1、第五章第五章 傅里叶变换应用于傅里叶变换应用于通信系统通信系统滤波、调制滤波、调制与抽样与抽样本章主要内容本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面中的几个主要方面滤波、调制和抽样滤波、调制和抽样。系统函数系统函数H(j)及傅里叶变换分析法；及傅里叶变换分析法；包括无失真传输条件；包括无失真传输条件；理想低通滤波器模型；理想低通滤波器模型；系统的物理可实现条件；系统的物理可实现条件；调制解调的原理与实现；调制解调的原理与实现；带通系统的运用；带通系统的运用；抽样信号的传输与恢复。抽样信号的传输与恢复。则根据卷积定理有则根据卷积定理有 te
2、tr E R th H)(j)(j)(j HER )(j)(j)(j ERH 所所以以傅里叶变换形式的系统函数设设),()(Ete若若)(j E或或),()(Rtr)(j R或或),()(Hth)(j H或或对于稳定系统对于稳定系统 jj ssHH)(je)(j)(j HH)()()(tethtr 频率响应特性 de)()(j0 th de)(e00jj httH0j0e)(j ：系统的幅频特性：系统的幅频特性 )(jH )(：相频特性：相频特性 ,e)(0jtte 设激励为设激励为 则系统的零状态响应为则系统的零状态响应为)(te等于激励等于激励)(j0 H乘以加权函数乘以加权函数系统函数的
3、物理意义系统可以看作是一个信号处理器系统可以看作是一个信号处理器激励激励：E(j)响应：响应：H(j)E(j)(jee)(j)(j EE)(jhe)(j)(j HH)(j)(j)(j HER )()()(her 加加权权由由的的幅幅度度)()(HE 修正修正由由的相位的相位 E对于不同的频率对于不同的频率，有不同的加权作用，这也是信，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。号分解，求响应再叠加的过程。对信号各频率对信号各频率分量进行加权分量进行加权5.2 5.2 利用系统函数利用系统函数求响应求响应系统的频响特性与系统的频响特性与H(s)的关系的关系正弦信号激励下的稳态响应正弦信
4、号激励下的稳态响应非周期信号激励下系统的响应非周期信号激励下系统的响应一系统的频响特性与H(s)的关系 在虚轴上有极点不同。当极点：在虚轴上及右半平面无当)s(HsHjHth)s(Hjs F F ti tvC )()(thtvt即即时，求出时，求出当输入为当输入为 ttuCttiCtvth)(1d)(1)()(sCthsH1)()(L L例：例：CjsHjHjs 1)()(利用利用H(sH(s)求稳态响应，则有求稳态响应，则有 j11)()(jCthHF F二正弦信号激励下系统的稳态响应 理理效效果果。代代表表了了系系统统对对信信号号的的处处。加加权权，相相移移频频率率的的信信号号，幅幅度度由
5、由与与激激励励同同作作为为激激励励的的稳稳态态响响应应为为正正弦弦信信号号 jjsin000HHt )(tsin)j(H000 ，系系统统的的频频率率响响应应为为设设激激励励信信号号为为)(j0e)()(sin HHt 则系统的则系统的稳态响应稳态响应为为正弦信号激励下系统的稳态响应 )(j0)(j00200e)(e)(j)j()j(HV所以所以解：解：)()(j)j(001 V)j()j()j(12 VHV )()(je)(j00)(j H利用频移特性利用频移特性)(2e0j0 t)(2e0j0 t )(jj)(jj020000eeeej)j(21)(ttHtv所以所以 )(sin)j(00
6、0 tH)(e)(j)(j :,sin)(2)(j01tvHHttv求求稳稳态态响响应应，若若设设激激励励信信号号 偶函数偶函数奇函数奇函数例5-2-1211)(j H arctan)()632sin(51 t :3sint)723sin(101 t解：解：)45sin(21 t?3sin,2sin,sin j11j输输出出为为多多少少时时的的当当输输入入分分别别为为若若tttH :sint :2sint三非周期信号的响应傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理异，系统对信号的加权作用改变了信号
7、的频谱，物理概念清楚。概念清楚。用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易。用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易。引出引出H(j)重要意义在于研究信号传输的基本特性，重要意义在于研究信号传输的基本特性，建立滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义，建立滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义，这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义具有十分重要的指导意义。例5-2-2 )(1tv)(2tvRC11 22 00 Cv 。端端电电压压利利用用傅傅里里叶叶分分析析方方法法求求，加加入入矩矩形形脉脉冲冲电电路路，在
8、在输输入入端端下下图图所所示示tvtvRC212211 EOt)(1tv分析：分析：j j jjj ssHtethHEHRF F jRtr-1F F 解:RCsRCsCRsCsH1111 jj H 1的傅里叶变换式为的傅里叶变换式为激励信号激励信号tv j2j1e1je2Saj EEV 的傅式变换的傅式变换响应响应tv2 2j22j12eje2SajjjjVEVHV j1sRC令令求v2(t)j2e1jjj Ev je1j1j1 E jje1je1j EE tutuEtutuEtvttee 2所以所以 tuEtuEtte1e1波形及频谱图波形及频谱图波形及频谱图 )(1tv)(2tvRC11
9、22 EOt)(1tvO jHO j1V EO j2V122 EOt)(2tv说明；功功率率带带宽宽为为系系统统具具有有低低通通特特性性，半半 形形变变圆圆滑滑。数数规规律律上上升升和和下下降降，波波成成分分。经经低低通通后后，以以指指急急剧剧下下降降，蕴蕴含含着着高高频频急急剧剧上上升升，输输入入信信号号在在 0 tt降降时时间间就就要要缩缩短短。上上升升，下下分分量量通通过过，响响应应波波形形的的增增加加，允允许许更更高高的的频频率率，即即带带宽宽称称为为时时间间常常数数，RCRCRC1思考题：思考题：当输入信号为周期矩形脉冲信号时，输出如何当输入信号为周期矩形脉冲信号时，输出如何?略略。
10、和和输入和输出标记为输入和输出标记为为描述方便，将原来的为描述方便，将原来的)()(2010tvtv ttvvT101*TnVVn2jj111101 jjj12HVV nnHV1110jj nnV1120j ttvtvT202*波形及频谱图波形及频谱图输入为周期矩形脉冲时的输出 )(1tv)(2tvRC11 22 EOt)(1tvTT EOt)(2tvTT O jHO j1VTE O j2V122 总结系统可以看作是一个信号处理器：系统可以看作是一个信号处理器：，是一个加权函数，是一个加权函数，jH加权。加权。对信号各频率分量进行对信号各频率分量进行 )(j 加权，加权，信号的幅度由信号的幅度
11、由 H 修正。修正。信号的相位由信号的相位由 对于不同的频率对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。号分解，求响应再叠加的过程。失真失真无失真传输条件无失真传输条件利用利用失真失真波形形成波形形成一失真 线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成幅度失真：幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；各频率分量幅度产生不同程度的衰减；相位失真：相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。使响应的各频率分量在时间轴上
12、的相对位置产生变化。信号经系统传输，要受到系统函数信号经系统传输，要受到系统函数 的加权，输出的加权，输出波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。jH线性系统的失真线性系统的失真幅度，相位变化，不产生新的频幅度，相位变化，不产生新的频率成分；率成分；非线性系统产生非线性失真非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分。产生新的频率成分。对系统的不同用途有不同的要求：对系统的不同用途有不同的要求：无失真传输；无失真传输；利用失真利用失真波形变换。波形变换。二无失真传输条件幅度可以比例增加幅度可以比例增加可以有时移可以有时移波形形状不变波形形状不变h(t
13、)te tr trot0t teot)j()j()j(HER 因为因为)()(0ttKetr 因为因为0je)j()j(tKER 所以所以0je)j()j()j(tKERH 所所以以),j()(Hth已已知知系系统统 te 若若激激励励为为 tr 响响应应为为)tt(Ke)t(r0 无失真传输的条件：0)j(:tKH 即即频谱图几点认识：几点认识：要求要求幅度幅度为与频率无关的为与频率无关的常数常数K，系统的通频带为系统的通频带为无限宽。无限宽。相位特性与相位特性与 成正比成正比，是一条，是一条过原点过原点的的负斜率负斜率直线。直线。不失真的线性系统其冲激响应也是不失真的线性系统其冲激响应也是
14、冲激函数冲激函数。O jH KO 0t 相位特性为什么与频率成正比关系？thttKKHt 0j0e)j(只有只有相位相位与频率与频率成正比成正比，方能保证各谐波有相同的，方能保证各谐波有相同的延延迟时间迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。延迟时间延迟时间t0 是相位特性的斜率：是相位特性的斜率：0ddt 群时延群时延或称群延时或称群延时 dd 在满足信号传输不产生相位失真的情在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。况下，系统的群时延特性应为常数。例 信号传输后失真信号传输后失真此系统不满足此系统不满足0ddt tsintOtOt 2
15、sintOtt2sinsin 2sin ttOtO 32sin ttO 32sin2sin tt输入输入输出输出三利用失真波形形成 t 1j E jH tr jjHR 总结系统的无失真传输条件系统的无失真传输条件)()(:0ttKth 时域时域0je)j(:tKH 频域频域0)(,)j(tKH 即即均为实常数均为实常数和和0tK理想低通的频率特性理想低通的频率特性理想低通的冲激响应理想低通的冲激响应理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应理想低通对矩形脉冲的响应理想低通对矩形脉冲的响应 ccj 0e1j0 tH一理想低通的频率特性c c O)(j H1 的低频段内，传输信号无失真的低频段内，传输信
16、号无失真()。c0 在在0 t只有时移只有时移 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。称频带。c 0t 即即 cc01j HO c c )(j)(Hth因为因为 d)(jH)(jH)t(htje21 1F F所以 cc0cc0j0)(jej121de121 tttttt二理想低通的冲激响应 cctt dee121jj0 0c0cjj0eej2111tttttt 0c0ccsintttt 0ccSatt )(tht0tc c 0ccSattth 波形t 1 t 由对称性可以从矩形脉由对称性可以从矩形脉冲的傅氏变换式得到同冲的傅氏变换式得到同
17、样的结果。样的结果。1 1比较输入输出，可见严重失真；比较输入输出，可见严重失真；2 2理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统几点认识 当当 经过理想低通时，经过理想低通时，以上的频率成分都衰以上的频率成分都衰 减为减为0，所以失真。，所以失真。t c 信号频带无限宽信号频带无限宽，1t 而理想低通的通频带而理想低通的通频带(系统频带系统频带)有限的有限的 c0 系统为全通网络，可以系统为全通网络，可以 无失真传输无失真传输。时，时，当当 c)()(tth 原因：从原因：从h(t)看，看，t0时已有值。时已有值。ccj 0e1j)(0 tHth 0
18、jej1 tR 所以所以)(cc c0ee1211 cdj)()(R)t(rtjtjF F三理想低通的阶跃响应 dje21de21cc0cc0jj tttt激励激励 j1)()(t=ute系统系统响应响应)()()(thtutr dje21de21cc0cc0jj tttt dsin21dcos2121cc00 ccttjtt 0ttx 令令 xxxttdsin1210c0 dsin2221c00 ttxxsinx1O234 ySiyO22 1.下限为下限为0；2.奇偶性：奇函数。奇偶性：奇函数。正弦积分 yxxxy0dsin=)Si(3.最大值出现在最大值出现在 最小值出现在最小值出现在 x
19、 x 0cSi121tttr 阶跃响应波形tO tu1 trtO210trtc c 2阶跃响应的上升时间阶跃响应的上升时间tr 与系统的截止频率与系统的截止频率B（带宽）（带宽）成反比成反比 。1r tBBt12cr cc2fB B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。几点认识1 1上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，：r t记记作作ct 0 最大值位置：最大值位置：ct 0 最小值位置：最小值位置：0为系统延迟时间为系统延迟时间t1 trtO210trtc c)()()(1 tutute
20、因为因为四理想低通对矩形脉冲的响应四理想低通对矩形脉冲的响应 )(Si )(Si1)(0c0c1 tttttr所以所以t te1O tr1t0t 0t20 tO121吉布斯现象吉布斯现象 ：跳变点有跳变点有9%的上冲。的上冲。改变其他的改变其他的“窗函数窗函数”有可能消除上冲。有可能消除上冲。（例如：升余弦类型）（例如：升余弦类型）21 1 时，才有如图示，近似矩形脉冲的响时，才有如图示，近似矩形脉冲的响 cr2t应。如果应。如果 过窄或过窄或 过小，则响应波形上升与下降时过小，则响应波形上升与下降时间连在一起完全失去了激励信号的脉冲形象。间连在一起完全失去了激励信号的脉冲形象。c 讨论8514.1)(Siy点，点，在在0895.18514.121)(tr
