1、信号与线性系统信号与线性系统1课程性质：课程性质：本课程是本课程是“电路分析电路分析”课的继续和深入。课的继续和深入。是后继课程是后继课程“通信原理通信原理”、“网络理论网络理论”、“数字信号处理数字信号处理”、“信号检测信号检测”等课程的等课程的基础。基础。参考书：参考书：1.信号与系统（上下）清华信号与系统（上下）清华 郑君里郑君里2.信号与线性系统（上下）信号与线性系统（上下）东大东大 管致中管致中3.信号与线性系统信号与线性系统 西安电子科大西安电子科大 吴大正吴大正4.信号与系统分析信号与系统分析 电子科大电子科大 闵大镒闵大镒2信号与线性系统课程的主要内容信号与线性系统课程的主要内
2、容1信号分析信号分析:时间特性时间特性 波形图波形图(时间变化规律时间变化规律)；频率特性频率特性 信号含有各种频率分量的组成。信号含有各种频率分量的组成。2系统分析：研究系统的主要任务是了解对系统分析：研究系统的主要任务是了解对信信 号进行传输与处理号进行传输与处理。由激励求响应：电路分析中侧重于电路结构元由激励求响应：电路分析中侧重于电路结构元件性质、参数求某支路电压或电流；件性质、参数求某支路电压或电流；3系统分析中侧重于激励系统分析中侧重于激励(广义广义)求响应求响应(广义广义)（系统比电路要广泛得多）（系统比电路要广泛得多）连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析信号的频谱分析与
3、傅里叶变换信号的频谱分析与傅里叶变换拉普拉氏变换分析拉普拉氏变换分析离散时间系统与离散时间系统与Z变换分析变换分析信号与系统的基本概念信号与系统的基本概念主要包括：主要包括：4第一章 信号与系统的基本概念1-1 信号的描述及其分类信号的描述及其分类信号：随时间变化的某种物理量。如：（带信号：随时间变化的某种物理量。如：（带有信息的物理量）有信息的物理量）(市内交通市内交通)红绿灯、（上红绿灯、（上下课）铃声下课）铃声 等。等。本课程主要讨论电信号本课程主要讨论电信号1-1-1信号及其描述信号及其描述5信号总是以下面的形式传输：信号总是以下面的形式传输：信源信源 通过通过 信道信道 到达到达 信
4、宿信宿如甲如甲(语言语言)（空气）（空气）乙乙(耳朵耳朵)信号的特性：（时间特性信号的特性：（时间特性 频率特性）频率特性）一般地说一般地说:信号是信号是时间的函数时间的函数;有一定的波形。有一定的波形。任一信号具有其自身特有的频率组成，所以任一信号具有其自身特有的频率组成，所以信号也是信号也是频率的函数频率的函数。61-1-2 信号的分类信号的分类1 确定信号和随机信号确定信号和随机信号:确定信号是时间确定信号是时间t t的确定函数。的确定函数。2 确定信号分为：连续时间信号和离散时间信号确定信号分为：连续时间信号和离散时间信号除若干个不连续点外，其它时刻都有定义，除若干个不连续点外，其它时
5、刻都有定义，就是连续信号。如下图：就是连续信号。如下图：)(tf)(tft01t1-1sgn()tt73.确定信号又可分为：周期信号确定信号又可分为：周期信号 和非周期信号。和非周期信号。仅在离散时刻有定义，称为离散信号。仅在离散时刻有定义，称为离散信号。)(),(),(kfkTftfk非周期信号可看作周期趋于无穷大时的周期信号非周期信号可看作周期趋于无穷大时的周期信号 -4-3 0 1 2-1)(kfkf tf tnT()().84.信号又可分为：能量信号与功率信号及非能信号又可分为：能量信号与功率信号及非能量非功率信号量非功率信号f tttTT()cossin 24655539221482
6、215101122例：例：解解由最小公倍数知识：由最小公倍数知识：T40 。由傅里叶级数由傅里叶级数可知可知 周期信号分解为傅里叶级数。其中每一周期信号分解为傅里叶级数。其中每一分量的周期均相差分量的周期均相差n倍，其基波频率倍，其基波频率02/T讨论：讨论：fttt()cossin答案：答案：T T不存在，非周期信号不存在，非周期信号周期信号周期信号T的计算：的计算：9信号的能量与平均功率的定义信号的能量与平均功率的定义 设信号电压或电流为设信号电压或电流为(t)，它在它在1欧姆电阻上的瞬欧姆电阻上的瞬时功率为时功率为|(t)|2,在时间区间在时间区间(-T,T)内消耗的总能内消耗的总能量为
7、：量为：(如信号为实信号如信号为实信号 绝对值符号可以省去绝对值符号可以省去)dttfETTT2)(limdttfTPTTT2)(21lim平均功率为：平均功率为：1能量信号：信号的能量有界，即能量信号：信号的能量有界，即 E0注意：注意：f(t)不一不一定是周期信号，定是周期信号，符号符号T与周期与周期无关。无关。2功率信号：信号的功率有界，即功率信号：信号的功率有界，即 P03非功率非能量信号。非功率非能量信号。10)(2tf0)(1tf0tt)(3tf0t即：即：能量有限的信号能量有限的信号称为称为 能量信号；能量信号；f1(t)非周期能量信号非周期能量信号 f2(t)非周期功率信号非周
8、期功率信号 f3(t)非功率能量信号非功率能量信号11一般地一般地，周期信号都是功率信号；属于能量信，周期信号都是功率信号；属于能量信号的非周期信号又称为脉冲信号，它在有限时号的非周期信号又称为脉冲信号，它在有限时间范围内有一定的数值，而当间范围内有一定的数值，而当 时，数值时，数值为零；属于功率信号的非周期信号是当为零；属于功率信号的非周期信号是当 时仍然为有限值的一类信号。时仍然为有限值的一类信号。tt功率有限的信号功率有限的信号称为称为 功率信号；功率信号；功率能量均为无限的信号称为非功率非能量信号。功率能量均为无限的信号称为非功率非能量信号。12例例：如图所示信号，判断其是否为功率信号
9、或：如图所示信号，判断其是否为功率信号或能量信号。能量信号。tetf21)(t0tetf22)(t0解：对信号解：对信号 有有)(1tf212)(40040422limdtedtedtedteEtttTTtT0P13 对信号对信号 有有)(2tfTTTTTtTeedteE442241lim)(lim84lim8lim8lim21lim4444TTTTTTTTeTeTeeETP该信号为能量信号。该信号为能量信号。该信号为非能量非功率信号。该信号为非能量非功率信号。141-1-3 常见的基本信号（连续信号）常见的基本信号（连续信号）1 单位阶跃信号单位阶跃信号0010)(ttt)(t)(tt10在
10、信号分析中，常把信号分解为在信号分析中，常把信号分解为基本单元信基本单元信号号来表示。来表示。也称也称 切函数切函数152 单位冲激信号单位冲激信号000)(ttt和和1)(dtt单位冲激信号的定义有很单位冲激信号的定义有很多：最常见的为工程定义：多：最常见的为工程定义：称为狄拉克函数，或称为狄拉克函数，或 函数。它是普通函数函数。它是普通函数的广义极限：的广义极限：设门函数设门函数gtttt(),100016t)(t(1)0可见，单位冲激信号可见，单位冲激信号gt()1当当 01,面积等于面积等于1()lim()tgt0满足此条件的满足此条件的普通函数很多：普通函数很多：1117由于由于0t
11、时时0)(t和和1)(dtt则则ttttd)(0001)(上述单位冲激函数的定义，物理意义明确。上述单位冲激函数的定义，物理意义明确。（尽管数学上不十分严格）（尽管数学上不十分严格）注意：积分的含义上限为注意：积分的含义上限为 t。18单位冲激信号的单位冲激信号的积分积分是单位阶跃信号，是单位阶跃信号，反之反之单位阶跃信号的单位阶跃信号的导数导数是单位冲激信号。是单位冲激信号。即即 dtdtt()()从图形上形象化：从图形上形象化：1gt()1 01,19从数学上讲，引入从数学上讲，引入 函数，实质上就是定义函数，实质上就是定义了了间断点处的导数间断点处的导数。()t 今后，遇到含义跳变点的函
12、数，在需要今后，遇到含义跳变点的函数，在需要求导时，千万勿忘求导时，千万勿忘导函数导函数在间断点处会出现在间断点处会出现冲激，其强度为跳变的高度。冲激，其强度为跳变的高度。11-12f t()-1/2-11(1)(2)ft()203 复指数信号复指数信号0s时时1ste，为直流信号为直流信号时时tstee0为单调增长或衰减的实指数信号为单调增长或衰减的实指数信号0时时tjteetjstsincos实部为等幅余弦，虚部为等幅正弦信号实部为等幅余弦，虚部为等幅正弦信号为复数，称复频率。为复数，称复频率。f tesjst()思考思考:判定判定信号类型信号类型f t eetet ettettttttt
13、():,(),cos,sin(),cos()22222101010211-2 信号的运算信号的运算1-2-1 信号的相加与相乘信号的相加与相乘两个信号相加与相乘，将它们在同一瞬两个信号相加与相乘，将它们在同一瞬间的值相加或相乘。间的值相加或相乘。如如)(1tf)(tt20)(2tf)(tt102122)(1tf)(2tf)(tt101)(tt202t t23)(t)()(21tftf)(tt101 22)()(21tftft101)(t2422211000222000)(1010100)(21tttttttttttfttttf101000)()(222110100)()(2121tttttft
14、ftttttttftf25dttdf)()(tf或或可能出现冲激可能出现冲激1-2-2 信号的导数与积分信号的导数与积分信号的导数信号的导数 波形上是求信号各点随时间的波形上是求信号各点随时间的变化率，在不连续点处，变化率，在不连续点处，信号的积分信号的积分所包围的面积。与时间轴到任一瞬间波形上是求从)(,tft26)(tft101)(tf)(tt(1)0(1)(1tft101271-2-3 信号的时移与折叠信号的时移与折叠0t)(tf左移左移)(00ttfttt时移时移(左加右减左加右减)1)(tft012202111000)(ttttttf28t)1(tf01213t)1(tf01-111
15、2101021110111011010)1(ttttttttttf或或或或29)(tftt折叠折叠(沿纵轴）沿纵轴）t-2)(tf 0-111)(tft01230既折叠又时移既折叠又时移（先折叠后时移先折叠后时移）)(0ttf202111000)(ttttttf32102321111211011010)1(ttttttttttf或或或或1)(tft012)1()1(tftft0-1-2-31311-2-4 信号的尺度变换信号的尺度变换（信号缩放）（信号缩放）attatf)(关于纵轴对称吗？与思考：)1()1(tftf)1()1(tftf0-11t1)1()1(tftft0-1-2-31t-2)
16、(tf 0-1132t)2(tft01)(tft01211)(2tf0241t0t)1(2)22(tftf1)2(tf 0-11133 科学的每一分支都要建立一套自己的科学的每一分支都要建立一套自己的“模型模型”理论。在理论。在此模型基础上运用数学工具进行研究。系统分析中，同样此模型基础上运用数学工具进行研究。系统分析中，同样需要建立系统的模型。它可分为需要建立系统的模型。它可分为数学模型和框图模型。数学模型和框图模型。建模工作仅是进行系统分析的第一步。建模工作仅是进行系统分析的第一步。系统建模需要一定条件系统建模需要一定条件：对于同一物理系统，在不同条对于同一物理系统，在不同条件下，可得到不
17、同形式的近似的数学模型。从另一方面件下，可得到不同形式的近似的数学模型。从另一方面讲，对于不同物理系统，经过抽象和近似，有可能得到讲，对于不同物理系统，经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。即同一数学模型可以描述形式上完全相同的数学模型。即同一数学模型可以描述物理外貌截然不同的系统。物理外貌截然不同的系统。1-3 系统的数学模型及其分类系统的数学模型及其分类 所谓所谓模型模型：是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。341-3 系统的数学模型及其分类系统的数
18、学模型及其分类1-3-1 系统的基本概念系统的基本概念系统系统是由若干个互有关联的单元组成的具有某是由若干个互有关联的单元组成的具有某种功能的有机整体。如通信系统种功能的有机整体。如通信系统35 初始条件（初始条件（0）：系统原来的储能情况。即先前激系统原来的储能情况。即先前激励（或扰动）作用的后果。励（或扰动）作用的后果。为了求得给定激励条件下系统的响应，还应当知为了求得给定激励条件下系统的响应，还应当知道激励接入瞬时系统内部的道激励接入瞬时系统内部的能量储存能量储存情况。（即初始情况。（即初始条件、起始条件）条件、起始条件）起始条件起始条件（0）：系统激励接入瞬时系统的状态。系统激励接入瞬
19、时系统的状态。1-3-2 系统的数学模型系统的数学模型系统条件系统条件36 描述连续动态系统的数学模型是描述连续动态系统的数学模型是微分方程微分方程，描述离散，描述离散动态系统的数学模型是动态系统的数学模型是差分方程差分方程。图中图中RLC电路，以电路，以us(t)为激励，以为激励，以uc(t)为响应，为响应，由由KVL和和VAR列方程，并整理得：列方程，并整理得：系统的解析描述系统的解析描述建立数学模型建立数学模型)0(),0(22ccscccuuuudtduRCdtudLC+LRCUs(t)Uc(t)37 系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号 输入信号输入信
20、号输出信号输出信号激励激励响应响应 qn(to)是在输入x(t)作用于系统的初始时刻to，系统具有的一组初始状态。S既是系统的符号，又是表征该系统主要特性的某种运算，即输入x(t)通过系统的某种运算就得到输出y(t)y(t)=S x(t);qn(to)t t038 连续时间系统连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间：系统的输入和输出都是连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号。信号，且其内部也未转换为离散时间信号。如：如：RLC电路为连续时间系统。而数字计算机为一电路为连续时间系统。而数字计算机为一典型离散时间系统。典型离散时间系统。1-3-3 系统的分类系统的分类 离散时间系统离散时
21、间系统：系统的输入和输出都是离散时间：系统的输入和输出都是离散时间信号。信号。39 若系统的激励增加若系统的激励增加a倍时，系统的响应也增加倍时，系统的响应也增加a倍，倍，称该系统是齐次的，即称该系统是齐次的，即 Taf(.)=aTf(.)。系统)(f)(y满足满足线性性质的系统称为线性性质的系统称为线性系统线性系统。若系统对于多个激励之和的响应等于各个激励所若系统对于多个激励之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，称该系统是引起的响应之和，称该系统是可加的可加的，即，即 Tf(.)+g(.)=Tf(.)+Tg(.)。若系统既是若系统既是可加的可加的又是又是齐次的齐次的，则称系统是，则称系统是
22、线性的。线性的。40叠加性表示：叠加性表示：)()()()(),()(),()(21212211tytytxtxtytxtytx则若线性表示：线性表示：)()()()(),()(),()(221122112211tyktyktxktxktytxtytx则若若系统具有初始状态，在系统分析中，线性系若系统具有初始状态，在系统分析中，线性系统同时满足下列条件：统同时满足下列条件：(1)分解性分解性全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应齐次性表示：齐次性表示：)()(),()(tkytkxtytx则若41 动态系统不仅与激励动态系统不仅与激励f(.)有关，而且与系有关，而且与系统的初
23、始状态（内部激励）有关。统的初始状态（内部激励）有关。如何判断一个动态系统是否线性系统如何判断一个动态系统是否线性系统完全响应完全响应：)0(),()(xfTy零输入响应零输入响应：)0(,0)(xTy零状态响应零状态响应：0),()(fTyf42当动态系统满足下列三个条件时为线性系统当动态系统满足下列三个条件时为线性系统可分解性可分解性零状态线性零状态线性零输入线性零输入线性)0(,00),()()()(xTfTyyyxf0),(0),(0),()(2121fbTfaTtbftafT)0(,0)0(,0)0()0(,02121xbTxaTbxaxT43则：零输入为则：零输入为例：若例：若 ,
24、判定是否是线性判定是否是线性系统。系统。y tqxdt()()()300解解 满足（满足（1）可分解性；）可分解性；判定（判定（2）：令）：令x t()0y tq()()30，有，有当当 零输入为零输入为 q10()，有，有y tq1130()()当当 零输入为零输入为 q20()，有，有ytq2230()()k qk q112200()()，有，有44满足零输入线性；满足零输入线性；判定（判定（3）：令）：令y tkqkqk y tk yt()()()()()112211223030q()00，有，有y txdt()()0当输入为当输入为x t1()，有，有当当 输入为输入为 ，有，有xt2
25、()ytxdt110()()ytxdt220()()45k x tk xt1122()()，有，有则：输入为则：输入为y tk xdk xdk ytk yttt()()()()()1102201122满足零状态线性。所以，该系统是线性系统。满足零状态线性。所以，该系统是线性系统。46一般地，响应是激励和初始储能的标量乘、一般地，响应是激励和初始储能的标量乘、积分、微分，则系统是线性系统；积分、微分，则系统是线性系统；例：例：y tx t()()21y tex t()()该系统不满足（该系统不满足（2），故为非线性系统。），故为非线性系统。该系统不满足（该系统不满足（3），故为非线性系统。），故
26、为非线性系统。47例例：判断下列系统是否是线性系统，并说明理由：判断下列系统是否是线性系统，并说明理由)()0()()1(22txqty具有分解性，但不具零输入线性和零状态线性。具有分解性，但不具零输入线性和零状态线性。)(log)0(3)()2(txqty不具分解性不具分解性)(sin)0()()3(ttxtqty线性系统线性系统参阅p16 例1-3-1483 时不变（非时变）系统和时变系统时不变（非时变）系统和时变系统数学表示：数学表示：)()(),()(ddttyttxtytx则若时不变系统时不变系统：只要初始状态不变：只要初始状态不变,系统的输出仅系统的输出仅与输入有关与输入有关,与输
27、入信号的接入时间无关。该特与输入信号的接入时间无关。该特性为时不变特性。性为时不变特性。49)(dttx)(dtty0t0ttdtd0tt)(ty0)(tx50系统的线性与时不变性是两个互不相关的概念系统的线性与时不变性是两个互不相关的概念线性线性非线性非线性时变时变非时变非时变描述线性时不变连续系统的数学模型是描述线性时不变连续系统的数学模型是常系常系数线性微分方程数线性微分方程；描述线性时不变离散系统；描述线性时不变离散系统的数学模型是的数学模型是常系数线性差分方程常系数线性差分方程。(共有四种可能共有四种可能)51例例：判定系统的时变性：激励为：判定系统的时变性：激励为 响应为响应为 x
28、 t()y tt x t()()解解 当激励为当激励为x ttd()时，响应为时，响应为t x tty ttttx ttdddd()()()()所以，该系统是时变系统。所以，该系统是时变系统。52例例：下列系统是否是线性系统？非时变系统？：下列系统是否是线性系统？非时变系统？()()()1 y txdt()()()20y txdt解：解：(1)是线性系统是线性系统 (略略)(无零输入无零输入)当输入为当输入为x ttd()时，响应为时，响应为xtddt()令令td，则，则dd53td的变化范围为的变化范围为的变化范围为的变化范围为 t ttd所以，响应为所以，响应为xdy ttttdd()()
29、为为非时变非时变系统系统(2)有一点不一样：有一点不一样：td的变化范围为的变化范围为的变化范围为的变化范围为0 ttttdd所以，响应为所以，响应为xdy tttttddd()()为为时变时变系统。系统。54图形说明（这里取图形说明（这里取 ）td 1显然，是时变系统。显然，是时变系统。554 因果系统和非因果系统因果系统和非因果系统(物理不可实现的系统物理不可实现的系统)因果系统因果系统：响应不会超前于激励的系统。：响应不会超前于激励的系统。即：任何时刻的响应只取决于激励的现在与过即：任何时刻的响应只取决于激励的现在与过去值，而不取决于激励的将来值。去值，而不取决于激励的将来值。)1()1
30、()(txtxty如非因果系统则令)1()1()0(,0 xxyt56响应未出现于激励前，是因果系统响应未出现于激励前，是因果系统解：解：dxtyt1)()(1tdxty)()(例：例：判断系统是否为因果系统判断系统是否为因果系统实际系统都是因果系统，实际系统都是因果系统，非因果系统是理想系统。非因果系统是理想系统。571-4 系统的模拟系统的模拟系统模拟：不是对系统的仿制，而是数学意系统模拟：不是对系统的仿制，而是数学意 义上的等效。义上的等效。即：模拟系统与原系统具有相同的数学描述。即：模拟系统与原系统具有相同的数学描述。或者说，两系统的的输入输出关系一样。或者说，两系统的的输入输出关系一
31、样。581 加法器：加法器：)()()(21txtxty)(1tx)(2tx2 标量乘法器：标量乘法器：)(tx)()(txatya3 积分器：积分器：)(txttdxty0)()()(txttdxtyty0)()()(0)(0ty1-4-1 基本运算器基本运算器591-4-2 连续系统的模拟图连续系统的模拟图根据微分方程绘模拟图根据微分方程绘模拟图 一阶系统的数学模型为一阶系统的数学模型为)()()(0txtyaty改写为改写为)()()(0tyatxty)(tx0a)(ty)(ty60二阶系统的数学模型为二阶系统的数学模型为)()()()(01txtyatyaty改写为改写为)()()()
32、(01tyatyatxty1a0a)(tx)(ty)(ty)(ty61构造系统模拟图的规则构造系统模拟图的规则(1)把微分方程输出函数的最高阶导数项保留把微分方程输出函数的最高阶导数项保留在等式左边，其他项移到右边；在等式左边，其他项移到右边；(2)将最高阶导数作为第一个积分器的输入，将最高阶导数作为第一个积分器的输入，其输出作为第二个积分器的输入，以后每经其输出作为第二个积分器的输入，以后每经过一个积分器，输出函数的导数项就降低一过一个积分器，输出函数的导数项就降低一阶，直到获得输出函数为止；阶，直到获得输出函数为止；62(3)把各个阶数降低了的导数及输出函数分别通把各个阶数降低了的导数及输
33、出函数分别通过各自的标量乘法器，一起送到第一个积分器过各自的标量乘法器，一起送到第一个积分器前的加法器与输入函数相加，加法器的输出就前的加法器与输入函数相加，加法器的输出就是最高阶导数。是最高阶导数。63n阶系统阶系统)()()()()(01)1(1)(txtyatyatyatynnn)()()()()(01)1(1)(tyatyatyatxtynnn1na)(tx)()(tyn)()1(tyn)(ty1a0a64如果方程中还包含如果方程中还包含 的各阶导数，如的各阶导数，如x)()()()()(0101txbtxbtyatyaty则引入辅助函数，使则引入辅助函数，使xqaqaq01代入原方程
34、代入原方程)()()()()(01001101qaqaqbqaqaqbtyatyaty01001101qbqbaqbqbaqbqbqbqby01由此可见由此可见651a0a)(txq q)(ty0b1bqxqaqaq01qbqby01分点分点、和点和点的概念的概念66例：试画出下列系统的摸拟图例：试画出下列系统的摸拟图)(10)()(3)(10)(4)()3(txtxtytytyty解：设解：设xqqqq3104)3(qqqxq3104)3(即即)3(q43)(txq q10q67)3(q43)(txq q10q)(ty10则则qqy1068例：已知模拟图如下，试列写描述系统输入输例：已知模拟图如下，试列写描述系统输入输出关系的微分方程。出关系的微分方程。)3(qqq q3)(tx)(ty32解：设辅助函数如图解：设辅助函数如图qqqyqqxq32,3)3()(3)()(2)()(3)()3(txtxtxtytyty69
