1、专题复习 圆锥曲线（二）【题模6】 直线与圆锥曲线的位置关系（后续有定点、定值等问题分类总结）：1、 直线与圆锥曲线的位置关系.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。.若，设： .时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。提醒
2、：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共3条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；（3）过
3、抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点.2、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则=若弦AB所在直线方程设为，则。【讲透例题】1、 直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_2. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则 .3、若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_ _ 4、过点的直线交抛物线于，两点，且，则（o为坐标原点）的面积为 .5、椭圆上的点到直线的最短距离为 .6 已知椭圆的焦点为，且椭圆与直线：有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（ ）A10B7CD7、（2
4、018新课标）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程8、已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：yxm与椭圆交于 A，B两点，与以F1F2 为直径的圆交于C，D 两点，且满足 ，求直线l 的方程【相似题练习】1、过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_ 条。2、过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ _ 3、椭圆的焦点分别为，直线与交于，两点，若，则的
5、方程为（ ）ABCD4 已知双曲线，过点作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有 条5、直线与双曲线：有且仅有一个公共点，那么值共有 个.6、已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.7、已知椭圆C经过点A，两个焦点为(1,0)、(1,0)(1) 求椭圆C的方程； (2) E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 8、已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），
6、则抛物线的方程为（ ）ABCD9、已知抛物线，过点且斜率为的直线与交于，两点，若，则（ ）ABCD提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！【题模7】 焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆或双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。 1、椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为. (1)当点从点逆时针运动时，由锐角逐渐增大，到达点时达到最大，过了轴之后又逐渐减小。(2)设，则。(
7、当且仅当动点为短轴端点时取等号)(3) 焦点三角形两底角分别为则离心率为：e=(4)过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。(5) ，.2、双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点三角形的面积为P为双曲线（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.焦点三角形两底角分别为则离心率为：e=3、过焦点F1的直线与圆锥曲线相交于A、B两点，则ABF2的周长：椭圆4，双曲线4+2|AB|.【讲透例题】1、设为椭圆的焦点，为椭圆上的一点，且，则的面积= .2、已知是椭圆的左右
8、焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）ABCD3、已知双曲线C的离心率为，是C的两个焦点，P为C上一点，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）A1B2C3D64、已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD5、过点的直线交抛物线于，两点，且，则（o为坐标原点）的面积为 .6、已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（ ）ABCD7、中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7，（1
9、）求这两曲线方程； （2）若P为两曲线的交点（P在第一象限），求的值8 在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是（ ）ABCD【相似题练习】1、已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是（ ）ABCD2、已知是椭圆的两个焦点, 为椭圆上一动点,求的最大值，并求出此时的面积和的余弦值。3（多选） 已知椭圆：的左右焦点分别为，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ）A5B4CD 4 （多选）已知椭圆上有一点，分别为其左右焦点，的面积为，则下列说法正确的是（ ）A若，则；B若，则满足题意的点有个；C若是钝角三角形，则；D椭圆的内接矩形
10、的周长的最小值为.5、已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD6 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为_.7 已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且.（1）求椭圆的方程；（2）与的交点为，且恰为线段的中点，求的面积.【题模8】 抛物线的焦点弦1、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则AMFBMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，
11、B，若P为AB的中点，则PAPB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 2、抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，|FA|= |FB|= ，。3、若OA、OB是抛物线上两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点.【讲透例题】1、已知F为抛物线y28x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|FA|FB|的值等于 () A 4 B8 C8 D162 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，
12、的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（ ）ABCD3、已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、第四象限分别交于A,B两点， 的值为() A.5 B.4 C.3D.2【相似题练习】1、已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( ) A. B1 C. D.2设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF| ()A4 B8 C8 D163、已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（ ）A9B
13、CD4、已知直线过抛物线：的焦点，并交抛物线于，两点，则弦中点的横坐标是（ ）ABCD15 抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且，且中点到准线的距离为3，则线段的中点到准线的距离为（ ）A1B2CD3【题模9】 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆1(ab0)中，以P(x0，y0)为中点的弦AB所在直线的斜率k；在椭圆1 (ab0)中，以P(x0，y0)为中点的弦AB所在直线的斜率k ；(1)过椭圆上()上一点的切线斜率为。(2) 直线(k0)过椭圆()上、，中点为，则有。直线(有k)过椭圆()上两点A，B，中点为，则有.(3)若、是椭圆()上关于
14、原点对称的两点，是椭圆上任意一点，当、的斜率和都存在时，有。(4)若、是椭圆()上的左、右、上、下顶点，是椭圆上除了、的任意一点，则，。在双曲线中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；(1)过双曲线上一点的切线: ： 斜率为。(2) 直线( k0)过双曲线上两点、，中点为，则有.直线(有k)过双曲线上两点、，线段中点为，则有.(3)若、是双曲线上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，当、的斜率和都存在时，有.(4)若、是双曲线上的左、右、上、下顶点，是椭圆上除了、的任意一点，则, 在抛物线y22px(p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k.在抛物线x22py(p0)中
15、，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k .在使用根与系数关系时，要注意使用条件是0.【讲透例题】1过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为 .2 过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）ABCD3直线ykx2与抛物线y28x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是_4、已知椭圆：上有三点，线段，的中点分别为，为坐标原点，直线，的斜率都存在，分别记为，且，直线，的斜率都存在，分别记为，则（ ）ABCD5 已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（ ）A BC D6、试确定m的取值范围
16、，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称 ；【相似题练习】1、如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 2、已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_ 3、已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD4、已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数b的值为（ ）A0或B0CD5、过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：y21相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|（ ）A2 B2 C3 D46（2017全国一卷）设A，B为曲线C：y=上两点，
17、A与B的横坐标之和为4.（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.【题模10】圆锥曲线切线方程：1. 2.3.4.【讲透例题】1、若直线l与该抛物线y2=4x相切，且平行于直线2x-y+6=0，求直线l方程.2、如果直线l与椭圆相切，切点的横坐标为2 ，则这条直线方程是 【题模11】圆锥曲线的切点弦方程: 1. 2. 3. 4.【讲透例题】2、过（2，4）作椭圆的两条切线，切点分别为A、B ，则AB直线所在方程是 3、已知抛物线，为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（ ）A在点处的切线方程为 B
18、C过抛物线准线上的任意一点作的切线，则过两切点，的弦必过焦点D4、 已知M：，直线：，为上的动点，过点作M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【题模12】 动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；例1、已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程3、在平面直角坐标系中，已知，动点满足. 求动点的轨迹的方程；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0
19、），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程 . 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例1、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程为 2、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_ _ 3已知两点F1（1，0）、F2（1，0），|PF1|-|F1F2|=|F1F2|-|PF2|，则动点P的轨迹方程是（ ）ABCD4、一个动圆与圆Q1：(x3)2y21外切，与圆Q2：(x3)2y281内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程. 5、
20、设F1 , F2 是双曲线 x2y2 =4 的两个焦点,Q 是双曲线上任一点, 从 F1 引角 F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P ,求点P的轨迹方程。代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；例1、 动点P是抛物线上任一点，定点为,点M是抛物线上一点，则AM中点坐标的轨迹方程，为_ 2、 已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆y21上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程。参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。例1、已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.2、若点在圆上运动，则点的轨迹方程是_ _ 3、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.17
