1、赣州市五校协作体2018-2019学年第二学期期中联考高二数学理科试卷试卷满分：150分第I卷一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数z满足z(1+i)=2i（i为虚数单位），则z等于（ ）A1B2C2D222已知命题p：方程ax2+by2=1表示双曲线；命题q：b01,nN*个点，相应的图案中总的点数记为an，则9a2a3+9a3a4+9a4a5+9a2018a2019等于（ ） A20152016B20162017C20172018D2018201912已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点与抛物线y2=8x
2、的焦点F重合，抛物线的准线与双曲线交于A,B两点，且OAB的面积为6（O为原点），则双曲线的方程为（ ）Ax23-y212=1Bx236-y232=1Cx23-y2=1Dx2-y23=1第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13已知函数f(x)=x3+2x2，则曲线y=f(x)在点(-1,f(-1)处的切线方程为_14某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天.甲说：“你们的成绩都没有我高.”乙说：“我的成绩一定比丙高. ”丙说：“你们的成绩都比我高. ”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第_名.15设F是双曲线C：x2a2-y2
3、b2=1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为_.16已知函数f (x)及其导数f (x)，若存在x0，使得f (x0)f (x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是_f(x)x2；f(x)ex；f(x)lnx；f(x)tanx；.三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题10分）（1）设ab0，用综合法证明：a3+b3a2b+ab2；（2）用分析法证明：6+722+5.18（本小题12分）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，点M在
4、AD上，且，将AED,DCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P，如图所示2.1试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明；2求二面角M-EF-D的余弦值.19（本小题12分）已知函数fx=x2(x-1)（1）求函数fx的单调区间；（2）求fx在区间-1,2上的最大值和最小值20（本小题12分）已知抛物线C：y2=2px(p0)过点M(4,-42).(1)求抛物线C的方程；(2)设F为抛物线C的焦点，直线l：y=2x-8与抛物线C交于A，B两点，求FAB的面积21（本小题12分）已知椭圆C过点A26,2 ，两个焦点-26,0,26,0（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A
5、，B两点，且|AB|6，求AOB面积的最大值22（本小题12分）已知函数f(x)=x3+ax.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若函数g(x)=f(x)-xlnx在 12 ,2上有零点，求a的取值范围。赣州市五校协作体2018-2019学年第二学期期中联考高二数学理科试卷参考答案123456789101112ABDCAAABDBCD13x+y=0 142155 1617（1）a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b) 3分而(a-b)20，a+b0 a3+b3-(a2b+ab2)0a3+b3a2b+ab2 5分（2）要证6+
6、722+5，只需证(6+7)2(22+5)2，6分即证42210， 7分只需证(42)2(210)2， 8分即4240， 9分而4240显然成立，故原不等式得证. 10分181 PB与平面MEF的位置关系是PB/平面MEF. 1分证明：在图1中，连结BD交EF于N，交AC于O，则BN=12BO=14BD. 2分在图2中，连结BD交EF于N，连结MN. 3分在DPB中，有BN=14BD,PM=14PD,所以MN/PB.又因为PB面MEF，MN面MEF，5分故PB/平面MEF. 6分2解法一：在图2中，连结BD交EF于N，连结MN. 7分图2中的PDE,PDF，即图1中的RtADE,RtCDF,所
7、以PDPE,PDPF.又PEPF=P,所以PD面PEF,PDEF. 又EFBD，所以EF面PBD.则MND为二面角M-EF-D的平面角. 10分易知PNPM，则在RtPMN中，PM=1,PN=2，则MN=PM2+PN2=3. 在MND中，MD=3,DN=32,由余弦定理，得cosMND=MN2+DN2-MD22MNDN=63.所以二面角M-EF-D得余弦值为63. 12分解法二：以P为原点，分别以PE,PF,PD的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系P-xyz, 7分则E2,0,0,F0,2,0,D0,0,4,M0,0,1，8分于是EM=-2,0,1,FM=0,-2,1, E
8、D=-2,0,4,FD=0,-2,4. 9分分别设平面MEF，平面DEF法向量为n1=x1,y1,z1,n2=x2,y2,z2，由n1EM=0,n1FM=0,得-2x1+z1=0-2y1+z1=0于是取n1=1,1,2，10分又由n2ED=0,n2FD=0,得-2x2+4z2=0-2y2+4z2=0于是可取n2=2,2,1. 11分因为cosn1,n2=n1n2n1n2|=669=63,所以二面角M-EF-D的余弦值为63. 12分19（1）fx=x2x-1=x3-x2，fx=3x2-2x1分由fx=3x2-2x0，解得x23；3分由fx=3x2-2x0，解得0x0)：过点M4,-42，所以-
9、422=8p=32，解得p=4，3分所以抛物线C的方程为y2=8x4分（2）由抛物线的方程可知F2,0，5分直线l:y=2x-8与x轴交于点P4,0，6分联立直线与抛物线方程y=2x-8y2=8x，8分消去x可得y2-4y-32=0，9分所以y1=8,y2=-4，10分所以SFAB=12PFy1-y2=12212=12，所以FAB的面积为1212分21解：（1）由题意，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（ab0），且c=26，1分2a=(26+26)2+22+(26-26)2+22=12，2分则a6，b2a2c2123分椭圆C的标准方程为x236+y212=1；4分（2）当直线AB的斜率不存在
10、时，设直线方程为xm， 得|AB|=23336-m2，由|AB|=23336-m2=6，解得m3，5分此时SAOB=1263=9；6分当直线AB的斜率存在时，设直线方程为ykx+m， 联立y=kx+mx236+y212=1，得（3k2+1）x2+6kmx+3m23607分36k2m24（3k2+1）（3m236）432k212m2+1448分设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3m2-363k2+1由|AB|=1+k2(-6km3k2+1)2-12m2-1443k2+1=6，10分整理得：m2=3(3k2+1)(k2+3)k2+1，原点O到AB的距
11、离d=|m|k2+111分SAOB=126|m|k2+1=3m2k2+1=333(k2+1)2+4(k2+1)-4(k2+1)2=33-41(k2+1)2+41k2+1+3当1k2+1=12时，AOB面积有最大值为63912分综上，AOB面积的最大值为922（1）因为f(x)=x3+ax，所以f(x)=3x2+a. 1分当a0时，因为f(x)=3x2+a0，所以f(x)在R上单调递增；2分当a0，解得x-3a3. 3分令f(x)0，解得-3a3x-3a3，4分则f(x)在-,-3a3，-3a3,+上单调递增； 在-3a3,-3a3上单调递减. 5分（2）因为g(x)=f(x)-xlnx，所以g(x)=x3+ax-xlnx，g(x)=f(x)-xlnx在12,2上有零点，等价于关于x的方程g(x)=0在12,2上有解，即x3+ax-xlnx=0在12,2上有解. 6分因为x3+ax-xlnx=0，所以a=-x2+lnx. 令h(x)=-x2+lnx，则h(x)=-2x+1x=-2x2-1x. 7分令h(x)0，12x2，解得220，12x2，解得12x154-20，则h(x)min=h(2)=-4+ln2，h(x)max=h22=-12+ln22 =-12-12ln2，故a的取值范围为-4+ln2,-12-12ln2. 12分
