1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列引 论 微积分思路预备知识 初等数学小结第一章第一章 函数与极限函数与极限第二章第二章 导数与微分导数与微分第三章第三章 导数的应用导数的应用第四章第四章 不定积分不定积分第五章第五章 定积分定积分附 录 二元微分学习题答案目录4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等
2、数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质基本初等函数共有六大类：1.常量函数y=c(c为常数)2.幂函数y=x(为常数)3.指数函数y=ax(a0,a1)4.对数函数y=logax(a0,a1)5.三角函数6.反三角函数4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质定义定义1.11.1若函数是由基本初等函数经过有限次若函数是由基
3、本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合运算构成的的四则运算与有限次的复合运算构成的，且用且用一个数学表达式表示一个数学表达式表示，则称这样的函数为初等则称这样的函数为初等函数函数。定义定义1.21.2已知函数定义域被分成有限个区间已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样式不完全一样,则称这样的函数为分段函数则称这样的函数为分段函数。4251 10011
4、 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质1.奇偶性定义定义1.31.3已知函数已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为D D，对于任对于任意点意点xDxD，若恒有若恒有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，则称函数则称函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数；若恒有若恒有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)，则称函数则称函数f(x)f(x)为偶函数为偶函数。4251 10011 0010
5、 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质2.有界性定义定义1.41.4已知函数已知函数f(x)f(x)在区间在区间I(I(可以是开区间可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间也可以是闭区间或半开区间)上有定义上有定义,若存在若存在一个常数一个常数M0,M0,使得对于所有点使得对于所有点xIxI,恒有恒有|f(x)|M,|f(x)|M,则称函数则称函数f(x)f(x)在区间在区间I I上有界上有界;否则否则称函数
6、称函数f(x)f(x)在区间在区间I I上无界上无界.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质3.单调性定义定义1.51.5已知函数已知函数f(x)f(x)在开区间在开区间J J内有定义内有定义,对对于开区间于开区间J J内的任意两点内的任意两点x x1 1,x,x2 2,当当x x2 2xx1 1时时,若恒若恒有有f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),则称函数则称函数
7、f(x)f(x)在开区间在开区间J J内单调内单调增加增加,开区间开区间J J为函数为函数f(x)f(x)的单调增加区间的单调增加区间;若恒若恒有有f(xf(x2 2)f(x)f(x),)f(x),则称函数值则称函数值f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)的的极大值极大值,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的极大值点的极大值点;若恒有若恒有f(xf(x0 0)f(x),)f(x),则称函数值则称函数值f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)的极的极小值小值,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的极小值点的极小值点.4251 10011 0010 1010 1
8、101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质5.最值定义定义1.71.7已知函数已知函数f(x)f(x)在区间在区间I(I(可以是开区间可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间也可以是闭区间或半开区间)上有定义上有定义,且点且点x x0 0I.I.对于任意点对于任意点xIxI,若恒有若恒有f(xf(x0 0)f(x),)f(x),则则称函数值称函数值f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)在区间在区间I I上的最大值上的
9、最大值,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)在区间在区间I I上的最大值点上的最大值点;若恒有若恒有f(xf(x0 0)f(x),)f(x),则称函数值则称函数值f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)在区在区间间I I上的最小值上的最小值,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)在区间在区间I I上的最上的最小值点小值点.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函
10、数关系式1.几何方面函数关系式(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即S=xu特别地,正方形面积S等于边长x的平方,即S=x2(2)长方体体积V等于底面积(矩形面积)S与高h的积,即V=Sh(3)圆柱体体积V等于底面积(圆面积)r2(r为底半径)与高h的积,即V=r2h侧面积(相当于矩形面积)S等于底周长2r与高h的积,即S=2rh4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式1.几
11、何方面函数关系式例1欲围一块面积为216 m2的矩形场地,矩形场地东西方向长xm、南北方向宽um,沿矩形场地四周建造高度相同的围墙,并在正中间南北方向建造同样高度的一堵墙,把矩形场地隔成两块,试将墙的总长度Lm表示为矩形场地长xm的函数.解:已设矩形场地长为xm、宽为um,如图11.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式1.几何方面函数关系式4251 10011 0010
12、1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式1.几何方面函数关系式例3欲做一个容积为V0的圆柱形封闭罐头盒,试将圆柱形封闭罐头盒表面积S表示为底半径r的函数.解:已设圆柱形封闭罐头盒底半径为r,再设高为h,如图13.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基
13、础特色教材系列第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式2.经济方面函数关系式(1)在生产过程中,产品的总成本C为产量x的单调增加函数,记作C=C(x)C=C(x)=C0+C1(x)(3)产品全部销售后总收益R等于产量x与销售价格p的积.R=R(x)=xp(x)(4)产品全部销售后获得的总利润L等于总收益R减去总成本C,即L=L(x)=R(x)-C(x)(5)需求量Q为销售价格p的函数,这个函数称为需求函数,记作Q=Q(p)4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学
14、基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式2.经济方面函数关系式4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.3 极限的概念与基本运算法则4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章
15、 函数与极限1.3 极限的概念与基本运算法则4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.3 极限的概念与基本运算法则4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.3 极限的概念与基本运算法则推论1如果有限个变量u1,u2,
16、um的极限都存在,则极限lim(u1+u2+um)=limu1+limu2+limum推论2如果有限个变量u1,u2,um的极限都存在,则极限limu1u2um=limu1limu2limum推论3如果极限limv存在,k为常数,则极限limkv=klimv 若分段函数在分界点左右的数学表达式一样,则直接计算其极限;若分段函数在分界点左右的数学表达式不一样,则应分别计算其左极限与右极限,只有左极限与右极限都存在且相等,极限才存在.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基
17、础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.4 无穷大量与无穷小量定义1.11若变量y的绝对值在变化过程中无限增大,则称变量y为无穷大量,记作limy=或y性质1正无穷大量与正无穷大量的和仍为正无穷大量,负无穷大量与负无穷大量的和仍为负无穷大量;性质2无穷大量与无穷大量的积仍为无穷大量.定义1.12若极限limy=0,则称变量y为无穷小量.性质1无穷小量与无穷小量的和、差、积仍为无穷小量;性质2无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规
18、划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.4 无穷大量与无穷小量定理1.4变量y的极限为A等价于变量y-A为无穷小量.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.5 未定式极限4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职
19、高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.5 未定式极限4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.5 未定式极限4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.5 未定式极限4251 10011 0010 1010
20、 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.6 两个重要极限4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.6 两个重要极限4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级
21、规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.6 两个重要极限4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.6 两个重要极限4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.6 两
22、个重要极限4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第一章 函数与极限1.7 函数的连续性性质1如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则函数f(x)在闭区间a,b上有界,存在最大值与最小值;性质2如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,且函数值f(a)与f(b)异号,则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得f()=0(a0,a1)y=axlna特别地,若a=e,则得到指数函数y=ex的导数y=ex例5(2x)=2xln24251
23、 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.3 导数的基本公式例6求函数y=xe-ex+ee的导数.解:注意到函数y的表达式中第3项ee为常数项,其导数等于零,所以导数y=exe-1-ex+0=exe-1-ex例7求函数y=x2ex的导数.解:y=(x2)ex+x2(ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育
24、“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.3 导数的基本公式(2)y=cosxy=-sinx(3)y=tanxy=sec2x(4)y=cotxy=-csc2x4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.3 导数的基本公式例13求函数y=exsinx的导数.解:y=(ex)sinx+ex(sinx)=exsinx+exco
25、sx=ex(sinx+cosx)例15求函数y=tanx+cotx的导数.解:y=sec2x-csc2x4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.3 导数的基本公式4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.4 复合函
26、数导数运算法则复合函数导数运算法则如果函数u=u(x)在点x处可导,函数y=f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f(u(x)在点x处可导,且导数y=f(u(x)u(x)在求复合函数y的导数时,首先如1.1那样引进中间变量u,将复合函数y分解为基本初等函数y=f(u)与函数u=u(x),然后根据复合函数导数运算法则计算导数y,其步骤如下:步骤1计算导数f(u)的表达式,并表示为自变量x的函数,得到f(u(x).在这个过程中,并不急于计算导数u(x)的表达式,仅在导数y的表达式中将因式u(x)乘在因式f(u(x)的后面;步骤2计算导数u(x)的表达式:若函数u(x)为基本初等函数或简单函数,则
27、立即求出导数u(x)的表达式,因而得到导数y的表达式;若函数u(x)仍为复合函数,则继续分解复合函数u=u(x),并重复上述步骤,直至最终得到导数y的表达式.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.4 复合函数导数运算法则例1求函数y=(3x+2)10的导数.解:将复合函数y=(3x+2)10分解为y=u10与u=3x+2根据复合函数导数运算法则,得到复合函数y对自变量x的导数y=(u10)u(3x+2
28、)=10u9(3x+2)=10(3x+2)9(3x+2)=30(3x+2)9y=10(3x+2)9(3x+2)=30(3x+2)94251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.4 复合函数导数运算法则4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列
29、第二章 导数与微分2.4 复合函数导数运算法则4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.4 复合函数导数运算法则4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.5 隐函数的导数4251 10011 0010 1010 11
30、01 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.5 隐函数的导数4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.5 隐函数的导数4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教
31、材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.6 高阶导数4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.6 高阶导数4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.6 高阶导数函数在属
32、于定义域的点x0处的二阶导数值为二阶导数的表达式中自变量x用数x0代入所得到的数值.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.6 高阶导数4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.7 微分4251 10011 001
33、0 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.7 微分4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.7 微分4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划
34、教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.7 微分定理2.5如果函数y=f(u)可微,函数u=u(x)也可微,则函数y的微分表达式同样具有下面的形式dy=f(u)du这个结论称为微分形式不变性,它是不定积分换元积分法则的理论基础.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第二章 导数与微分2.7 微分定理2.5如果函数y=f(u)可微,函数u=u(x)也可微,则函数y的微分表达式
35、同样具有下面的形式dy=f(u)du这个结论称为微分形式不变性,它是不定积分换元积分法则的理论基础.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.1 洛必达法则4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.1 洛必达法则42
36、51 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.1 洛必达法则4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.2 函数曲线的切线求函数曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)处切线方程的步骤如下:步骤1计算一阶导数f(x),再在一阶导
37、数f(x)的表达式中,自变量x用切点横坐标x0代入,得到函数f(x)在切点横坐标x0处的一阶导数值f(x0);步骤2若一阶导数值f(x0)为有限值,则所求切线斜率为f(x0),所求切线方程的点斜式为y-y0=f(x0)(x-x0)当一阶导数值f(x0)=0时,所求切线方程为y=y0;若一阶导数值f(x0)=,则所求切线方程为x=x0.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.2 函数曲线的切线例2求函数曲
38、线y=e2x+x2上点(0,1)处的切线方程.解:计算一阶导数y=e2x(2x)+2x=2e2x+2x于是所求切线斜率为y|x=0=2所以所求切线方程为y-1=2(x-0)即有2x-y+1=04251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.2 函数曲线的切线4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专
39、高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值定理3.1已知函数f(x)在开区间J内可导,那么:(1)如果在开区间J内一阶导数f(x)恒为正,则开区间J为可导函数f(x)的单调增加区间;(2)如果在开区间J内一阶导数f(x)恒为负,则开区间J为可导函数f(x)的单调减少区间.推论如果在开区间J内一阶导数f(x)恒非负(或恒非正),且使得一阶导数f(x)=0的点x只是一些孤立的点,则开区间J为可导函数f(x)的单调增加区间(或单调减少区间).定义3.1若可导函数f(x)在点x0处的一阶导数值f(x0)=0,则称点x0为可导函数f(x)的驻点
40、.对于可导函数,极值点一定为驻点,但驻点不一定为极值点,驻点是否为极值点与一阶导数在其左右变号不变号有着紧密的联系.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值定理3.2已知点x0为可导函数f(x)的驻点,当点x从驻点x0的左方变化到右方时,那么:(1)如果一阶导数f(x)变号,且从正号(或负号)变化到负号(或正号),则驻点x0为可导函数f(x)的极大值点(或极小值点);(2)如果一
41、阶导数f(x)不变号,则驻点x0不为可导函数f(x)的极值点.求可导函数f(x)的单调区间与极值的步骤如下:步骤1确定可导函数f(x)的定义域D;步骤2计算一阶导数f(x);步骤3在定义域D内,若一阶导数f(x)恒非负(或恒非正),则可导函数f(x)的单调增加区间(或单调减少区间)为定义域D,这时当然无极值.否则令一阶导数f(x)=0,求出可导函数f(x)的全部驻点,并转入步骤4;步骤4可导函数f(x)的全部驻点将定义域D分成几个开区间,列表判断在这几个开区间内一阶导数f(x)的正负号,于是确定可导函数f(x)的单调区间、极值点,计算极值点处的函数值即为极值.单调增加用记号 表示,单调减少用记
42、号 表示.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值列表如表32:x(0,e)e(e,+)f(x)+0-f(x)4251 10
43、011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值例5求函数f(x)=x2e-x的单调区间与极值.解:函数定义域D=(-,+),计算一阶导数f(x)=2xe-x+x2e-x(-x)=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x令一阶导数f(x)=0,注意到指数函数e-x恒大于零,得到驻点x=0与x=2.列表如表33:所以函数f(x)=x2e-x的单调减少区间为(-,0),(2,+),单调增加区间为(0,
44、2);极小值为f(0)=0,极大值为f(2)=4e-2.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.4 函数的最值定理3.3已知点x0为可导函数f(x)
45、的驻点,且二阶导数f(x)在驻点x0处及其左右连续,那么:(1)如果二阶导数值f(x0)0,则驻点x0为可导函数f(x)的极小值点.例1求函数f(x)=x2e-x的极值.解:函数定义域D=(-,+),计算一阶导数f(x)=2xe-x+x2e-x(-x)=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x令一阶导数f(x)=0,注意到指数函数e-x恒大于零,得到驻点x=0与x=2.再计算二阶导数f(x)=(2-2x)e-x+(2x-x2)e-x(-x)=(2-2x)e-x-(2x-x2)e-x=(2-4x+x2)e-x得到在驻点x=0处的二阶导数值f(0)=20根据定理3.3,于是驻点x=0为极小值点
46、;又得到在驻点x=2处的二阶导数值f(2)=-2e-20根据定理3.3,于是唯一驻点x=4为唯一极小值点,再根据定理3.4,这个唯一极小值点x=4也为最小值点.所以函数f(x)=x2-8x+7在定义域D=(-,+)内有最小值,最小值为f(4)=-9.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.4 函数的最值求可导函数f(x)在闭区间a,b上的最大值与最小值的步骤如下:步骤1计算一阶导数f(x),并令一阶导数
47、f(x)=0,求出可导函数f(x)在开区间(a,b)内的所有驻点;步骤2计算可导函数f(x)在这些驻点处的函数值,同时计算可导函数f(x)在两个端点处的函数值f(a),f(b);步骤3比较上述计算得到的函数值大小,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.4 函数的最值例4求函数f(x)=x4-8x2+3在闭区间-1,3上的最大值与最小值.解:计算一阶导数f(x
48、)=4x3-16x=4x(x2-4)令一阶导数f(x)=0,得到驻点x=-2,x=0及x=2,容易看出驻点x=0与x=2在开区间(-1,3)内,而驻点x=-2不在开区间(-1,3)内.再计算函数f(x)在驻点x=0,x=2及两个端点x=-1,x=3处的函数值f(0)=3f(2)=-13f(-1)=-4f(3)=12比较这些函数值的大小,得到最大者为f(3)=12,最小者为f(2)=-13.所以函数f(x)=x4-8x2+3在闭区间-1,3上的最大值为f(3)=12,最小值为f(2)=-13.4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育
49、“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.5 函数曲线的凹向区间与拐点定义3.2已知函数f(x)在开区间J内可导,若函数曲线y=f(x)在开区间J内位于其上任意一点处切线的上方,则称函数曲线y=f(x)在开区间J内上凹,开区间J为函数曲线y=f(x)的上凹区间;若函数曲线y=f(x)在开区间J内位于其上任意一点处切线的下方,则称函数曲线y=f(x)在开区间J内下凹,开区间J为函数曲线y=f(x)的下凹区间.定理3.5已知函数f(x)在开区间J内二阶可导,那么:(1)如果在开区间J内二阶导数f(x)恒为正,则
50、开区间J为函数曲线y=f(x)的上凹区间;(2)如果在开区间J内二阶导数f(x)恒为负,则开区间J为函数曲线y=f(x)的下凹区间.推论如果在开区间J内二阶导数f(x)恒非负(或恒非正),且使得二阶导数f(x)=0的点x只是一些孤立的点,则开区间J为函数曲线y=f(x)的上凹区间(或下凹区间).4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材高职高专高等数学基础特色教材系列高职高专高等数学基础特色教材系列第三章 导数的应用3.5 函数曲线的凹向区间与拐点定义3.3在函数曲线y=f(x)上,凹向改
