1、1、滤波器的差分方程、滤波器的差分方程 MiiNiiinxbinyany01)()()(所以，一个滤波系统的输出是其所以，一个滤波系统的输出是其过去过去N N点输出点输出的线性组合加上的线性组合加上当前输入序列当前输入序列与与过去过去M M点输入序列点输入序列的线性组合。输出的线性组合。输出 除了与当前的输入除了与当前的输入 有有关，同时还与过去的输入和过去的输出有关，关，同时还与过去的输入和过去的输出有关，系统系统是带有记忆的是带有记忆的。)(ny)(nx5.1 引言5.1 引言数字滤波是数字信号处理的一个基本应用。数字滤波是数字信号处理的一个基本应用。一个数字滤波器的系统函数一般表示为有理
2、函一个数字滤波器的系统函数一般表示为有理函数形式：数形式：iNiiMiiizazbzXzYzH101)()()(滤波器。就表示时，这个中至少有一个当IIR)(0zHai滤波器。就表示时，即当FIR)(,.,2,1,00MiiiizbzHNia2、数字滤波器的实现方法：、数字滤波器的实现方法：数字滤波器的数字滤波器的功能功能就是就是把输入序列把输入序列x(n)通通过一定的运算变换成输出序列过一定的运算变换成输出序列y(n)。（a）直接利用通用的计算机和通用软件编程）直接利用通用的计算机和通用软件编程实现；实现；（b）利用专用数字硬件、专用的）利用专用数字硬件、专用的DSP芯片实芯片实现。现。3、
3、数字滤波的基本操作：、数字滤波的基本操作：加法，乘法，延迟。加法，乘法，延迟。MiiNiiinxainybny01)()()(5.1 引言5.2 用信号流图表示网络结构1、信号流图的表示方法、信号流图的表示方法 为了表示简单，通常用信号流图来表示其为了表示简单，通常用信号流图来表示其运算结构。运算结构。延迟：相乘：相加：（b）信号流图表示法（a）方框图表示法2、基本信号流图满足的条件：、基本信号流图满足的条件：（1）信号流图中所有支路都是基本支路，信号流图中所有支路都是基本支路，即支路增益是常数或者是即支路增益是常数或者是z1；（2）流图环路中必须存在延迟支路；流图环路中必须存在延迟支路；（3
4、）节点和支路的数目是有限的。节点和支路的数目是有限的。5.2 用信号流图表示网络结构3、几个基本概念：、几个基本概念：a）输入节点输入节点或源节点，或源节点，x(n)所处的节点；所处的节点；b）输出节点输出节点或吸收节点，或吸收节点，y(n)所处的节点；所处的节点；c）分支节点分支节点，一个，一个(以上以上)输入，一个输入，一个(以上以上)输输出的节点；将值出的节点；将值分配分配到每一支路，到每一支路，当支路不标当支路不标传输系数时，就认为其传输系数为传输系数时，就认为其传输系数为1；d）相加器（节点）相加器（节点)或和点，有两个或两个以上或和点，有两个或两个以上输入的节点。输入的节点。注意：
5、任何一节点值等于所有输入支路的信号注意：任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。之和。5.2 用信号流图表示网络结构5.2 用信号流图表示网络结构)()()()(221nynwnwnw)1(2nw)1(2nw)()()(1221nwanwanx)()()(202112nwbnwbnwb图示基本信号流图，写出各节点变量的表达式图示基本信号流图，写出各节点变量的表达式l根据信号流图可以求出网络的系统函数，方根据信号流图可以求出网络的系统函数，方法是法是列出各个节点变量方程，形成联立方程列出各个节点变量方程，形成联立方程组，并进行求解，求出输出与输入之间的组，并进行求解，求出输出与输入之间的z域域关
6、系。关系。)()()()()()()()()()()()(20211212212122121zWbzWbzWbzYzWazWazXzWzzWzWzzWzW5.2 用信号流图表示网络结构经过联立求解得到：经过联立求解得到：当结构复杂时，上面利用节点变量方程联当结构复杂时，上面利用节点变量方程联立求解的方法较麻烦，可用立求解的方法较麻烦，可用梅森（梅森（Masson）公）公式式直接写直接写H(z)表示式方便。表示式方便。2211221101)()()(zazazbzbbzXzYzH5.2 用信号流图表示网络结构0b)(ny1z1z1a2a)(nx)2()1(21nyanya)1(ny)2(ny2)
7、y(na271235461)y(na1)()2()1()(021nxnynynybaa5.2 用信号流图表示网络结构根据信号流图写出输入与输出之间的关系。根据信号流图写出输入与输出之间的关系。5.3 IIR系统的基本网络结构IIR滤波器的特点：滤波器的特点：1、单位冲激响应、单位冲激响应h(n)是无限长的。是无限长的。2、系统函数、系统函数H(z)在有限在有限z平面（平面（）上有极点存在，系统可能不稳定。上有极点存在，系统可能不稳定。3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。反馈。z0IIR（Infinite impluse response）无限
8、长单位冲激响应一、直接型一、直接型 1、直接、直接I型型 （1）差分方程（）差分方程（N阶）阶）（2）系统函数）系统函数NiiiMiiizazbzXzYzH101)()()(NiMiiiinxbinyany10)()()(5.3 IIR系统的基本网络结构 （3）结构流图（按差分方程可以写出）结构流图（按差分方程可以写出）z1z1z1z1z1z1b0b1b2bM 1bMa1a2aN 1aN)(nx)(ny)2(nx)1(nx)(Mnx)(Nny)1(ny)2(ny5.3 IIR系统的基本网络结构NiMiiiinxbinyany10)()()(（4）特点）特点 第一个网络实现第一个网络实现零点零点
9、，即实现，即实现x(n)延时加权：延时加权：)(0inxbMii第二个网络实现第二个网络实现极点极点，即实现，即实现y(n)延时加权：延时加权：可见，第二网络是输出延时，即可见，第二网络是输出延时，即反馈网络反馈网络。网络共需（网络共需（M+N）个存储延时单元。）个存储延时单元。Niiinya1)(5.3 IIR系统的基本网络结构2、直接、直接II型（典范型型（典范型）线性移不变系统的性质，线性移不变系统的性质，交换内部子系交换内部子系统的位置统的位置，其系统函数不变，即，其系统函数不变，即总的输入输出总的输入输出关系不变关系不变，但系统内部的状态会改变。但系统内部的状态会改变。为此，可以交换
10、直接为此，可以交换直接I型中型中2个网络的位置。个网络的位置。5.3 IIR系统的基本网络结构交换直接交换直接I型中型中2个网络的位置如下：个网络的位置如下：)(nxz1z1z1b0b1b2bM 1bM)(nya1a2aN 1aNz1z1z1z1z1z1b0b1b2bM 1bM)(nxa1a2aN 1aNz1z1z1)(ny交换后，中间的延迟变量相同，可以合并。交换后，中间的延迟变量相同，可以合并。5.3 IIR系统的基本网络结构所以：直接所以：直接II型（典范型型（典范型）的结构）的结构改变级联次序后，将中间的两条完全相同的延时链合并。这样改变级联次序后，将中间的两条完全相同的延时链合并。这
11、样延时单元可以节省一倍，即延时单元可以节省一倍，即N阶滤波器只需要阶滤波器只需要N级延时单元。级延时单元。5.3 IIR系统的基本网络结构例例 IIR数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数H(z)为为 画出该滤波器的直接型结构。画出该滤波器的直接型结构。解：由解：由H(z)写出差分方程如下：写出差分方程如下：12312384112()5311448zzzH zzzz531()(1)(2)(3)8()4(1)44811(2)2(3)y ny ny ny nx nx nx nx n5.3 IIR系统的基本网络结构该滤波器的直接型结构如下该滤波器的直接型结构如下：x(n)y(n)z1z1z1 48
12、11 2（请填入（请填入有关系数）有关系数）531()(1)(2)(3)8()4(1)44811(2)2(3)y ny ny ny nx nx nx nx n附：5.3 IIR系统的基本网络结构直接型结构的缺点：直接型结构的缺点：u 系数系数a ai i、b bi i对滤波器性能的控制关系不直接，调对滤波器性能的控制关系不直接，调整不方便。整不方便。u极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生
13、较大误差。或产生较大误差。5.3 IIR系统的基本网络结构二、级联型二、级联型 把把H(z)H(z)分解（分解（因式分解因式分解）成几个一阶或二阶）成几个一阶或二阶数字网络的级联形式：数字网络的级联形式：)(.)()()(21zHzHzHAzHK式中式中 表示一个一阶或二阶的数字网络的表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个系统函数，每个 的网络结构均采用前面的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构。介绍的直接型网络结构。)(zHj)(zHj5.3 IIR系统的基本网络结构实现步骤：实现步骤：（1）先将系统函数按零、极点进行因式分解）先将系统函数按零、极点进行因式分解 其中，其中，pk为实
14、零点，为实零点，ck为实极点；为实极点；qk，qk*表示表示复共轭零点，复共轭零点，dk，dk*表示复共轭极点，表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2 1221111111111110)1)(1()1()1)(1()1(1)(NkNkMkMkNkkkMkkzdzdzczqzqzpAzazbzHkkkkkkk5.3 IIR系统的基本网络结构（2）将）将共轭因子展开共轭因子展开，构成实系数二阶因子，构成实系数二阶因子，则得则得（3）将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在）将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络：一起，形成一个二阶网络：11211121)1()1()
15、()1()(22111221101NkNkMkMkzzzczzzpAzHkkkkkkk2211221101)(zzzzzHjjjjjj5.3 IIR系统的基本网络结构用公式表示为用公式表示为:kkkkkkkkzHAzzzzAzH)(1)(221122110)(.)()(21zHzHzHAK分解后的分解后的 可用二阶或一阶的直接型结构实现。可用二阶或一阶的直接型结构实现。)(zHk5.3 IIR系统的基本网络结构图图:一阶和二阶直接型网络结构一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构直接型二阶网络结构 5.3 IIR系统的基本网络结构例例 II
16、R数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数H(z)为为 试画出其级联型网络结构。试画出其级联型网络结构。12312384112()1 1.250.750.125zzzH zzzz解：解：将将H(z)分子、分母进行因式分解，然后两两组合，分子、分母进行因式分解，然后两两组合，得到：得到：112112(20.379)(41.245.264)()(10.25)(10.5)zzzH zzzz5.3 IIR系统的基本网络结构所以，该级联型网络结构为所以，该级联型网络结构为x(n)z12y(n)z14z1 0.3790.25 1.245.264 0.5（请输入有关参数）（请输入有关参数）112112(20
17、.379)(41.245.264)()(10.25)(10.5)zzzH zzzz附：5.3 IIR系统的基本网络结构级联型结构的特点：级联型结构的特点：u每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点，通过调整系数便于准确实现滤波器一对零点，通过调整系数便于准确实现滤波器的零点、极点，也便于性能调整。的零点、极点，也便于性能调整。u后面的网络输出不会再流到前面，因而运算的后面的网络输出不会再流到前面，因而运算的累积误差较小。累积误差较小。5.3 IIR系统的基本网络结构三、并联型三、并联型 把把H(z)分解（分解（部分分式展开部分分式展开）成几个一阶
18、）成几个一阶或二阶数字网络的或二阶数字网络的并联并联形式：形式：)(.)()()(21zHzHzHzHK 式中，式中，Hk(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为;0,021kk则注：若为一阶网络，22111101)(zzzzHkkkkk5.3 IIR系统的基本网络结构 kA1z)(1zH)(2zH)(zHK)(nx)(ny并联结构并联结构并联结构的一阶和二阶基本节结构并联结构的一阶和二阶基本节结构1z1z01125.3 IIR系统的基本网络结构例例 画出画出H(z)的并联型结构。的并联型结构
19、。111281620()1610.510.5zH zzzz解：本解：本H(z)已经分解成并联形式，只需将每一部分已经分解成并联形式，只需将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图所示。用直接型结构实现，其并联型网络结构如图所示。5.3 IIR系统的基本网络结构 x(n)y(n)z1z11680.520160.520z1111281620()1610.510.5zH zzzz附：请输入有关参数请输入有关参数5.3 IIR系统的基本网络结构并联型结构的特点：并联型结构的特点：u每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因而
20、并联型结构定一对共轭极点，因而并联型结构可以单独调整极点位可以单独调整极点位置置。但不能直接控制零点。但不能直接控制零点。u在运算误差方面，并联型各基本节的误差互不影响，所在运算误差方面，并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联型误差要稍小一些。以比级联型误差要稍小一些。u由于网络并联，可同时对输入信号进行运算，因而运算由于网络并联，可同时对输入信号进行运算，因而运算速度最快。速度最快。因此当要求有准确的传输零点时，采用级联型最合因此当要求有准确的传输零点时，采用级联型最合适，其他情况下这两种结构性能差不多，或许采用并联适，其他情况下这两种结构性能差不多，或许采用并联型稍好一点。型稍好一点。5
21、.3 IIR系统的基本网络结构5.4 FIR系统的基本网络结构FIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：FIR滤波器的差分方程：滤波器的差分方程：10)()(NnnznhzH)1()1(.)1()1()()0()()()(10NnxNhnxhnxhmnxmhnyNm一、一、FIR滤波器的特点：滤波器的特点：1、h(n)为有限个非零值；为有限个非零值；2、H(z)在在|z|0处收敛，在处收敛，在|z|0处只有零点，而全处只有零点，而全部极点都在部极点都在z=0处，因而系统总是因果稳定的；处，因而系统总是因果稳定的；3、实现结构上主要是非递归结构，没有输出到输、实现结构上主要是非递归结构，
22、没有输出到输入的反馈。入的反馈。FIR（Finite Impluse Response）有限长单位冲激响应）有限长单位冲激响应5.4 FIR系统的基本网络结构一、直接型（卷积型、横截型）一、直接型（卷积型、横截型）它是直接根据卷积和公式画出，适合它是直接根据卷积和公式画出，适合N较小的情况。较小的情况。)(nx)(ny1z1z1z)0(h)1(h)2(h)2(Nh)1(Nh)1()1(.)1()1()()0()()()(10NnxNhnxhnxhmnxmhnyNm5.4 FIR系统的基本网络结构二、级联型二、级联型 当需要控制滤波器的当需要控制滤波器的传输零点传输零点时，可将时，可将H(z)分
23、分解（解（因式分解因式分解）为二阶实系数因子的乘积形式。）为二阶实系数因子的乘积形式。说明：说明：（1）N/2表示取表示取N/2的整数部分。的整数部分。（2）当）当N为偶数时，有一个为偶数时，有一个 为为0。k2102/122110)()()(NnNkkkknzzznhzH5.4 FIR系统的基本网络结构)(nx)(ny当当N为奇数时的结构如下为奇数时的结构如下：zzzHN22111101)(,3时如zzzXzY22111101)()()2()1()()(211101nxnxnxny2111011z1z5.4 FIR系统的基本网络结构一般级联结构（一般级联结构（N为奇数）为奇数）)(nx)(n
24、y2111011z1z2212021z1z2/2 N2/1 N2/0 N1z1z特点：特点：（1）每级结构可控制一对零点。）每级结构可控制一对零点。（2）所需系数）所需系数 多，乘法次数也多。多，乘法次数也多。ik5.4 FIR系统的基本网络结构N为偶数呢？为偶数呢？例例 设设FIR网络系统函数网络系统函数H(z)如下式：如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 试画出试画出H(z)的直接型结构和级联型结构。的直接型结构和级联型结构。解：解：将将H(z)进行因式分解，得到：进行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)5.4 F
25、IR系统的基本网络结构（a）直接型）直接型（b）级联型）级联型 H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)附：5.4 FIR系统的基本网络结构若若FIR滤波器的单位脉冲响应滤波器的单位脉冲响应h(n)为实数，为实数，其长度为其长度为N，且满足条件，且满足条件或或偶对称：偶对称：奇对称：奇对称：则则FIR数字滤波器具有数字滤波器具有线性相位特性线性相位特性。1,1,0)1()(NnnNhnh1,1,0)1()(NnnNhnh5.5 FIR系统的线性相位结构 若若 为偶数为偶数，则:N)()1()()()()()(
26、12/0)1(12/0)1(12/012/12/010NnnNnNnnNNnnNNnnNnnNnnzznhznNhznhznhznhznhzH)(nh当 满足偶对称条件偶对称条件时 若若 为奇数为奇数，则:N211210)1()21()()(NNnnNnzNhzznhny5.5 FIR系统的线性相位结构)(nh当 满足奇对称条件奇对称条件时 若若 为偶数为偶数，则:N)()(12/0)1(NnnNnzznhzH211210)1()21()()(NNnnNnzNhzznhny 若若 为奇数为奇数，则:N据以上结论可作出据以上结论可作出 N 分别为偶数和奇数两种情形下的分别为偶数和奇数两种情形下的
27、线性相位线性相位FIR滤波器的对称结构流图：滤波器的对称结构流图：5.5 FIR系统的线性相位结构 若若N 为偶数，其为偶数，其线性相位线性相位FIR滤波器的对称结构流图滤波器的对称结构流图图中：图中：“+1+1”对应对应偶对称偶对称情况，情况，“-1-1”对应对应奇对称奇对称情况。情况。5.5 FIR系统的线性相位结构 若若N 为奇数，其为奇数，其线性相位线性相位FIR滤波器的对称结构流图滤波器的对称结构流图5.5 FIR系统的线性相位结构图中：图中：“+1+1”对应对应偶对称偶对称情况，情况，“-1-1”对应对应奇对称奇对称情况。情况。l1、IIR滤波器的单位脉冲响应是有限长的。()课堂练
28、习l2、通常IIR滤波器具有递归型结构。()课堂练习l3、FIR滤波器的单位脉冲响应是有限长的。()课堂练习课堂练习l4、已知一个IIR滤波器的系统函数为 则此滤波器的直接型结构表示为_。213211)(zzzHl5、若数字滤波器的结构如图所示：则它的差分方程为 ，系统函数为 。y(n)=2y(n1)0.8y(n2)+x(n)+3x(n1)2118.02131)(zzzzH课堂练习l6、假设滤波器的单位脉冲响应为：求出滤波器的系统函数，并画出它的直接型结构。答：10)()(anuanhnazaznhZTzH，111)()(课堂练习l7、已知系统的单位脉冲响应为：试写出系统的系统函数，并画出它的
29、直接型结构。解：将进行Z变换，得到它的系统函数 )5(5.0)3(5.2)2(3.0)1(2)()(nnnnnnh53215.05.23.021)(zzzzzH课堂练习8 图中画出了四个系统，图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。并求其总系统函数。课堂练习解解：(1)h(n)=h1(n)*h2(n)*h3(n),H(z)=H1(z)H2(z)H3(z)(2)h(n)=h1(n)+h2(n)+h3(n),H(z)=H1(z)+H2(z)+H3(z)(3)h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n),H(z)=H1(z)H2(z)+H3(z)(4)h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)*h4(n)+h5(n)=h1(n)*h2(n)+h1(n)*h3(n)*h4(n)+h5(n)H(z)=H1(z)H2(z)+H1(z)H3(z)H4(z)+H5(z)课堂练习
