1、恢复为模拟信号。号形式上进行转换，利用数字滤波器处理后再利用D/A出均为数字信号。如要处理模拟信号可以通过A/D在信数字滤波器是通过一定运算关系，改变输入信号频谱的第第8章章 无限冲激响应无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计数字滤波器的设计8.1 数字滤波器基本概念数字滤波器基本概念利用计算机技术实现的软或硬件。数字滤波器的输入输利用选频滤波器的特性可以提取有用的信号频率分量，这类滤波器适用输入信号中有用信号频带与干扰信号频带不同的情况。例如图8-1所示的理想数字低通、高通、带通、带阻滤波器属于这一类滤波器。ljdeH102l1、选频滤波器h10jdeH2h10jdeH122110jdeH1
2、221选频数字滤波器设计过程一般可以归纳为以下三个步骤：(1)按照实际需要性能要求确定滤波器技术指标。(2)用一个因果稳定的系统函数IIR、FIR去逼近这个要求。(3)用一个有限精度的运算（软、硬件）去实现这个传递函数。与模拟滤波器相似，通常情况下数字滤波器的技术指标是由频域的模频特性给出的，它要求在频率轴上一定的范围内具有所要求的相应幅度值。在规定滤波器技术指标时，考虑实现的可能性，与理想滤波器相比允许有一定的偏差。容许偏差的极限称为容限。滤波器性能指标、技术要求可以用容限图表示。2、数字滤波器的技术要求、数字滤波器的技术要求过渡带过渡带通带通带阻带阻带1jeH11111jeHp0jeH22
3、jeHs111112jdeHsp容限图。例图8-2是一低通滤波器的在通带内误差为在阻带内误差为 zH zHsHa(3)用模拟滤波器理论设计数字滤波器，即 3、IIR数字滤波器的一般设计方法数字滤波器的一般设计方法数低时）。出使最优准则下误差最小的。用模拟滤波器理论设计的优点是，模拟滤波器设计理论许多场合下就是用数字滤波器代替模拟滤波器。(1)简单滤波器的零、极点累试法（要求不高，系统阶(2)最优化设计。先确定最优准则，利用CAD技术，找成熟，有许多现成的公式、表格可以直接套用，并且在1)数字滤波器的频响要保持模拟滤波器的频响，所以 由模拟滤波器设计数字滤波器的方法，其实质是从s平面到z平面的映
4、射变换。对这个变换（映射）基本要求是s平面的虚轴 应当映射到z平面的单位圆 j2）模拟滤波器的因果稳定性经映射后数字滤波器仍应je保持，所以s平面的左半平面应当映射到z平面的单位上。圆内。8.1从s平面到z平面的映射两个基本要求的常用方法脉冲（响应）不变法也称冲激（响应）不变法，是满足之一。实现方法是已知模拟滤波器的冲激响应 tha nh tha nTtathnh，即的包络为让数字滤波器，故此得名脉冲（冲激）不变法。这种方法的实质是时域采样法。8.2 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 sHa tha nh nh zH 基本设计步骤是先得到模拟滤波器的系统函数；然后对其冲激响应采样，得到数字滤波器的
5、单位脉冲响应；而所对应的z变换，正是所要求的数字系统的系统函数，即脉冲不变法又称标准z变换法。根据理想采样序列z变换 thsHaa zHnh理想采样与拉氏变换的关系式，我们可以得到 mjsHTezzHsamsT1mTjsHTam21sTez zTsln1其映射关系为或sTez T/2T/2sTez。的映射关系表明，s平面虚轴每段长的线段都绕z平面单位圆一次，s平面上宽度为的带状区映射为整个z平面，如图8-3所示。所以，的变换关系不是s平面到z平面一一对应的简单代数映射关系。1 zRe zjImT/T/T/3T/3j js TjezzHTeHjkTjjHTak21 当(8-1)式的时，得到数字滤
6、波器的频响为 此式表明数字滤波器的频响不是简单的重现模拟滤波(8-2)映射关系为器频响，而是模拟滤波器频响的周期展开，其中频率T。0jHaT/THTjHTeHaaj11若模拟滤波器是带限的，即，则这时，数字滤波器可在折叠频率内不失真的重现模拟滤波器频响。但是实际模拟滤波器频响不可能是真正带限的，所以脉冲响应不变法总会有混叠失真，如图8-4所T/jHa2T2 TsjeH示。sHa kkNkassAsH1 tueAthtskNkak1 thanTt nTueAnThnTskNkak1 nueAnhnTskNkak1以均为单极点，且分子多项式阶数低于分母为例讨论脉冲不变法设计IIR滤波器的具体方法。
7、此时 sHa式中 kkkjs sHa是的极点，对应的模拟系统单位冲激响应为，则可展开为对取样，所有或 111aznuanaz Z nh zH111zeATskNkkTskkez jHTeHaj1接对应关系。后仍为稳定的数字系统；S平面与Z平面的零点没有直S平面与z平面的极点一一对应。稳定的模拟系统变换考虑到当取样频率很般在取样时做修正。即利用是z平面的极点高时，使得数字系统的频率特性的振幅值很高，所以一 111zeTAzHTskNkkTHjkTjHeHasakj sHa kkNkassAsH1 111zeTAzHTskNkk骤为只有单极点，且分子多项式阶数低于分母设计步(1)(2)2322ss
8、sHasT1 zH例例8-1 已知模拟滤波器的系统函数为令用脉冲响应不变法设计数字滤波器。解解 2322sssHa2212ss sHa11s22s zH3679.0111eezTs1353.0222eezTs的极点：的极点：111zeTAzHTskNkk12111112111212zezezeze 2110498.05032.014651.0zzz 22basassHa例8-2 已知用脉冲响应不变法求DF的系统函数。jbasjbassHa1121解 1111112zeezeeTzHjbTaTjbTaT1T1111111121zeezeezeezeejbajbajbajba2211cos21co
9、s1zezbezbeaaa2211cos21cos1zrzbrzbr令0abT/T/T/2T/2jS域零极点图域零极点图0jHalg20T/T/2模拟频响图bTbTeaTcos zRe zjImz域零极点图0jeHlg202数字频响图mkss 1111111!11zedsdmTsmkmmk22basas2211cos21cos1zezbTezbTeaTaTaT22basb2211cos21sinzezbTezbTeaTaTaTksm为阶的重极点对应的z变换的有理分式为对共轭极点，也给出对应的z变换的一般有理分式，即T脉冲不变法是线性频率变换，所以在幅度及相位上数字滤波器都保留着模拟滤波器的频响
10、特点。但是由于脉冲不变法本身具有频谱周期延拓特性，所以失真大。尤其是衰减特性差的滤波器，其频响会有严重的混叠现象，因此适用范围受到限制。脉冲不变法设计数字滤波器的一般步骤：(1)确定数字滤波器的性能要求及各数字临界频率 频率 kk(2)由脉冲不变法的变换关系将 变换为模拟域临界k及衰减指标求出模拟滤波器的（归一化）传k(3)按递函数 sHa原型（归一化）滤波器。这个模拟低通滤波器也称为模拟(4)由脉冲不变法的变换关系将 sHa的系统函数 zH。转变为数字滤波器kTsfTsf1T在设计过程中，除了第一步求数字临界频率时，要用到取样间隔或取样频率以外，最后的结果与其它各步骤中或的取值无关。所以为了
11、简化运算，在实际计算时，除了的第一步外，通常取通过下面的例题说明。ppassHHzfp400kHzfs2例例8-3 已知一阶巴特沃思模拟低通滤波器的，用冲激不变法设计一阶巴特沃思数字低通，采样频率，其通带截止频率滤波器。解解 方法（1）4.0Tpp 1T4.0/Tpp ppassH 11zeTzHTpp1T114.02846.012566.114.0zze 1)2)3)4)取，则模拟滤波器的归一化传递函数 11zeTAzHTskk 1111zezeTzHpppTp 方法（2）直接利用(8-4)式方法（1）（2）得到相同的结果。114.02846.012566.114.0zze 2.0p dBp
12、103.0s dBs15通带截止频率例例8-4 用冲激不变法设计一个巴特沃思数字低通滤波器，设计指标为，通带最大衰减阻带边缘频率，阻带最小衰减方法一按照设计的一般步骤，给出的频率条件已经是数字解：解：用三种方法求解此题。临界频率k，所以应从第二步开始。为方便直接取 1TT2.0p3.0s，则，得滤波器的设计指标为，模拟2.0p dB13.0s dB15通带截止频率，通带最大衰减阻带边缘频率，阻带最小衰减由通带 1lg102pjH1.0lg2pjH1.0210pjH15lg102sjH5.1lg2sjH5.1210sjH由阻带Nc(1)求、将指标代入巴特沃思滤波器设计(3-115)式，可得3/2
13、lg110110lg/lg110110lg5.11.01.01.0spspN88.5176.00365.13/2lg6228.302589.0lgN6N7032.0c，在保证通带指标的，且取必须取整数，所以实际取前提下，为改善阻带指标，减小混叠效应，我们取 sHa6N sHa sHaoN152oN306(2)求且的系数均为实数，的复极点都是共轭成对的，实轴上无极点；极点起点，间隔为且均在s左半平面，o15ccj6/如图8-5所示。，6779.01816.075sin75cos6,1jsooc4962.04962.045sin45cos5,2jsooc1816.06779.015sin15cos
14、4,3jsooc所以由此得到：kkkkkkkassAssssH616161 12093.06644.08251.11788.36909.3717.212093.023456ssssss6N sHa也可以查表3.9-1得到的归一化为 18637.34641.71416.94641.78637.3123456sssssssHa去归一化后 1209.06644.08251.11788.36909.3717.21209.023456sssssssHa 4947.0364.04944.03595.14943.09935.01209.0222ssssss zH 1611zeAzHTskkk65432154
15、3210661.05707.01067.2276.40685.53636.315707.01067.20161.00101.0006.0zzzzzzzzzzz21121137.0069.111428.11374.2257.09972.016282.08506.1zzzzzz(3）求2116949.02973.114466.02868.0zzz从以上求解过程可见 第(2)、(3)步的计算量相当于大，借助MATLAB我们可以得到所需的结果。Nc方法二方法二在第(1)步求出后，从六阶巴氏模拟原型低通、开始用MATLAB程序设计。用模拟低通原型滤波器的指标，全部设计由MATLAB方法三程序完成。kHz
16、fp3dBp1kHzfs5.4dBs15kHzfc30例例8-5 已知通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减，采样频率，用冲激不变法设计一个巴特沃思数字低通滤波器。2.030/23/cpppfT3.030/25.4/csssfT解 通带数字截止频率阻带数字边缘频率以下过程同例8-4，省略 2.0p dBp103.0s dBs15通带截止频率例例8-6用冲激不变法设计一个切比雪夫数字低通滤波器，设计指标为，通带最大衰减阻带边缘频率，阻带最小衰减令解：解：2.0p3.0s，得1TNc(1)求、2.0pc 11111212pajH50885.01101.0psN/cosh111cos
17、h12212.0/3.0cosh1101cosh15.112/3cosh50885.05338.5cosh112.396.00783.3 4N，与巴特沃思滤波器相比，指标相同，但阶数取减少。(2)确定零极点 1702.4205.29652.1121NNa11213645.07.0429.121214141NNb11210645.17.0429.121214141 NkjbNkascc212sin212cos41，8sin2.00645.18cos2.03645.0j83sin2.00645.183cos2.03645.032js，25.02116.0j6175.008764.0j sHa 1111NkkNkkassssHkkkssA41 sHa sHa 1411zeAzHTskkk(3)确定模拟低通系统函数可以利用表3.9-1得到归一化，再去归一化得到(4)由由模拟低通系统函数经冲激不变法确定数字低通系统函数模型得到。骤一样，就是模拟低通原型是由切比雪夫滤波器的数学与用冲激不变法设计数字巴特沃思滤波器相比，基本步由图8-8与图8-7巴特沃思滤波器振幅频响相比，阻带指标有所改善。这是因为切比雪夫数字滤波器实际阶数N取4，比计算所需的理论阶数3.2有较大的富余量。
