1、 湖北省宜昌市（东湖高中、宜都二中）湖北省宜昌市（东湖高中、宜都二中）2019 届高三届高三 12 月联考月联考 数学（理）试题数学（理）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用一元二次不等式的解法化简集合 ，再根据集合的基本运算进行求解即可 【详解】因为， 所以， 故选 C 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关 系转化为元素间的关系. 2.已知 是虚数单位，则复数的虚部是 A. 0 B. C.
2、 D. 1 【答案】D 【解析】 试题分析：由于复数， 所以其虚部为：1； 故选 D 考点：复数的除法及有关概念 3.设是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若 则 B. 若，则 C. 若 ，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 若，则位置关系不定; 若，则位置关系不定; 若，则或 ， 异 面; 若，则,所以选 D. 4.曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，所以时，切线方程为，即 故选 C 考点：利用导数求切线方程 5.已知等差数列中，前 10 项的和等于前 5 的和，若，则（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D.
3、2 【答案】A 【解析】 【分析】 由等差数列前10项的和等于前5的和， 可得， 由等差数列的性质得到， 结合已知,即可求得 的值 【详解】因为在等差数列中， ， 所以， 可得， ， 又， 故选 A 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前 项和，是基础题解等差数列问题要注意应用 等差数列的性质（）与前 项和的关系. 6.已知函数为偶函数，其图象与直线的某两个交点横坐标为的最 小值为 ，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 由 “的最小值为 ”得周期是 ，由周期公式求得 ，结合选项可得结果 【详解】因为函数的图象与直线的两个交点横坐标为 的最小
4、值为 ， 所以周期是 ， 由求得， 只有选项 适合，故选 A 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题由函数 可求得函数的周期为，根据能求出 . 7.已知在平面直角坐标系上的区域 由不等式组给定若为 上的动点，点 的坐标为 ，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：作出区域 D： ， 由于 ， 显然平移到经过点 D（2，2）时取得最大值为：； 故选 C 考点：1向量数量积的坐标运算；2线性规划 8.下列三个数：，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：构造函数，因为对一切恒
5、成立， 所以函数在上是减函数，从而有， 即，故选 A 考点：函数单调性的应用 9.等比数列的前 项和为，若，则 A. B. 1024 C. D. 512 【答案】D 【解析】 根据条件知公比于是：，解得 所以故选 D 10.将函数图象向左平移 个单位后， 得到函数的图象关于点 对称，则函数在上的最小值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 将函数向左平移 个单位后，得到函数解析式为： 图象关于点对称 则对称中心在函数图象上，可得： 解得， ， ， 则函数在上的最小值为 故选 11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D.
6、和 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三视图可知，所求几何体为四棱锥与长方体 的组合，体积，易求得 ，表面积 ，故选 C 考点：1 三视图；2空间几何体的体积与表面积 12.已知函数是定义域为 的偶函数,当时，若关于 的方程 ，有且仅有 6 个不同实数根，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 作出的图象如下， 又函数 y=f（x）是定义域为 R 的偶函数， 且关于 x 的方程，a，bR 有且仅有 6 个不同实数根， x 2+ax+b=0 的两根分别为 或； 由韦达定理可得， 若，则，即； 若，则，即； 从而可知或； 故选 C 点睛：点睛：(1)求分段函数的函数值
7、，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当 出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 (2)当给出函数值求自变量的值时， 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上， 然后求出相应自变量的值， 切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.平面向量 与 的夹角为，则_，_ 【答案】. 【解析】 14.已知，则的最小值为_ 【答案】3 【解析】 试题分析：因为，由得，即； 所以 ； （当且仅当，即时等号成立） 所以的最小值为：3 考点：基本不等式
8、15.如图所示， 二面角为，是棱 上的两点，分别在半平面内， 且， ，则的长_ 【答案】 【解析】 【分析】 推导出， 从而， 结合， 能求出的长 【详解】二面角为，是棱 上的两点，分别在半平面 、 内， 且 所以, 所以， ， ， 的长 故答案为 【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则以及数量积的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的 能力，是中档题 16.如图，正方体的棱长为 1，线段上有两个动点，且，现有如下四个结论： ；平面； 三棱锥的体积为定值；异面直线所成的角为定值， 其中正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】 【分析】 对于，可由线面垂直证两线垂直；对于，可由线面平行的定义
9、证明线面平行；对于，可证明棱锥的高 与底面积都是定值得出体积为定值；对于，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值 【详解】对于，由，可得面，故可得出，此命题正确； 对于，由正方体的两个底面平行，在平面内，故与平面无公共点，故 有平面，此命题正确； 对于，为定值， 到距离为定值，所以三角形的面积是定值，又因为 点到面距离是定值， 故可得三棱锥的体积为定值，此命题正确； 对于，由图知，当 与重合时，此时 与上底面中心为 重合，则两异面直线所成的角是，当 与 重合时，此时点 与 重合，则两异面直线所成的角是，此二角不相等，故异面直线所成的角不 为定值，此命题错误 综上知正确，故答案为 【点睛
10、】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积 公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处 知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件， 另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.等差数列中，公差且成等比数列，前 项的和为 （1）求及； （2）设，求 【答案】(1) ，. (2) 【解析】 试题分析： （1）由 a2
11、，a3，a6成等比数列可得，求出 d 后代入等差数列的通项 公式可得 an=1+2（n1）=2n3代入等差数列的前 n 项和求得 Sn； （2）把 an代入，然后由裂项相消法求得 Tn 试题解析： 解： （1）由题意可得，又因为， ， ，. （2）， . 点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为，求前 项和： ； （2）已知数列的通项公式为，求前 项和： ； （3）已知数列的通项公式为，求前 项和:. 18.已知函数 （1）求函数的最小正周期及在区间的最大值 （2）在中，所对的边分别是，求周长 的最大值 【答案】 （1）最小正周期为 ，在区间上的最大
12、值为 ； （2） . 【解析】 试题分析： （1）首先根据三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，然后求出函数的最小正周期和最值 （2） 先根据上面的结论，求出 A 的值，再利用正弦定理求出三角形的周长，最后根据取值范围利用基本不等式或 用三角函数可确定最值 试题解析： （1） ， 2 分 最小正周期为 4 分 所以在区间的最大值是 0. 6 分 （2）,8 分 由余弦定理得, 即,当且仅当时取等号. 的周长的最大值是 6. 12 分 法二：由，得，由正弦定理可得， 8 分 所以，当时，L 取最大值，且最大值为 6 . 12 分 考点：1.三角函数中的恒等变换应用；2. 三角函数的周期性及其求法
13、3三角函数的最值 19.已知数列中， （1）证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，数列的前 项和为，求证 【答案】 （1）证明见解析，； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）先证明数列是以 3 为公比，以为首项的等比数列，从而，由此能 求出的通项公式； （2）由（1）推导出，从而 ，利用错位相减法求和，利用放缩法证明 【详解】由， 得， ， 数列是以 3 为公比，以为首项的等比数列， 从而， 数列满足， ， ， ， 两式相减得： ， ， 【点睛】本题主要考查等比数列的定义、通项公式与求和公式，以及错位相减法的应用，是中档题一般地， 如果数列是等差数列，是等比数列，求数
14、列的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般 是和式两边同乘以等比数列的公比， 然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意 将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 20.如图，四棱锥中，底面为平行四边形， 为的中点，平面为的中点， ， （1）证明：平面； （2）如果二面角的正切值为 2，求 的值 【答案】 （1）祥见解析； （2）a=2. 【解析】 试题分析： （1） 由 PO平面 ABCD， 得 POAD， 由ADC=45， AD=AC， 得 ADAC， 从而证明 AD平面 PAC （2） 法一，先利用三垂线定理作出二面角 M-AC-D 的平面角：连结 DO,作 M
15、GDO 于 G，作 GHAO 于 H，因为 M 是 PD 中点，且 MGDO，所以 G 为 DO 中点，且 MG平面 ABCD，显然，MHG 即为二面角 M-AC-D 的平面角.然后 在直角三角形 MHG 中，可用 a 表示出的正切值，从而由已知即可求出 a 的值；法二，以 OA 为 x 轴，OP 为 y 轴，O 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量知亦可求 试题解析： （1）证明：由题意，ADC=45 o，AD=AC =1,故DAC=90o 即 DAAC.又因为 PO平面 ABCD, 所以，DAPO，DA平面 PAC 4 分 （2）法一：连结 DO,作 MGDO 于 G，作 GHAO
16、于 H，因为 M 是 PD 中点，且 MGDO，所以 G 为 DO 中点，且 MG平面 ABCD，显然，MHG 即为二面角 M-AC-D 的平面角. 8 分 因为 GHAO，且 G 为 DO 中点，所以，而，故，PO=“2MG=2.“ 12 分 法二：建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，则,， 设平面 MAC 的法向量为，则，所以 的一个取值 为 10 分 平面 ACD 的法向量为. 设二面角的平面角为 ， 因为，所以 a=2 12 分 考点：1.直线与平面垂直的判定；2 二面角 21.某工厂去年某产品的年产量为 100 万只，每只产品的销售价为 10 元，固定成本为 8 元今年，工厂第
17、一次 投入 100 万元 科技成本 ，并计划以后每年比上一年多投入 100 万元 科技成本 ，预计产量年递增 10 万只， 第 次投入后，每只产品的固定成本为为常数，且，若产品销售价保持不变， 第 次投入后的年利润为万元 （1）求 的值，并求出的表达式； （2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【答案】 （1），nZ 且 n0 （2）第 8 年工厂的纯利润最高，最高为 520 万元 【解析】 试题分析： （1）根据每只产品的固定成本为元及关系式为，可求的值，利用第次投入后 的年利润为万元，可建立函数关系式； （2）先由（1）可得利润函数，再用基本不等式求最高利润 试题解析： （
18、1）由，当时，由题意，可得， 所以. （2）由， 当且仅当，即时取等号，所以第年工厂的利润最高，最高为万元. 考点： （1）函数模型的选择与应用； （2）基本不等式. 【思路点晴】本题的考点是函数模型的选择与应用，以实际问题为载体主要考查函数模型的构建，考查利用 基本不等式求最值的问题，关键是从实际问题中抽象出数学模型，属于中档题.第（1）问中，需注意利用特 值时，值的求法，第年利润第年销售额 第年成本，成本等于生产成本加科技成本，即 可得到的表达式；利用基本不等式，即可求得最高利润 22.已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数 的取值范围； （
19、3）当时，证明不等式. 【答案】 （1）当时函数在上单调递减; 当时函数在上单调递减，在上单调 递增;（2）;（3）详见解析 【解析】 试题分析： （1）先求导，讨论导数的正负，导数正得增区间，导数负得减区间在解不等式的过程中注意讨 论 的符号（2） 由 （1） 知函数的极值点是,则 可将转化为,令, 求导,讨论导数的符号,判断函数的单调性,从而求其最小值则 应小于等于函数的最小值 （3）因 为,则，则证明构造函数 ,证此函数在上单调递增即可即证在上即可 试题解析： （1）解 当时，从而， 函数在上单调递减； 当时，若，则，从而， 若，则，从而， 函数在上单调递减，在上单调递增 （2）解 根据（1）函数的极值点是，若，则 所以，即， 由于，即 令，则， 可知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故， 所以的最小值是， 故只要即可， 故 的取值范围是 （3）证明不等式 构造函数， 则， 可知函数在上， 即函数在上单调递增，由于， 所以，所以， 所以 考点：用导数研究函数的性质
