1、1第第4章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析4.2 线性时不变系统及其分析方法概述线性时不变系统及其分析方法概述4.1 系统模型及其分类系统模型及其分类4.3 线性时不变系统响应的经典求解线性时不变系统响应的经典求解4.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应4.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应4.6 系统的卷积积分分析系统的卷积积分分析4.7 用用MATLAB对连续时间系统的时域分析对连续时间系统的时域分析24.1 4.1 系统模型及其分类系统模型及其分类1 1系统的数学模型系统的数学模型数学模型数学模型-是系统基本特性的数学抽象，它是以数学表是系统基本特性的数
2、学抽象，它是以数学表达式来表征系统的特性的。达式来表征系统的特性的。Cd()()dvti tCt2CCC2d()d()()()ddvtvtLCRCvtx ttt一阶微分方程一阶微分方程 二阶微分方程二阶微分方程 34.1 4.1 系统模型及其分类系统模型及其分类Ri(t)L+-vL(t)Ri(t)Lr+-vL(t)()()()LLdi tdi tvtLLdtdt)()()(tridttdiLtvL 对于同一物理系统，在不同条件之下，可以得到不同形对于同一物理系统，在不同条件之下，可以得到不同形式的数学模型。式的数学模型。C44.1 4.1 系统模型及其分类系统模型及其分类 对于不同的物理系统，
3、可能有相同形式的数学模型。对于不同的物理系统，可能有相同形式的数学模型。()dv tFmamdt()()Ldi tvtLdtmLF)(tvL)(tv)(timv(t)F54.1 4.1 系统模型及其分类系统模型及其分类+-x(t)CLRi(t)该系统可建立如下两种该系统可建立如下两种数学模型：数学模型：对于同一物理系统，而且在相同的工作条件之下，数对于同一物理系统，而且在相同的工作条件之下，数学模型也不唯一。学模型也不唯一。（1）-输入输出方程（一个二阶微分方程）输入输出方程（一个二阶微分方程）22()()()()d i tdi tdx tLCRCi tCdtdtdt（2）-状态方程（两个一状
4、态方程（两个一 阶微分方程组）阶微分方程组）()()()()()()ccdv tCi tdtdi tLx tv ti t Rdt64.1 4.1 系统模型及其分类系统模型及其分类2 2系统的分类系统的分类1）线性系统线性系统-线性微分方程线性微分方程 非线性系统非线性系统-非线性微分方程非线性微分方程 2）时变系统时变系统-变系数微分方程变系数微分方程 时不变系统时不变系统-常系数微分方程常系数微分方程3）集总参数系统集总参数系统-常微分方程常微分方程 分布参数系统分布参数系统-偏微分方程偏微分方程 4）连续时间系统连续时间系统-微分方程微分方程 离散时间系统离散时间系统-差分方程差分方程74
5、.1 4.1 系统模型及其分类系统模型及其分类5）因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 本课程本课程 研究的是：研究的是：线性、时不变、集总参数的连续时间系统线性、时不变、集总参数的连续时间系统 -常系数线性微分方程常系数线性微分方程 线性、时不变、集总参数的离散时间系统线性、时不变、集总参数的离散时间系统 -常系数线性差分方程常系数线性差分方程 如果 t t0时系统的激励信号等于零，系统的响应信号在 t t0也等于零，这样的系统称为因果系统。因果信号：因果信号：将 t 0时接入系统的信号（即在 t 0以后，微分方程右端为零，显然，其特解就是零。12212()tthitA eA e（4）求
6、特解）求特解yp(t)122212()()tthititA eA e（5）求全响应）求全响应i2(t)22222222()()()()2()()d itditdu tLMRLR itMMtdtdtdt374.3.3 4.3.3 初始条件的确定初始条件的确定221122210AAMLMAA 所以所以)()(21)(212tueeRtitt 利用初始条件利用初始条件 求系数求系数A1、A22222)0(,0)0(MLMiiRARA21,2121 解之得：解之得：122212()()tthititA eA e384.3.3 4.3.3 初始条件的确定初始条件的确定例例4.3-8 已知微分方程为已知微
7、分方程为2222()()()()32()4dy tdy td x tdx ty tdtdtdtdt()(),(0)2,(0)3x tu tyy 求求)0(),0(yy解：解：将将 x(t)=u(t)代入微分方程右端得代入微分方程右端得22()()32()()4()dy tdy ty tttdtdt22)(dttyd包含)(tdttdy)(包含)(t包含)(ty)(tu()t5()u t()u t包含2()y t)(2tu()3dy tdt包含3()t3()u t394.3.3 4.3.3 初始条件的确定初始条件的确定22)(dttyd包含)(tdttdy)(包含)(t包含)(ty)(tu)(t
8、5()u t()u t所以(0)(0)1(0)(0)1yyyy即(0)(0)14yy 31)0()0(yy404.4 4.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应经典法求解系统的完全响应可分为：完全响应完全响应=自由响应自由响应+强迫响应强迫响应系统的完全响应也可分为：完全响应完全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应()()()hpy ty tyt()()()zizsy tytyt1 1零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应414.4 4.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应()ziyt()(0)ky 零输入响应零输入响应 ：当激励信号当激励信号 x(t)
9、=0时，由起始状时，由起始状 态态 所产生的响应。所产生的响应。由于激励信号由于激励信号x(t)=0，所以系统的起始时刻不会产生，所以系统的起始时刻不会产生跳变。所以跳变。所以()()()(0)(0)(0)kkkziziyyy 零输入响应为自由响应的形式，即零输入响应为自由响应的形式，即1()kntzizikkytA e其中系数其中系数Azik由起始条件由起始条件 来确定。来确定。()(0)ky42零状态响应零状态响应 ：当起始状态当起始状态 时，由激励时，由激励 信号信号x(t)所产生的响应。所产生的响应。0)0()(ky)(tyzs 零状态响应的形式为：零状态响应的形式为：1()()knt
10、zszskpkytA eyt其中系数其中系数Azsk由跳变量由跳变量 来确定来确定。()()()(0)(0)(0)kkkzsyyy00t)()(tyk)0()(ky)0()(ky)0()0()0()()()(kkkzsyyy4.4 4.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应确定零输入响应 的系数()ziyt确定全响应确定全响应的系数的系数()y t确定零状态确定零状态响应响应 的的系数系数()y t43111()()(4.43)()(4.44)kkknnttzikzskpkkntzikzskpky tA eA eytAAeyt 零输入响应零状态响应强迫响应自由响应（4.4 4.4 零
11、输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应00t)()(tyk)0()(ky)0()(ky)0()0()0()()()(kkkzsyyy确定零输入响应 的系数()ziyt确定全响应确定全响应的系数的系数()y t确定零状态确定零状态响应响应 的的系数系数()y t44例例4.4-1 已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为且且 ，求自由响应、强迫响应、零输入响应、零，求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和全响应。状态响应和全响应。()3()3()dy ty tu tdt3(0)2y4.4 4.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应45解：解：)0(y：初始条件，确定初始条件，
12、确定全响应全响应的系数的系数，23)0(y(0)y：起始条件，确定起始条件，确定零输入响应零输入响应的系数，的系数，)0(zsy：跳变量，确定跳变量，确定零状态响应零状态响应的系数的系数,(0)0zsy23)0()0(yy1）求全响应）求全响应y(t)特征根为特征根为 ，所以，所以，33()thy tAe而而 ()1pyt 这样，全响应为这样，全响应为 1)(3 tAety31()1(0)2ty tet31(),()1(0)2thpy teytt由初始条件由初始条件 可求出系数可求出系数 A=，所以，所以(0)3/2y1/24.4 4.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应462）求
13、零输入响应）求零输入响应yzi(t)3()tziziytA e33()(0)2tziytet由起始条件 可求出系数Azi=，所以23)0(y323）求零状态响应）求零状态响应yzs(t)1)(3 tzszseAty或：33313()()()11(0)22tttzsziyty tyteeet 4.4 4.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应47由跳变量 可求出系数Azs=1，所以0)0(zsy3()1(0)tzsytet 33333()1231(0)2tttty teeeet 零状态响应零输入响应强迫响应自由响应1)(3 tzszseAty4.4 4.4 零输入响应与零状态响应零输入
14、响应与零状态响应482 2零输入线性与零状态线性零输入线性与零状态线性 线性时不变系统一定满足均匀性与叠加性及微积分线性时不变系统一定满足均匀性与叠加性及微积分特性。但这种线性时不变特性是在特性。但这种线性时不变特性是在定条件下满足的。定条件下满足的。若系统的微分方程为若系统的微分方程为d()2()()dy ty tx tt(0)2y1()etx t当起始状态当起始状态时，则系统对激励时，则系统对激励的全响应为的全响应为21()ee()tty tu t若把激励信号为若把激励信号为时，则可以求得全响应为时，则可以求得全响应为2()5etx t22()3e5e()tty tu t 21()5()y
15、 ty t因为系统的起始储能未变因为系统的起始储能未变4.4 4.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应49222()2e5(ee)ttty t 零输入响应零状态响应 比较可见，零状态响应满足线性系统的特性。比较可见，零状态响应满足线性系统的特性。221()2e(ee)ttty t 零输入响应零状态响应 若把若把 也按照同样的比例放大，得也按照同样的比例放大，得 ，则在激励，则在激励 作用下，全响应为：作用下，全响应为：(0)y(0)10y2()5etx t223()10e5(ee)ttty t 零输入响应零状态响应 这时这时 与与 满足线性系统的均匀性满足线性系统的均匀性3()y
16、t1()y t4.4 4.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应50常系数线性微分方程描述的系统在下面几点上是线性的常系数线性微分方程描述的系统在下面几点上是线性的（1）响应的可分解性：）响应的可分解性：系统响应可分解为零输入响应和零系统响应可分解为零输入响应和零状态响应。状态响应。（2）零状态响应线性：）零状态响应线性：系统的零状态响应与各激励信号成系统的零状态响应与各激励信号成线性关系，且系统为时不变系统，所以线性关系，且系统为时不变系统，所以零状态响应还满足微零状态响应还满足微积分特性积分特性。（3）零输入响应线性：）零输入响应线性：系统的零输入响应与各起始状态成系统的零输入响
17、应与各起始状态成线性关系。线性关系。4.4 4.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应514.5 4.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 1.1.定义定义 2.2.冲激响应冲激响应h(t)的求解的求解1110111101()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd x tdx tdx tbbbb x tdtdtdt将将 及及 代入上式，得代入上式，得)()(ttx)()(thty 以单位冲激信号以单位冲激信号 作为激励，系统产生的作为激励，系统产生的零状态响应零状态响应称为称为“单位冲激响应单位冲激响应”，以，
18、以h(t)表示。表示。以单位阶跃信号以单位阶跃信号 u(t)作为激励，系统产生的作为激励，系统产生的零状态响应零状态响应称为称为“单位阶跃响应单位阶跃响应”，以，以g(t)表示。表示。()t524.5 4.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应1110111101()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmd h tdh tdh taaaa h tdtdtdtdtdtdtbbbbtdtdtdt（1）如果如果 nm，冲激响应，冲激响应h(t)应与齐次解的形式相同，如果应与齐次解的形式相同，如果特征根包括特征根包括n个非重根，则个非重根，则1()()(4.5 1)kntkkh tA
19、eu t11()()()kntknkh tA eu tAt（2）如果如果 n=m，冲激响应，冲激响应h(t)将包含一个将包含一个 项，即项，即()t534.5 4.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应(3)如果nm，冲激响应h(t)中将包含()t、()t、()t1231()()()()()kntknnnkh tA eu tAtAtAt 系数系数(1,2,)kA kn由初始条件由初始条件(1)(0),(0),(0)nhhh确定确定系数系数(1,2,)kA knn由方程两端奇异函数匹配直接计算由方程两端奇异函数匹配直接计算 例例4.5-1：已知微分方程为已知微分方程为22()()()32()2
20、()d y tdy tdx ty tx tdtdtdt 求冲激响应求冲激响应h(t)。解：解：22()()32()2()()d h tdh th tttdtdt544.5 4.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应212()()()tth tAeA eu t221212()(2)()()()tttth tAeA eu tAeA et 21212(2)()()()ttAeA eu tAAt 2121212()()()(2)()(4)()tth tAAtAAtAeA eu t 将将 代入微分方程，代入微分方程，比较方程两边系数比较方程两边系数可求出可求出：)()()(ththth、121,3AA
21、 所以所以3()(3)()tth teeu t该方法避免了求该方法避免了求(1)(0),(0),(0)nhhh554.5 4.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应3.3.阶跃响应阶跃响应g(t)的求法的求法当 nm，阶跃响应g(t)不包含冲激信号，如果特征根包括n个非重根，则1()e()(4.52)kntkkg tAB u t其中其中B为常数，可用待定系数法求特解的方法确定。为常数，可用待定系数法求特解的方法确定。根据线性系统的微分与积分特性可知，阶跃响应根据线性系统的微分与积分特性可知，阶跃响应g(t)为为 由于由于()()tu td ()()(4.54)tg thd()()(4.53)
22、dg th tdt564.6 4.6 系统的卷积积分分析系统的卷积积分分析 线性时不变系统的激励为线性时不变系统的激励为x(t)，冲激响应为，冲激响应为h(t)1.1.卷积积分的物理含义卷积积分的物理含义0()lim()()zstkytx k t h tk tt 即0()lim()()tkx tx k ttk tt 分解为冲激信号的线性组合分解为冲激信号的线性组合)()(tht 冲激信号的零状态响应冲激信号的零状态响应 0()lim()()tkx tx k t h tk tt 叠加性叠加性)()()()(tkthttkxtktttkx均匀性均匀性)()(tkthtkt时不变性时不变性574.6
23、 4.6 系统的卷积积分分析系统的卷积积分分析 ()()()()()(4.6 1)y txh tdx th t 0()lim()()zstkytx k t h tk tt 当 时，0t0,limtktdk t 系统的全响应，表达式如下系统的全响应，表达式如下 zi1()e()()dkntkky tAxh t 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 584.6 4.6 系统的卷积积分分析系统的卷积积分分析（1）交换律）交换律1221()()()()f tf tf tf t2.2.卷积积分在线性时不变系统中的应用卷积积分在线性时不变系统中的应用 在2.4节中介绍了卷积积分的代数性质，利用这些代
24、数性质可以应用到线性时不变系统的分析中。物理意义：激励信号与冲激响应之间有互易性，即把激励信号x(t)作为冲激响应h(t)，而将h(t)当作系统的激励x(t)，所得响应不变。594.6 4.6 系统的卷积积分分析系统的卷积积分分析（2）分配律）分配律1231213()()()()()()()f tf tf tf tf tf tf t 分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。组成并联系统的各子系统冲激响应之和。h2(t)h1(t)x(t)()()()(21ththtxty)()(1thtx)()(2tht
25、x60（3）结合律）结合律123123()()()()()()f tf tf tf tf tf t 结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。h2(t)h1(t)x(t)()()()()()()(2121ththtxththtxty)()(1thtx 4.6 4.6 系统的卷积积分分析系统的卷积积分分析614.7 4.7 用用MATLABMATLAB对连续时间系统的时域分析对连续时间系统的时域分析11101d()d()d()()dddnnnnnny ty ty ta
26、aaa y tttt11101d()d()d()()dddmmmmmmx tx tx tbbbb x tttt10,mmbbbb方程右边多项式系数构成行向量方程右边多项式系数构成行向量10,nnaaaa方程左边多项式系数构成行向量方程左边多项式系数构成行向量 通过调用通过调用MATLAB函数函数 tf(b,a)得到系统函数。如果已得到系统函数。如果已知系统的系统函数，就可以用函数知系统的系统函数，就可以用函数 lsim 来分析系统的时域来分析系统的时域响应。响应。624.7 4.7 用用MATLABMATLAB对连续时间系统的时域分析对连续时间系统的时域分析例例4.7-1 已知某连续系统的微分
27、方程为已知某连续系统的微分方程为22d()d()d()22()3()dddy ty tx ty tx tttt当系统的输入信号为当系统的输入信号为 时，绘制系统的响应时，绘制系统的响应和输入信号的波形。和输入信号的波形。()e()tx tu t解：解：其程序清单如下。其程序清单如下。a=1 2 2;b=1 3;sys=tf(b,a);定义系统的系统函数定义系统的系统函数t=0:0.01:6;定义采样间隔和时间范围定义采样间隔和时间范围f=exp(-t);lsim(sys,f,t);对系统输出进行仿真对系统输出进行仿真gtext(系统激励系统激励);gtext(系统响应系统响应);用鼠标添加文本
28、注释用鼠标添加文本注释634.7 4.7 用用MATLABMATLAB对连续时间系统的时域分析对连续时间系统的时域分析a=1 2 2;b=1 3;sys=tf(b,a);定义系统的系统函数定义系统的系统函数t=0:0.01:6;定义采样间隔和时间范围定义采样间隔和时间范围f=exp(-t);lsim(sys,f,t);对系统输出进行仿真对系统输出进行仿真gtext(系统激励系统激励);gtext(系统响应系统响应);用鼠标添加文本注释用鼠标添加文本注释644.7 4.7 用用MATLABMATLAB对连续时间系统的时域分析对连续时间系统的时域分析解：解：MATLAB中没有直接计算连续信号卷积的
29、函数。我们中没有直接计算连续信号卷积的函数。我们将连续信号将连续信号以等间隔采样后得到的离散序列的卷积和（有关以等间隔采样后得到的离散序列的卷积和（有关离散序列及卷积和将在第离散序列及卷积和将在第7章讲解），再利用专用函数章讲解），再利用专用函数conv来实现连续信号卷积的计算。来实现连续信号卷积的计算。有关程序清单如下有关程序清单如下 654.7 4.7 用用MATLABMATLAB对连续时间系统的时域分析对连续时间系统的时域分析k1=0:0.01:5;k2=-1:0.01:3;p=0.01;采样时间间隔采样时间间隔p=0.01f1=Heaviside(k1-1)-Heaviside(k1-
30、4);定义定义f1(t)信号信号f2=0.5*k2.*Heaviside(k2)-Heaviside(k2-2);定义定义f2(t)信号信号f=conv(f1,f2);f=f*p;计算序列计算序列1与序列与序列2的卷积和的卷积和k0=k1(1)+k2(1);计算序列计算序列f非零样值的起点位置非零样值的起点位置k3=length(f1)+length(f2)-2;计算卷积和计算卷积和f的非零样值宽度的非零样值宽度k=k0:p:k0+k3*p;subplot(2,2,1);确定卷积和确定卷积和f的非零样值时间向量的非零样值时间向量plot(k1,f1);axis(0,5,-0.2,1.2);在子
31、图在子图1绘制绘制f1(t)时域波形图时域波形图title(f1(t);subplot(2,2,2);plot(k2,f2);在子图在子图2绘制绘制f2(t)时域波形图时域波形图title(f2(t);axis(-1,3,-0.2,1.2);subplot(2,2,3);plot(k,f);画卷积画卷积f(t)的时域波形的时域波形h=get(gca,position);h(3)=2.4*h(3);set(gca,position,h);第三子图的横坐标范围扩为原来的第三子图的横坐标范围扩为原来的2.4倍倍title(f(t)=f1(t)*f2(t);axis(0,7,-0.2,1.2);664.7 4.7 用用MATLABMATLAB对连续时间系统的时域分析对连续时间系统的时域分析671.线性时不变系统的性质及确定线性时不变系统的性质及确定2.线性时不变系统的数学模型线性时不变系统的数学模型线性常系数差分方程线性常系数差分方程3.线性时不变系统的自由响应与强迫响应线性时不变系统的自由响应与强迫响应 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应4.卷积积分的物理意义、求解及性质卷积积分的物理意义、求解及性质本章小结小结
