1、第第4章章 连续时间信号与系统的复频域分析连续时间信号与系统的复频域分析n4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换n4.2 单边拉氏变换的性质单边拉氏变换的性质n4.3 单边拉氏反变换单边拉氏反变换 n4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析n4.5 系统函数系统函数H(s)n4.6 系统函数的零、极点分布与时域响应特系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系性的关系n 4.7 系统的稳定性系统的稳定性n4.8 系统函数与系统频率特性系统函数与系统频率特性4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换n4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换n4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯
2、变换的收敛域n4.1.3 常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换返回首页4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换n由第由第3章已知，当函数章已知，当函数f(t)满足满足狄里赫利条件狄里赫利条件时，便存在一对时，便存在一对傅里叶变换傅里叶变换式：式：deFtfdtetfFtjtj)(21)()()(-返回本节4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域n连续时间信号连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换（以下简称的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）式拉氏变换）式f(s)是否存在，取决于是否存在，取决于f(t)乘以乘以衰减因子衰减因子 以后是否绝对可积，即：以后是否
3、绝对可积，即：tedtetfat)(0j0收敛轴收敛域收敛坐标图4-1 收敛域的划分0ja0)(1tftA图4-2 右边指数衰减信号与其收敛域0ja0)(2tftA图4-3 左边指数增长信号与其收敛域j0bb0)(3tft1图4-4 双边信号与其收敛域返回本节4.1.3 常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换n1单位阶跃信号单位阶跃信号n2单位冲激信号单位冲激信号n3指数信号指数信号n4正弦信号正弦信号n5t的正幂信号的正幂信号1单位阶跃信号单位阶跃信号ssedtetusFstst1)()(00L即：stu1)(2单位冲激信号单位冲激信号1)()()()(00dttdtettsFstL即
4、：即：1)(t3指数信号指数信号asdteetuesFstatat1)()(0L即：即：astueat1)(4正弦信号正弦信号220011212sin)(sin)(sjsjsjdtejeedtettutsFsttjtjstL即：即：22)(sinstut5t的正幂信号的正幂信号0)()(dtettutsFstnnL利用分部积分法，得：010100dtetsndtetsnestdtetstnstnstnstn所以：)()(1tutsntutnnLL表4-1 常用信号的拉氏变换返回本节4.2 单边拉氏变换的性质单边拉氏变换的性质n4.2.1 线性线性n4.2.2 时移（延时）特性时移（延时）特性n
5、4.2.3 尺度变换尺度变换n4.2.4 频移特性频移特性n4.2.5 时域微分定理时域微分定理n4.2.6 时域积分定理时域积分定理n4.2.7 频域微分定理频域微分定理n4.2.8 频域积分定理频域积分定理n4.2.9 初值定理初值定理n4.2.10 终值定理终值定理n4.2.11 卷积定理卷积定理返回首页4.2.1 线性线性)()(),()(2211sFtfsFtf若返回本节)()()()(,2211221121sFasFatfatfaaa有和则对于任意常数4.2.2 时移（延时）特性时移（延时）特性)()(sFtf若0)()()(,000stesFttuttft有则对于任意实常数)(s
6、in0tt t0t0tsint0)()(sin0tutt t0t0（a）（b）（c）)(sin0ttutt00t)()(sin00ttuttt0t0（d）（e）图4-5 几种时移情况4.2.3 尺度变换尺度变换)()(sFtf若0 )()(1aFatfasa则4.2.4 频移特性频移特性返回本节)()(sFtf若)()(asFetfat则4.2.5 时域微分定理时域微分定理)()(sFtf若)0()0()0()()()0()()(121)(nnnnnffsfssFstffssFtfdtd则0tAT)(tftTA)()1(tf0)(TtAt)(tTA)()2(tf0)()1(TtA)(TtTAT
7、T（a）三角脉冲 （b）三角脉冲的一阶导数 （c）三角脉冲的二阶导数 图4-7 三角脉冲及其导数返回本节4.2.6 时域积分定理时域积分定理)()(sFtf若sfssFdft)0()()()1(0则4.2.7 频频域微分定理域微分定理返回本节)()(sFtf若)()(sFdsdttf则4.2.8 频频域积分定理域积分定理返回本节)()(sFtf若sdFttf)()(则4.2.9 初值定理初值定理连续可导，则：且若)(),()(tfsFtf )(lim)(lim)0(0ssFtffst例：4.2.10 终值定理终值定理连续可导，则：且若)(),()(tfsFtf )(lim)(lim)(0ssF
8、tffst例：4.2.11 卷积定理卷积定理n1时域卷积定理时域卷积定理 n2复频域卷积定理复频域卷积定理 1时域卷积定理时域卷积定理，则：若)()(),()(2211sFtfsFtf )()()()(2121sFsFtftf2复频域卷积定理复频域卷积定理，则：若)()(),()(2211sFtfsFtf )()(21)()(2121sFsFjtftf返回本节4.3 单边拉氏反变换单边拉氏反变换 n 4.3.1 查表法查表法n4.3.2 部分分式展开法部分分式展开法返回首页 4.3.1 查表法查表法变换形式，即：表示为常用信号的拉氏将解：求其拉氏反变换。例：已知)(,841892)(22sFs
9、ssssF)(22t)(2cos2)2(2222tutesst返回本节222)2(22)(sssF)(2cos)(2)()(21tutetsFLtft查表得：所以：4.3.2 部分分式展开法部分分式展开法4.3.2 部分分式展开法部分分式展开法返回本节4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析n4.4.1 用拉氏变换法分析系统用拉氏变换法分析系统n4.4.2 用拉氏变换法分析电路用拉氏变换法分析电路返回首页4.4.1 用拉氏变换法分析系统用拉氏变换法分析系统n首先对描述系统输入输出关系的首先对描述系统输入输出关系的微分方程进微分方程进行拉氏变换行拉氏变换，得到一个代数方程，得到一个代数方
10、程n求出的响应象函数包含了求出的响应象函数包含了零输入零输入响应和响应和零状零状态态响应响应n再经过再经过拉氏反变换拉氏反变换可以很方便地得到零输入可以很方便地得到零输入响应、零状态响应和全响应的响应、零状态响应和全响应的时域解时域解。例例4-18 描述描述LTI系统的微分方程为：系统的微分方程为：4.4.2 用拉氏变换法分析电路用拉氏变换法分析电路n1电阻元件的电阻元件的s域电路模型域电路模型n2电容元件的电容元件的s域电路模型域电路模型n3电感元件的电感元件的s域电路模型域电路模型n4用拉氏变换法分析电路用拉氏变换法分析电路1电阻元件的电阻元件的s域电路模型域电路模型n电阻元件的时域伏安关
11、系为：电阻元件的时域伏安关系为：)()(tiRtv对上式取拉氏变换，得：对上式取拉氏变换，得：)()(sRIsV)(tv)(tiRR)(sV)(sI（a）时域电路模型 （b）s域电路模型 图4-8 电阻元件时域与s域电路模型2电容元件的电容元件的s域电路模型域电路模型n电容元件的时域伏安关系为：电容元件的时域伏安关系为：dttdvctiditvcctccc)()()()(01或：)0()()()0()()0()1()(1)(ccvscscVscIscvscscIscisscIcscV或：C)(tvc)(tic0)0(cv)(sIc)(sVcsC1svc)0(sC1)0(cvC)(sIc)(sV
12、c（a）时域电路模型 （b）s域串联电路模型 （c）s域并联电路模型 图4-9 电容元件时域与s域电路模型3电感元件的电感元件的s域电路模型域电路模型sLsiL)0()(sIL)(sVL)0(LLisL)(sIL)(sVL)(tvL)(tiLL0)0(Li（a）时域电路模型 （b）s域串联电路模型 （c）s域并联电路模型 图4-10 电感元件时域与s域电路模型4用拉氏变换法分析电路用拉氏变换法分析电路n得到一般电路的得到一般电路的s域模型域模型;n应用电路的基本分析方法（节点法、网孔法应用电路的基本分析方法（节点法、网孔法等）和定理（如叠加定理、戴维南定理等），等）和定理（如叠加定理、戴维南定
13、理等），列出复频域的方程列出复频域的方程;n求解得到响应的象函数求解得到响应的象函数;n对象函数进行拉氏反变换，即得出响应的时对象函数进行拉氏反变换，即得出响应的时域解。域解。)(tv1RCL2R)0(cv)0(Li)(1ti)(2ti1)(sV51s1s21)(1sI)(2sIs5421)(1sI)(2sI（a）时域电路模型 （b）s域电路模型 图4-11 例4-20图)(te2R1LH11R13R1CF1)(tvcS0t)(te2te2图4-12 例4-21图)(sE1s11s1)(sVcs111201s11s1)(sVczis11120)(sE1s11s1)(sVczs120（a）s域全
14、响应电路模型 （b）s域零输入响应电路模型 （c）s域零状态电路模型 图4-13 s域电路模型返回本节4.5 系统函数系统函数H(s)n4.5.1 系统函数的定义系统函数的定义n4.5.2 系统函数的求解方法系统函数的求解方法返回首页4.5.1 系统函数的系统函数的定义定义4.5.2 系统函数的求解方法系统函数的求解方法)(tx1R2C)(ty2R1C)(sX1R21sC)(sY2R11sC（a）时域电路模型 （b）s域电路模型 图4-16 例4-23图返回本节4.6 系统函数的零、极点分布与时域系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系响应特性的关系n4.6.1 系统函数的零、极点与零、极点
15、图系统函数的零、极点与零、极点图n4.6.2 系统函数的零、极点分布与时域响应系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系特性的关系返回首页4.6.1 系统函数的零、极点与零、极点图系统函数的零、极点与零、极点图nLTI连续系统的系统函数连续系统的系统函数h(s)通常是复变量的通常是复变量的有理分式，即：有理分式，即：)()()()()()()()()(212101110111nimjmnnnmmmmpspspspszszszszsbasasasbsbsbsbsNsMsH n例如某系统的系统函数为：例如某系统的系统函数为：)2)(2)(1()3()54)(1()3()(222jsjsssssss
16、sssH4.6.1 系统函数的零、极点与零、极点图系统函数的零、极点与零、极点图jj12j3)2(0图4-17 h(s)的零、极点分布图返回本节4.6.2 系统函数的零、极点分布与时系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系域响应特性的关系n1左半平面极点左半平面极点n2虚轴上极点虚轴上极点n3右半平面极点右半平面极点j0图4-18 h(s)零、极点分布与时域响应特性的关系返回本节 4.7 系统的稳定性系统的稳定性n4.7.1 稳定系统的定义稳定系统的定义n4.7.2 系统稳定的条件系统稳定的条件返回首页4.7.1 稳定系统的定义稳定系统的定义n一个连续系统，如果对于任意一个连续系统，如果对于
17、任意有界输入有界输入产生的零产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统。状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统。即对于一个稳定系统，若输入信号：即对于一个稳定系统，若输入信号：则输出响应：则输出响应：xMtx)(返回本节yMty)(4.7.2 系统稳定的条件系统稳定的条件n1时域的稳定条件时域的稳定条件 n2频域的稳定条件频域的稳定条件 1时域的稳定条件时域的稳定条件 n设 连 续 时 间 系 统 的 输 入 信 号设 连 续 时 间 系 统 的 输 入 信 号x(t)满 足满 足|x(t)|Mx，则系统的零状态响应：则系统的零状态响应：dtxhtxthty)()()()()(或写成：
18、或写成：dtxhdtxhty)()()()()(2频域的稳定条件频域的稳定条件 n（1）稳定系统）稳定系统 n（2）不稳定系统）不稳定系统 n（3）临界稳定系统）临界稳定系统 22)(tvi)(tvos4s222)(sVi)(sVo12F21F41（a）时域电路模型 （b）域电路模型 图4-19 例4-24图)(sX)(sY)(sG)(sF图4-20 例4-25图返回本节4.8 系统函数与系统频率特性系统函数与系统频率特性n4.8.1 频率特性频率特性n4.8.2 频率特性的矢量作图法频率特性的矢量作图法返回首页4.8.1 频率特性频率特性n系统在系统在正弦信号正弦信号激励的作用下，激励的作用
19、下，稳态响应稳态响应随随着激励信号频率的变化特性，称为系统的频率着激励信号频率的变化特性，称为系统的频率特性。特性。n包括幅度随频率变化而变化的包括幅度随频率变化而变化的幅频特性幅频特性和相和相位随频率变化而变化的位随频率变化而变化的相频特性相频特性。4.8.1 频率特性频率特性n下面从系统函数的观点来考察系统的正弦稳下面从系统函数的观点来考察系统的正弦稳态响应及频率特性。态响应及频率特性。n设系统函数为设系统函数为h(s)，正弦激励信号正弦激励信号为为 ，其拉氏变换为：，其拉氏变换为：)(cos)(0tutEtx2020)(cos)(sEstutEsXL4.8.1 频率特性频率特性n则系统响
20、应的拉氏变换为：则系统响应的拉氏变换为：00002211202)()()()(jsjAjsjApsApsApsAsEssHsYnn返回本节4.8.2 频率特性的矢量作图法频率特性的矢量作图法n矢量作图法是根据系统函数矢量作图法是根据系统函数h(s)在在s平面的零、平面的零、极点分布绘制的频率响应特性曲线，包括幅频极点分布绘制的频率响应特性曲线，包括幅频特性曲线和相频特性曲线。特性曲线和相频特性曲线。n设稳定的因果系统，其系统函数为：设稳定的因果系统，其系统函数为：)()()()()(2121011011nmmnnnmmmmpspspszszszsbasasbsbsbsH niimjjmpszs
21、b11)()(4.8.1 频率特性频率特性n系统的频率特性为：系统的频率特性为：)()()()(|)()(2121nmmjspjpjpjzjzjzjbsHjH niimjjmpjzjb11)()(jj0ipjziNjMpizj图4-21 零点与极点的矢量表示RC)(1tv)(2tv 图4-22 例4-26电路图 jjRC10MNp90z 图4-23 例4-26电路频率特性分析1)(jH707.00RC190)(450RC1（a）幅频特性曲线 （b）相频特性曲线 图4-24 一阶RC高通滤波器的频率特性曲线返回本节本章小结本章小结n（1）拉氏变换是傅里叶变换的进一步推广，它描述了）拉氏变换是傅里
22、叶变换的进一步推广，它描述了信号时域与复频域之间的对应关系，可以用于分析更为信号时域与复频域之间的对应关系，可以用于分析更为广泛的信号与系统，是分析线性系统强有力的工具。广泛的信号与系统，是分析线性系统强有力的工具。n（2）拉氏变换的性质反映了信号的时域特性与复频域）拉氏变换的性质反映了信号的时域特性与复频域特性之间的密切关系。特性之间的密切关系。n（3）复频域分析法复频域分析法将时域微分方程的求解变换为将时域微分方程的求解变换为s域域代数方程的求解，从而使解决问题的方法变得简单。代数方程的求解，从而使解决问题的方法变得简单。n（4）系统函数）系统函数h(s)是系统响应的象函数是系统响应的象函数y(s)与系统与系统激励的象函数激励的象函数x(s)之比。之比。n（5）从系统函数）从系统函数h(s)的零、极点分布可以很方便地确的零、极点分布可以很方便地确定系统时域冲激响应的特性、系统的稳定性和系统的频定系统时域冲激响应的特性、系统的稳定性和系统的频率特性，因此系统函数成为系统分析和综合设计的依据。率特性，因此系统函数成为系统分析和综合设计的依据。
