中解答中建 立直角坐标系，利用向量的数量积得到关于 的二次函数，利用二次函数的图象与性质是
14、解答的关键，属于中 档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 80.080.0 分）分） 15.已知函数 求函数的对称轴方程； 求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的x的值 【答案】 （1）； （2）当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为 1 【解析】 【分析】 首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数 对称轴方程 利用的函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值 【详解】由题意，函数， 令，整理得：， 所以函数的对称轴方程为： 由得： 由
15、于：，所以， 则，所以 当时，函数的最小值为 当时，函数的最大值为 1 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，其中熟记三角函数的图象 与性质，合理计算是解答的关键，着重考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 16.在平面直角坐标系xOy中，已知向量， 求证：且 设向量，且，求实数t的值 【答案】 （1）详见解析； （2）或 4 【解析】 【分析】 根据向量的坐标即可求出，从而得出，而进行向量坐标的数量积运算即可求出 ，从而得出； 根据即 t 可得出，根据进行数量积的运算即可求出，从而解即 可解出 t 的值 【详解】证明：，所以， 因为，所以； （2）因为
16、，所以； 由得： ，所以， 解得或 4 【点睛】本题主要考查了向量坐标求向量长度的方法，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，以及 向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的垂直的条件，以及向量的数量积的运算，准确计算是解答的关键， 着重考查了推理与运算能力，属于基础题 17.在中，已知，且 求的值； 求证： 【答案】 （1） ； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而可求的值 利用同角三角函数基本关系式可求，由于在单调递减，且， ，即可证明 【详解】 （1）由题意，因为， 所以，所以 证明：因为，可得：， ， ， 又，所以， 在单调递减，且， ，即得
17、证 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦函数的单调性的综合应用，其中解答中熟记同角三 角函数的基本关系式，以及余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力和转化思想， 属于中档题 18.如图为大型观览车主架示意图点O为轮轴中心，距地面高为即巨轮半径为 30m，点P为 吊舱与轮的连结点，吊舱高即，巨轮转动一周需某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按 逆时针方向匀速转动 3 周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点 试建立点距地面的高度关于转动时间的函数关系，并写出定义域； 求转动过程中点超过地面 45m的总时长 【答案】 （1），； （2）15 分钟 【解析】 【分
18、析】 以 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系 xOy，以 Ox 为始边，按逆时针方向转动至终边，写出点 的纵 坐标，计算点距地面的高度； 利用点超过地面 45m 时得出不等式，求出时间 t 的取值范围即可 【详解】如图所示，以 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系 xOy， 设以 Ox 为始边，按逆时针方向经过时间转动至终边所形成的角为， 则点 的纵坐标为，所以点距地面的高度为 ，； 当点超过地面 45m 时，即， 所以， 即，； 因为，所以，所以总时长为 15 分钟， 即点超过地面 45m 的总时长为 15 分钟 【点睛】本题主要考查了三角函数模型的实际应用问题，其中解答中认真审题，建立三角函
19、数的模型，熟练 应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 19.设是定义在R上的奇函数，且当时，且 求函数在R上的解析式； 判断并证明函数在上的单调性； 若对任意的，求实数m的最大值 【答案】 （1）； （2）单调递增； （3）2. 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性和整体思想，即可得函数解析式； 根据函数单调性的定义和指数函数的性质，即可证明， 根据指数函数的性质和基本不等式，即可求出 m 的最大值 【详解】 （1）由题意知，函数是定义在 R 上的奇函数， 设，则， 在上单调递增， 理由如下：设，且， , 当时，则， 当时，则， ，即， 在上单调
20、递增， 对任意的， ， ， 当且仅当时取等号， 即 m 的最大值为 2 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性基本不等式，函数恒成立等问题，其中解答中熟记函数的基 本性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转化能力，属于中档题 20.设a为实数，函数， 若，求不等式的解集； 是否存在实数a，使得函数在区间上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值 范围；若不存在，请说明理由； 写出函数在R上的零点个数 不必写出过程 【答案】 （1）； （2）不存在； （3）3. 【解析】 【分析】 代入 a 的值，通过讨论 a 的范围，求出不等式的解集即可； 通过讨论 a 的范围，求出函
21、数的单调区间，求出函数的最值，得到关于 a 的不等式组，解出判断即可； 通过讨论 a 的范围，判断函数的零点个数即可 【详解】 （1）由题意，当时， 当时，即， 故不存在这样的实数 x， 当时，即，解得：， 故不等式的解集是； ， 若，则在递增，在递减，在递增， 函数在上既有最大值又有最小值， ， 从而，即， 解得：， 故不存在这样的实数 a； 若，则在递增，在递减，在递增， 函数在区间上既有最大值又有最小值， 故， 从而，即， 解得：， 故不存在这样的实数 a； 若，则为 R 上的递增函数， 故在上不存在最大值又有最小值， 综上，不存在这样的实数 a； 当或时，函数的零点个数为 1， 当或时，函数的零点个数为 2， 当时，函数的零点个数为 3 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值问题，以及函数与方程及不等式的应用，其中解答中熟练应用 函数的基本性质，准确运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及函数与方程思想的应用，以及推理与 运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题
