1、主要内容三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率频域分析从本章开始由时域转入变换域分析。从本章开始由时域转入变换域分析。傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换是在傅里叶级数傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开正交函数展开的基础上发展的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解（分解为三角函数或复指数析）。将信号进行正交分解（分解为三角
2、函数或复指数函数的组合）。函数的组合）。频域分析将时间变量变换成频率变量频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的密切关系，从而导出了信号的频谱频谱、带宽带宽以及以及滤波滤波、调调制制和和频分复用频分复用等重要概念。等重要概念。主要内容从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质
3、的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。傅里叶变换的一种特殊表达形式。最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。一三角函数形式的傅里叶级数11cos,sinntnt是一个是一个完备完备的的正交正交函数集函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,.2112cossin0TTntmt2112,coscos20
4、,TTTmnntmtmn2112,sinsin20,TTTmnntmtmn由积分可知由积分可知1.三角函数集 1112 ,f tTT周期信号周期为基波角频率为在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成 0111()cossin 1nnnf taantbnt直流分量直流分量0001()dtTtaf ttT余弦分量的幅度余弦分量的幅度0012()cosdtTntaf tnttT正弦分量的幅度正弦分量的幅度0012()sindtTntbf tnttT称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式狄利克雷（Dirichlet）条件条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可
5、积在一周期内，信号绝对可积;条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；限个；条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。数目应是有限个。|()|Tf tdt 例1不满足条件不满足条件1 1的例子如下图所示，这个信号的周期为的例子如下图所示，这个信号的周期为2 2，它，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2 2，但不连续，但不连续点的
6、数目是无穷多个。点的数目是无穷多个。()f t202例2不满足条件不满足条件2 2的一个函数是的一个函数是 2sin,01f ttt tf011 t1对此函数，其周期为对此函数，其周期为1 1，有，有 101f t dt 例3周期信号周期信号 ，周期为周期为1 1，不满足此条件。，不满足此条件。1,01f ttt tf0121 2 t1在一周期内，信号是在一周期内，信号是绝对可积的绝对可积的(T1为周期为周期)1dTf ttT 010()dtTtf tt 1j11ddntnTTFf t etf ttTT说明与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn
7、都都是有限值，因为是有限值，因为nF 例4求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。11201121d0TTAattTT11211122cosd0TTnAatnttTT11211122sindTTnAbtnt tTT1(1)1,2,3 nAnn周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 110sinsin22AAf ttt111()/2/2Af ttTtTT 直流直流基波基波谐波谐波t tfA A21T21T 112T 其他形式00ca22nnncab1tgnnnbacosnnnacsinnnnbc 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式0
8、0da1tgnnnbasinnnnadcosnnnbd 110sin)(nnntnddtf 22nnndab 2 cos)(110 nnntncctf 关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图关系曲线称为相位频谱图可画出可画出频谱图频谱图周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性离散性，谐波性，收敛性 ncn幅度频率特性和相位频率特性11:n周期信号可分解为直流，基波（）和各次谐波（基波角频率的整数倍）的线性组合二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集1j 0,1,2nten 2 2级数形式级数形式3 3系数系数11111j01jj
9、0()d()dTntTntntf tetF neet 1j1()()4ntnf tF ne 11j01()d 5Tntf t etT利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性nF 也可写为也可写为说明 变换对。变换对。式是一对式是一对、唯一确定，唯一确定，则，则如给出如给出)5()4()(1tfnF 的的线线性性组组合合。区区间间上上的的指指数数信信号号周周期期信信号号可可分分解解为为tne1j,1j1()()4ntnf tF ne 11j101()d 5TntF nf tetT傅立叶级数反变换傅立叶级数反变换（4）傅立叶级数正变换傅立叶级数正变换（5）三两种系数之间的关系及频谱图1j101
10、()()dTntF nf t etT110011()cosdj()sindTTf tnt tf tnt tTT12nnajb1110011()()cosdj()sindTTFnf tnt tf tnt tTT1j2nnab nenFnF j11)(是是复复数数)(),(11 nFnF 22111()22nnnF nabc相频特性相频特性1tgnnnba幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性 的的奇奇函函数数关关于于的的偶偶函函数数关关于于取取正正值值）的的奇奇函函数数（实实际际关关于于取取正正值值）的的偶偶函函数数（实实际际关关于于 )(11nnFnbnann1 13 nc0c1c3cO1 13
11、n O 频谱图（单边谱）幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线ncn曲线请画出其幅度谱和相位谱。请画出其幅度谱和相位谱。例501c 00152.236c 10.15 21c 20.25化为余弦形式化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图111()1 sin2coscos 24f tttt 已知，11()15cos(0.15)cos 24f ttt 三角形式的傅里叶级数的谱系数三角形式的傅里叶级数的谱系数 1 1c0c2c12 024.211nc12 25.0 15.0 01 n 化为指数形式 4j24j2jjjj1111112122211)(tnttttteeee
12、eejtf1111jjjjj2j2441111()1112 j2 j22ttttf teeeeee 12j12()ntnF ne(0)1F0.151111.122jFej0.151111.122jFej41122jFe41122jFe整理整理指数形式的傅里叶级数的系数指数形式的傅里叶级数的系数谱线0(0)1FF11()1.12FF11()1.12FF21(2)0.5FF21(2)0.5FF0010.15 10.1520.2520.25 指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 5.001 1 12.112 12.15.01 1 nF12 25.0 15.0 01 1 15.012 25.0 n 三
13、角形式与指数形式的频谱图对比1 1c0c2c12 024.211nc12 5.001 1 12.112 12.15.01 1 nF12 25.0 15.0 01 1 15.012 25.0 n 三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 25.0 15.0 01 n 四总结（1）周期信号周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系两种频谱图的关系（4）引入负频率引入负频率(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有 两种形式0111()cossinnnnf ta
14、antbnt011cos()nnnccnt三角形式三角形式指数形式指数形式1j1()()ntnf tF ne10001()02nF ncnFca(2)两种频谱图的关系11 ()()nn 相位频谱为奇函数nnc三角函数形式：，单边频谱单边频谱nnF指数函数形式：，双边频谱双边频谱关系关系11 ()()F nFn指数形式的幅度谱为偶函数(3)三个性质11,()()F n)nF nnf tf t收敛性：谐波性：（离散性），频率只出现在处唯一性：的谱线唯一与()一一对应(4)引入负频率 的的实实函函数数的的性性质质不不变变。，才才能能保保证证和和数数，必必须须有有共共轭轭对对是是实实函函数数，分分解解
15、成成虚虚指指)(11jjtfeetfnn 注意：注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性冲激函数序列的频谱不满足收敛性五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量1偶函数为为实实函函数数。项项。项项，只只含含直直流流项项和和余余弦弦傅傅里里叶叶级级数数中中不不含含正正弦弦)(1 nF信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf )(tfOtTET 0nb 2104()cosd0Tnaf tnttT111()22nnnnFF najba0n2奇函数)()(tftf 对对称称的的：波波形形相相对对于于纵纵坐
16、坐标标是是反反)(tfOtTT 11 为为虚虚函函数数。量量，傅傅里里叶叶级级数数中中无无余余弦弦分分)(1 nF2021()d =0 TTaf ttT2122()cosd0TnTaf tnttT102()sindTnbf tnttT111()22nnnnFF najbjb 2104()sind0Tf tnttT0nnab3奇谐函数2104()cosdTnaf tnttT2104()sindTnbf tnttTf(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即n=2,4,6,时时,n=1,3,5,时时,)(tfOtTT 2T()2Tf tft 若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平
17、移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：00a 12Tf tft112T4偶谐函数121014()sindTnbf tnt tT0nnab121014()cosdTnaf tnttTn=2,4,6,时时,n=1,3,5,时时,f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量)(tfOt1T1T 21T21T 称为偶谐函数。称为偶谐函数。与原波形重合，与原波形重合，波形移动波形移动21T 六周期信号的功率这是这是帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现在傅里叶级数情况下的具体体现;表明：表明：周期信号平均功率周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；量有效值的平方和；也就是说，也就是说，时域和频域的能量是守恒时域和频域的能量是守恒的的.绘成的线状图形，表示绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为率随频率分布的情况，称为功率谱系数功率谱系数。2nF222201nnnnncabF201()dTPfttT功率信号功率信号 能量信号能量信号
