2020届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学（理）试题（解析版）.doc

1、 2020 届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学（理）试题届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合|10Ax x x，|lnBx yxa，若，若ABA，则实数，则实数a 的取值范围为（的取值范围为（ ） A,0 B ,0 C1, D1, 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分别求出集合 A 集合 B 范围，根据ABA得到 A 是 B 子集，根据范围大 小得到答案. 【详解】 |1001Ax x xx |lnBx yxaxa ABAAB 所以0a 故答案选 A 【点睛】 本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题. 2 已知 已知 AB 是

2、是抛物线抛物线 2 2yx的一条焦点弦，的一条焦点弦，4AB ， 则， 则 AB 中点中点 C 的横坐标是的横坐标是 ( ) A2 B 3 2 C 1 2 D 5 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先设AB，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中 点的横坐标. 【详解】 设 1122 A,B,x yx y，C 的横坐标为 0 x，则 12 0 2 x x x ， 因为AB是抛物线 2 2yx的一条焦点弦，所以 1212 14ABxxpxx ， 所以 12 3xx，故 12 0 3 22 x x x . 故选 B 【点睛】 本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，

3、只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求 解，属于基础题型. 3如图，圆柱的轴截面如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，为正方形，E为弧为弧BC的中点，则异面直线的中点，则异面直线AE与与BC 所成角的余弦值为（所成角的余弦值为（ ） A 3 3 B 5 5 C 30 6 D 6 6 【答案】【答案】D 【解析】【解析】取BC的中点H，连接,?EH AH ED，则异面直线AE与BC所成角即为 EAD，再利用余弦定理求cos EAD得解. 【详解】 取BC的中点H，连接,90 ,EH AHEHA 设2,AB 则1,5,BHHEAH所以6,AE 连接,6,ED ED 因为/ /,BCAD 所以异面直线AE与

4、BC所成角即为,EAD 在EAD中 6466 cos, 62 26 EAD 故选:D 【点睛】 本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理计算能力. 4已知已知 、 都都为锐角，且为锐角，且 21 7 sin、 21 14 cos，则，则 （ ） A 3 B 3 C 6 D 6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解. 【详解】 因为 、 都为锐角，且 21 7 sin、 21 14 cos， 所以 2 7 cos 7 ， 5 7 sin 14 ， 由 21212 7 5 7491 sinsin

5、coscossin 714714982 ， 且 、 都为锐角， 所以 6 故选：C 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5设设，.若对任意实数若对任意实数 x 都有都有，则满足条件的有序，则满足条件的有序 实数对（实数对（a,b）的对数为（）的对数为（ ）. A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】试题分析：， 又， 注意到，只有这两组故选 B 【考点】三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的 方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、 数形结合思想、

6、分类讨论思想等. 6已知已知F是双曲线是双曲线 22 :1 45 xy C-=的一个焦点，点的一个焦点，点P在在C上，上，O为坐标原点，若为坐标原点，若 =OPOF，则，则OPF的面积为（的面积为（ ） A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】设 00 ,P x y，因为=OPOF再结合双曲线方程可解出 0 y，再利用三角形 面积公式可求出结果. 【详解】 设点 00 ,P x y，则 22 00 1 45 xy 又453OPOF， 22 00 9xy 由得 2 0 25 9 y， 即 0 5 3 y， 0 1155 3 2232 OPF SOFy

7、， 故选 B 【点睛】 本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅。 7已知等差数列已知等差数列 n a的公差不为零，其前的公差不为零，其前n项和为项和为 n S，若，若 3 S， 9 S， 27 S成等比数列，成等比数列， 则则 9 3 S S （） （） A3 B6 C9 D12 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意，得 2 9327 SSS，利用等差数列的求和公式，列出方程求得 1 2da， 即可求解 9 3 S S 的值，得到答案. 【详解】 由题意，知 3 S， 9 S， 27 S成等比数列，所以 2 9327 SSS， 即 2 1913127 9()3()

8、27() 222 aaaaaa ， 整理得 2 5214 37821aaa，所以 2 111 (4 )()(13 )adad ad，解得 1 2da， 所以 919135 32 9()3()9 223 Saaaaa Sa 11 11 3(4 )27 9 3 ada ada ， 故选 C. 【点睛】 本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，其中 解答中熟练应用等差数列的通项公式和前 n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考 查了推理与运算能力，属于基础题. 8在在ABC中，点中，点P满足满足 3BPPC uuvuuu v，过点 ，过点P的直线与的直线与AB、

9、AC所在的直线分别交所在的直线分别交 于点于点M、N， 若， 若AM AB ，0,0ANAC uuu ruuu r ， 则， 则的的最小值为 （最小值为 （ ） ） A 2 1 2 B 3 1 2 C 3 2 D 5 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意得出 13 44 APABAC uu u ruu u ruuu r ，再由AM AB ，ANAC，可得出 13 44 APAMAN uu u ruuuruuu r ，由三点共线得出 13 1 44 ，将代数式与 13 44 相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】 如下图所示： 3BPPC uuruuu r Q ，即 3A

10、PABACAP uu u ruu u ruuu ruu u r ， 13 44 APABAC uuu ruuu ruuu r ， AMAB uuuruu u r Q ，0,0ANAC uuu ruuu r ， 1 ABAM uu u ruuur ， 1 ACAN uuu ruuu r ， 13 44 APAMAN uu u ruuuruuu r ，M、P、N三点共线，则 13 1 44 . 13333 1211 4444442 ， 当且仅当3时，等号成立，因此，的最小值为 3 1 2 ，故选 B. 【点睛】 本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时 要充分利

11、用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题. 9如图，点如图，点 P 在正方体在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线的面对角线 1 BC上运动，则下列上运动，则下列四个结论：四个结论： 三棱锥三棱锥 1 AD PC的体积不变；的体积不变； 1 / /AP平面平面 1 ACD； 1 DPBC； 平面平面 1 PDB 平面平面 1 ACD 其中正确的结论的个数是其中正确的结论的个数是( ) A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个 个 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解 【详解】 对于，由题意知 11 / /ADBC，从而 1/

12、/ BC平面 1 ADC ， 故 BC 1上任意一点到平面1 ADC的距离均相等， 所以以 P 为顶点，平面 1 ADC为底面，则三棱锥 1 AD PC的体积不变，故正确； 对于，连接 1 AB， 11 AC， 111 / /ACAD且相等，由于知： 11 / /ADBC， 所以 11/ / BAC面 1 ACD，从而由线面平行的定义可得，故正确； 对于，由于DC 平面 11 BCBC，所以 1 DCBC， 若 1 DPBC，则 1 BC 平面 DCP， 1 BCPC，则 P 为中点，与 P 为动点矛盾，故错误； 对于，连接 1 DB，由 1 DBAC且 11 DBAD， 可得 1 DB 面

13、1 ACD，从而由面面垂直的判定知，故正确 故选：C 【点睛】 本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂 直的判定，要注意使用转化的思想 10过三点过三点(1,3)A，(4,2) B ，(1, 7)C的圆截直线的圆截直线20xay所得弦长的最小值等所得弦长的最小值等 于（于（ ） A2 3 B4 3 C13 D2 13 【答案】【答案】B 【解析】【解析】因为圆心在弦 AC 的中垂线上，所以设圆心 P 坐标为（a，-2） ，再利用 222 rAPBP ，求得1a ，确定圆的方程.又直线过定点 Q，则可以得到弦长最短时 圆心与直线的定点 Q 与弦垂直，然后利用

14、勾股定理可求得弦长. 【详解】 解： 设圆心坐标 P 为 （a,-2） ， 则 r2 2222 132422aa， 解得 a=1， 所以 P（1，-2）.又直线过定点 Q（-2，0） ，当直线 PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆 内特征三角形可知弦长 22 l=2 r -PQ =2 25-13=4 3直线 20xay 被圆截得的 弦长为4 3 故选 B 11如图，三棱柱如图，三棱柱 111 ABCA B C的高为的高为 6，点，点 D，E 分别在线段分别在线段 11 A C， 1 B C上，上， 111 A C3DC， 11 B C4BE.点点 A，D，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等

15、的所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的 两部分，若底面两部分，若底面ABC的面积为的面积为 6，则较大部分的体积为，则较大部分的体积为( ) A22 B23 C26 D27 【答案】【答案】B 【解析】【解析】延长 AD 与 CC1的交点为 P，连接 PE 与 C1B1的交点为 N，延长 PE 交 B1B 为 M，与面 ABC 交于点 Q，得到截面为 DNMA，由题意得 A1D2DC1，由此能求出较大 部分的体积 【详解】 如图，延长 AD 与 1 CC的交点为 P，连接 PE 与 11 C B的交点为 N， 延长 PE 交 1 B B为 M，与面 ABC 交于点 Q， 得到截面为 DNMA

16、， 111 A C3DC， 11 B C4B E， M，N 分别为 11 C B， 1 B B的中点， 下部分体积 11 P AQCP DNCM ABQAQCABQDNC 11111h VVVVShhShS23 323232 下 故选 B 【点睛】 本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不 规则几何体体积的求解方法的培养 12 设 设 2 2 D22 x xaeaa ,其中其中2.71828e， 则， 则D的最小值为的最小值为( ) A 2 B3 C21 D31 【答案】【答案】C 【解析】【解析】分析：由 2 ()(2) x xaea 表示两点( ,) x

17、 C x e与点( ,2)A aa的距离， 而点A在抛物线 2 4yx上，抛物线的焦点 (1,0)F ，准线为1x，则D表示A与C 的距离和A与准线的距离的和加上 1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加 上 1，画出图象，当,F A C三点共线时，可求得最小值. 详解：由题意0a， 2 ()(2)2 x Dxaeaa ， 由 2 ()(2) x xaea 表示两点( ,) x C x e与点( ,2)A aa的距离， 而点A在抛物线 2 4yx上，抛物线的焦点 (1,0)F ，准线为1x， 则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上 1， 由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上 1

18、， 由图象可知,F A C三点共线时，且QF为曲线 x ye的垂线，此时D取得最小值， 即Q为切点，设( ,) m m e， 由 0 1 1 m m e e m ，可得 2 1 m me， 设 2m g mme，则 g m递增，且(0)1g，可得切点(0,1)Q， 即有1 12FQ ，则D的最小值为 21 ，故选 C. 点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和 抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推 理与运算能力，属于中档试题. 二、填空题二、填空题 13已知函数已知函数 2 log,0 42 ,0 x x x f x x

19、，则，则 1 8 ff _. 【答案】【答案】-4 【解析】【解析】先求 1 8 f ，再求 1 8 ff . 【详解】 因为函数 2 log,0 42 ,0 x x x f x x ， 则 2 11 log3 88 f 1 34 8 fff .故答案为-4. 【点睛】 本题考查了分段函数求值，属于简单题型. 14已知已知 1 F， 2 F分别为椭圆分别为椭圆 22 :1 259 xy C的左、右焦点，且点的左、右焦点，且点 A 是椭圆是椭圆 C 上一点，上一点， 点点 M 的坐标为的坐标为(2,0)，若，若AM为为 12 F AF 的角平分线，则的角平分线，则 2 AF _. 【答案】【答案

20、】 5 2 【解析】【解析】 由题意可知： A 在 y 轴左侧， 11 22 AFFM AFMF 3， 根据椭圆的性质可知： |AF1|+|AF2| 2a10，即可求得|AF2|的值 【详解】 解：由题意可知：F1AMMAF2，设 A 在 y 轴左侧， 11 22 AFFM AFMF 3， 由|AF1|+|AF2|2a10， A 在 y 轴右侧时，|AF2| 105 42 ， 故答案为： 5 2 【点睛】 本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查 15 如图 （ 如图 （1） ， 在等腰直角） ， 在等腰直角ABC中， 斜边中， 斜边4AB ， D 为为AB的中点， 将的中点

21、， 将ACD沿沿CD 折叠得到如图（折叠得到如图（2）所示的三棱锥）所示的三棱锥CABD，若三棱锥，若三棱锥CABD的外接球的半径为的外接球的半径为 5，则 ，则A DB_. 图（图（1） 图（图（2） 【答案】【答案】 2 3 【解析】【解析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是5，以及已有的边的长度 和角度关系，分析即可解决 【详解】 解：球是三棱锥 CABD 的外接球，所以球心 O 到各顶点的距离相等，如图 根据题意，CD平面 ABD， 取 CD 的中点 E，AB 的中点 G，连接 CG，DG， 因为 ADBD，CD平面 ABD， 所以 A和 B 关于平面 CDG 对称， 在平面

22、 CDG 内，作线段 CD 的垂直平分线，则球心 O 在线段 CD 的垂直平分线上，设 为图中的 O 点位置，过 O 作直线 CD 的平行线，交平面 ABD 于点 F， 则 OF平面 ABD，且 OFDE1， 因为 AF 在平面 ABD 内，所以 OFAF， 即三角形 AOF 为直角三角形，且斜边 OAR 5 ， AF 22 5 1ROF 2， 所以，BF2， 所以四边形 ADBF 为菱形， 又知 ODR，三角形 ODE 为直角三角形， OE 22 5 1RDE 2， 三角形 ADF 为等边三角形， ADF 3 ， 故ADB 2 3 ， 故填： 2 3 【点睛】 本题考查了三棱锥的外接球的问题

23、，找到球心的位置是解决本题的关键属于中档题 16设定义在设定义在 D 上的函数上的函数( )yh x在点在点 00 (, ()P x h x处的切线方程为处的切线方程为:( )lyg x，当，当 0 xx时，若时，若 0 ( )( ) 0 h xg x xx 在在 D 内恒成立，则称内恒成立，则称 P 点为函数点为函数( )yh x的的“类对称中类对称中 心点心点”，则函数，则函数 2 2 ( )ln 2 x f xx e 的的“类对称中心点类对称中心点”的坐标是的坐标是_. 【答案】【答案】 3 ( , ) 2 e 【解析】【解析】由求导公式求出函数 f（x）的导数，由导数的几何意义和条件求

24、出切线方程， 再求出 yg（x） ，设 F（x）f（x）g（x） ，求出导数化简后利用分类讨论和导数与 函数单调性的关系，判断出 F（x）的单调性和最值，从而可判断出 0 f xg x xx 的符 号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标 【详解】 解：由题意得，f（x） 2 1x ex ，f（x0） 2 0 0 2 2 x lnx e （x0） ， 即函数 yf（x）的定义域 D（0，+） ， 所以函数 yf（x）在点 P（x0，f（x0） ）处的切线方程 l 方程为： y（ 2 0 0 2 2 x lnx e ）（ 0 2 0 1x ex ） （xx0） ， 则 g（x）（

25、 0 2 0 1x ex ） （xx0）+（ 2 0 0 2 2 x lnx e ） ， 设 F（x）f（x）g（x） 2 2 2 x e lnx（ 0 2 0 1x ex ） （xx0）+（ 2 0 0 2 2 x lnx e ）， 则 F（x0）0， 所以 F（x）fx）g（x） 2 1x ex （ 0 2 0 1x ex ） 0 2 0 11xx exx 0 00 22 00 111xxx xxxx exxxex 当 0x0e 时，F（x）在（x0， 2 0 e x ）上递减， x（x0， 2 0 e x ）时，F（x）F（x0）0，此时 0 0 f xg x xx ， 当 x0e 时，

26、F（x）在（ 2 0 e x ，x0）上递减； x（ 2 0 e x ，x0）时，F（x）F（x0）0，此时 0 0 f xg x xx ， yF（x）在（0，e）（e，+）上不存在“类对称点” 若 x0e， 2 22 11()xxe xe xeexe 0，则 F（x）在（0，+）上是增函数， 当 xx0时，F（x）F（x0）0，当 xx0时，F（x）F（x0）0， 故 0 0 f xg x xx ， 即此时点 P 是 yf（x）的“类对称点”， 综上可得，yF（x）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标， 又 f（e） 2 2 3 22 e lne e ，所以函数 f（x）的“类对

27、称中心点”的坐标是 3 2 e ， 故答案为： 3 2 e ， 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分 类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题 三、解答题三、解答题 17在平面四边形在平面四边形ABCD中，中，AC ，1AB ，3BC ，2CDDA . （1）求）求C； （2）若）若 E 是是BD的中点，求的中点，求CE . 【答案】【答案】 （1）60C ； （2） 19 2 CE 【解析】【解析】 （1）利用余弦定理进行化简，求出 C； （2）利用向量法求出 CE 【详解】 （1）由题设及余弦定理得： 222 2co

28、sBDBCCDBC CD13 12cosCC， BD2AB2+DA22ABDAcosA5+4cosC， 所以 cosC 1 2 ， 60C o； （2）由 1 () 2 CECDCB，得 2221 (2) 4 CECDCBCD CB 1119 (49223) 424 所以 19 2 CE . 【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题 18如图，已知正三棱锥如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，的侧面是直角三角形，PA=6，顶点，顶点 P 在平面在平面 ABC 内内 的正投影为点的正投影为点 D，D 在平面在平面 PAB 内的正投影为点内的正投影为点 E，

29、连结，连结 PE 并延长交并延长交 AB 于点于点 G. （）证明：）证明：G 是是 AB 的中点；的中点； （） 在图中作出点） 在图中作出点 E 在平面在平面 PAC 内的正投影内的正投影 F （说明作法及理由） ， 并求四面体（说明作法及理由） ， 并求四面体 PDEF 的体积的体积 【答案】【答案】 （）见解析； （）作图见解析，体积为 4 3 . 【解析】【解析】 试题分析： 证明.ABPG由PAPB可得G是AB的中点. （） 在平面PAB 内， 过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.根据正三 棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,2 2.DEPE在等腰

30、直角三角形EFP 中，可得2.EFPF四面体PDEF的体积 114 2 2 2. 323 V 试题解析： （）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以.ABPD 因为D在平面PAB内的正投影为E，所以.ABDE 所以AB 平面PED，故.ABPG 又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点. （） 在平面PAB内， 过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内 的正投影. 理由如下： 由已知可得PBPA，PBPC， 又E F P B,所以EFPA EFPC，, 因此EF 平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影. 连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC

31、的中心. 由（）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故 2 . 3 CDCG 由题设可得PC 平面PAB，DE 平面PAB，所以DEPC，因此 21 ,. 33 PEPG DEPC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,2 2.DEPE 在等腰直角三角形EFP中，可得2.EFPF 所以四面体PDEF的体积 114 2 2 2. 323 V 【考点】线面位置关系及几何体体积的计算 【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算, 空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推 理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止

32、步骤不完整或考虑不全致推理片 面,该类题目难度不大,以中档题为主. 19设椭圆设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右顶点为的右顶点为 A，上顶点为，上顶点为 B已知椭圆的离心率为已知椭圆的离心率为 5 3 ，13AB （1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程； （2）设直线）设直线:(0)l ykx k与椭圆交于与椭圆交于P，Q两点，两点，l与直线与直线AB交于点交于点 M，且点，且点 P， M 均在第四象限若均在第四象限若BPM的面积是的面积是 BPQV 面积的面积的 2 倍，求倍，求k的值的值 【答案】【答案】 （1） 22 1 94 xy ；(2) 1 2 【解析】【解析】 分析

33、：（I） 由题意结合几何关系可求得3,2ab.则椭圆的方程为 22 1 94 xy . （II）设点 P 的坐标为 11 ,x y，点 M 的坐标为 22 ,x y ，由题意可得 21 5xx. 易知直线AB的方程为236xy，由方程组 236, , xy ykx 可得 2 6 32 x k .由方程 组 22 1, 94 , xy ykx 可得 1 2 6 94 x k .结合 21 5xx， 可得 8 9 k ， 或 1 2 k .经检验k 的值为 1 2 . 详解： （I）设椭圆的焦距为 2c， 由已知得 2 2 5 9 c a ，又由 222 abc，可得23ab由 22 |13ABa

34、b ,从而 3,2ab 所以，椭圆的方程为 22 1 94 xy （II）设点 P 的坐标为 11 ( ,)x y，点 M 的坐标为 22 (,)xy，由题意， 21 0xx， 点Q的坐标为 11 (,)xy 由BPM的面积是BPQV面积的 2 倍，可得|=2|PMPQ， 从而 2111 2()xxxx ，即 21 5xx 易知直线AB的方程为236xy，由方程组 236, , xy ykx 消去 y，可得 2 6 32 x k 由方程组 22 1, 94 , xy ykx 消去y，可得1 2 6 94 x k 由 21 5xx，可 得 2 945(32)kk ，两边平方，整理得 2 1825

35、80kk，解得 8 9 k ，或 1 2 k 当 8 9 k 时， 2 90x ，不合题意，舍去；当 1 2 k 时， 2 12x ， 1 12 5 x ，符 合题意 所以，k的值为 1 2 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关 系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 20如图，四边形如图，四边形ABCD是平行四边形，平面是平行四边形，平面AED 平面平面ABCD，/EFAB， 2AB ，3DE ，1BCEF，6AE ，60BAD ，G 为为BC的

36、中点的中点. （1）求证：平面）求证：平面BED 平面平面AED； （2）求直线）求直线EF与平面与平面BED所成角的正弦值所成角的正弦值. 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 5 6 【解析】【解析】 （1）根据余弦定理求出 BD3，继而得到 BDAD，再根据面面垂直的判定 定理即可证明； （2）先判断出直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角，再 根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案 【详解】 （1） 证明： 在ABD中，1AD ，2AB ，60BAD ， 由余弦定理可得3BD ， 进而90ADB ，即BDAD，又平面AED 平面ABCD， B

37、D 平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，BD 平面AED， BD 平面BED，平面BED 平面AED. （2）/EFAB，直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED 所形 成的角， 过点 A 作AHDE于点 H，连接BH，又平面BED平面AEDED， 由（1）知AH 平面BED，直线AB与平面BED所成的角为ABH， 在ADE，1AD ，3DE ， 6AE ，由余弦定理得 2 cos 3 ADE， 5 sin 3 ADE， 5 3 AHAD，在Rt AHB中， 5 sin 6 AH ABH AB ， 直线EF与平面BED所成角的正弦值 5 6 . 【点睛】 本题考查了平面与平面

38、的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力 和推理论证能力，属于中档题 21设抛物线设抛物线的方程为的方程为 2 2ypx，其中常数，其中常数 0p ，F 是抛物线是抛物线的焦点的焦点. （1）设）设 A 是点是点 F 关于顶点关于顶点 O 的对称点，的对称点，P 是抛物线是抛物线上的动点，求上的动点，求 | | PA PF 的最大值；的最大值； （2） 设） 设2p ，1l，2l是两条互相垂直， 且均经过点是两条互相垂直， 且均经过点 F 的直线，的直线，1l与抛物线与抛物线交于点交于点 A， B， 2 l与抛物线与抛物线交于点交于点 C，D，若点，若点 G 满足满足4FG F

39、AFBFCFD ，求点，求点 G 的的 轨迹方程轨迹方程. 【答案】【答案】 （1）最大值为 2； （2） 2 3yx 【解析】【解析】 （1）求得 A 的坐标，设出过 A 的直线为 yk（x 2 p ） ，ktan，联立抛物线 方程，运用判别式为 0，求得倾斜角，可得所求最大值； （2）求得 F（1，0） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，G（x，y） ， 设 l1：yk（x1） ，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率 之积为1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程 【详解】 （1）A 是点(,0) 2 p F

40、关于顶点 O 的对称点，可得(,0) 2 p A ， 设过 A 的直线为 () 2 p yk x ，tank， 联立抛物线方程可得 22 222 (2 )0 4 k p k xk pp x， 由直线和抛物线相切可得 2242 (2 )0k ppk p ，解得1k ， 可取1k ，可得切线的倾斜角为 45 ， 由抛物线的定义可得 |11 |sin(90)cos PA PF ，而的最小值为 45 ， | | PA PF 的最大值为 2； （2）由 2 4yx，可得 (1,0)F ，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 33 (,)C x y， 44 (,)D xy， ()G x

41、y,， 设 1: (1)lyk x ，联立抛物线 2 4yx，可得 2222 (24)0k xkxk， 即有 12 2 4 2xx k ， 1212 4 ()2yyk xxk k ， 由两直线垂直的条件，可将 k 换为 1 k ，可得 2 34 24xxk， 34 4yyk ， 点 G 满足4FG FAFBFCFD ，可得 12341234 4(1, )(4,)xyxxxxyyyy， 即为 2 1234 2 4 444xxxxxk k ， 1234 4 44yyyyyk k ， 可得 222 2 11 ()23ykkx kk ，则 G 的轨迹方程为 2 3yx. 【点睛】 本题考查抛物线的定义

42、和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方 程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力， 属于中档题 22 设 设, a bR，| | 1a .已知函数 已知函数 32 ( )63 (4)f xxxa axb，( )( ) x g xe f x . （1）求）求 ( )f x的单调区间； 的单调区间； （2）已知函数）已知函数( )yg x和和 x ye的图象在公共点的图象在公共点 00 (,)xy处有相同的切线，处有相同的切线， （i）求）求 ( )f x在 在 0 xx处的导数；处的导数； （）若关于）若关于 x 的不等式的不等式( ) x g

43、 xe在区间在区间 00 1,1xx上恒成立，求上恒成立，求 b 的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）单调递增区间为(, )a，(4,)a，单调递减区间为( ,4)aa； （2） （）0， （） 7,1 【解析】【解析】 （1）求出函数 f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域 分段，列表后可得 f（x）的单调区间； （2） （i）求出 g（x）的导函数，由题意知 0 0 0 0 x x g xe gxe ，求解可得 0 0 1 0 f x fx 得 到 f（x）在 xx0处的导数等于 0； （ii）由（I）知 x0a且 f（x）在（a1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减， 故当 x0a 时，f（x）f（a）1 在a1，a+1上恒成立，从而 g（x）ex在x01，x0+1 上恒成立由 f（a）a36a23a（a4）a+b1，得 b2a36a2+1，1a1构 造函数 t（x）2x36x2+1，x1，1，利用导数求其值域可得 b 的范围 【详解】 （1）由 32 ( )63 (4)f xxxa axb，可得 2 ( )3123 (4)3()(4)fxxxa axa xa， 令( )0fx ，解得xa，或4xa.由| 1a ，得4aa. 当 x 变化时，( )fx ， ( )f x的变化情况如下表： x (, )a (