1、第第6 6章章 偏导数与全微分偏导数与全微分 6.1 6.1 空间直角坐标系与向量的概念空间直角坐标系与向量的概念 6.2 6.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 6.3 6.3 偏导数偏导数 6.4 6.4 全微分全微分 6.5 6.5 多元函数的极值多元函数的极值 6.1.1 6.1.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 6.1.2 6.1.2 向量的概念及其线性运算向量的概念及其线性运算 6.1.3 6.1.3 向量的坐标表示向量的坐标表示 6.1.4 6.1.4 向量的点积与叉积向量的点积与叉积 6.1.5 6.1.5 内容小结内容小结 6 6.1 1 空空间间直直角角坐坐标标系
2、系与与向向量量的的概概念念 6.1.16.1.1空间直角坐标系空间直角坐标系 1.1.空间直角坐标系的构成空间直角坐标系的构成 过空间中的一点过空间中的一点 O,作三条两两相互垂直的数轴作三条两两相互垂直的数轴ox,oy,oz(如图如图 6 6-1).1).规定规定 o 为坐标原点为坐标原点,并按下述方法规定三并按下述方法规定三条数轴的方向条数轴的方向:将右手伸直将右手伸直.拇指向上的方向为拇指向上的方向为 oz 轴的正方向轴的正方向,其余四指的指向为其余四指的指向为 ox轴的正方向轴的正方向,四指弯曲四指弯曲 90后的指向为后的指向为 oy轴的正方向轴的正方向.这样建立的空间直角坐标系称为右
3、手系这样建立的空间直角坐标系称为右手系.三条轴三条轴分别称为分别称为 x 轴轴(横轴横轴)、y 轴（纵轴）和轴（纵轴）和 z 轴（立轴）轴（立轴）.三条坐三条坐标轴中每两条确定的平面标轴中每两条确定的平面,称为坐标平面称为坐标平面.空空间间直直角角坐坐标标系系中中的的点点M的的坐坐标标为为有有序序数数组组(,)a b c,其其中中,a b c分分别别称称为为横横坐坐标标、纵纵坐坐标标和和立立坐坐标标.zzy O yxx图 6-1 图 6-2oyOz平面xOy平面xOz平面由由 x 轴和轴和 y 轴确定的平面称为轴确定的平面称为 xoy 平面平面;由由 y 轴和轴和 z 轴确定的轴确定的平面称为
4、平面称为 yoz 平面平面;由由 x 轴和轴和 z 轴确定的平面称为轴确定的平面称为 xoz 平面平面.三三个坐标平面将空间分为八个卦限个坐标平面将空间分为八个卦限(图图 6-2).6.1.2 6.1.2 向量的概念及其线性运算向量的概念及其线性运算 向向量量:既既有有大大小小又又有有方方向向的的量量称称为为向向量量(或或矢矢量量),如如速速度度、位位移移等等.向向量量的的表表示示:用用黑黑体体小小写写的的字字母母表表示示向向量量，如如a a,b b,c c等等，也也用用,a b c 等等表表示示向向量量.在在几几何何上上,向向量量可可用用从从起起点点到到 终终点点的的有有向向线线段段来来表表
5、示示.如如：向向量量AB（如如图图 6 6-3 3）.向向量量的的模模:有有向向线线段段的的长长度度表表示示向向量量的的大大小小,称称为为向向量量的的 模模,记记作作AB 或或a a,向向量量的的方方向向:有有向向线线段段的的方方向向表表示示向向量量的的方方向向.A A B B 图图 6 6-3 3 1.1.向量的基本概念向量的基本概念 单位向量单位向量:模等于模等于 1 1 的向量的向量 零零 向向 量量:模等于模等于 0 的向量记作的向量记作 0,零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的.负负 向向 量量:与向量与向量 a 大小相等方向相反的向量称为向量大小相等方向相反的向量称为向量 a
6、的的 负向量负向量,记作记作-a.平行向量平行向量:如果两个非零向量如果两个非零向量 a,b 的方向相同或相反的方向相同或相反,则称它们平行则称它们平行,记作记作 /ab 向向 径径:如果向量的起点为坐标原点如果向量的起点为坐标原点,终点为空间某一点终点为空间某一点,则称这样的向量为向径则称这样的向量为向径,如向径如向径 OM 自由向量自由向量:如果向量只取决于其大小和方如果向量只取决于其大小和方向向,与其起点位置无与其起点位置无关关,则称这样的向量为自由向量则称这样的向量为自由向量.(1)(1)向量加法和减法：向量加法和减法：两个向量加法的平行四边形法则两个向量加法的平行四边形法则:设向量设
7、向量 a,b,先将它们平先将它们平移使起点重合移使起点重合,然后以然后以 a,b 为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形,则从公共起点则从公共起点到对角顶点的对角线所对应的向量就是向量到对角顶点的对角线所对应的向量就是向量 a 与与 b 的和的和,记作记作 a+b(如图如图 6 6-4).4).两个向量加法的三角形法则两个向量加法的三角形法则:平移向量平移向量 b,使使 b 的起点与的起点与 a的终点重合的终点重合,则从则从 a 的起点到的起点到 b 的终点的向量就是向量的终点的向量就是向量 a 与与 b的和的和 a+b(如图如图 6 6-5).5).相相等等向向量量:当当两两个个自自由由向向量
8、量的的大大小小相相等等,方方向向相相同同时时,称称为为两两个个相相等等向向量量.2.2.向量的线性运算向量的线性运算 两两个个向向量量减减法法的的三三角角形形法法则则:将将向向量量 a 与与 b 的的起起点点重重合合,则则从从 b 的的终终点点到到 a 的的终终点点的的向向量量就就是是向向量量 a 与与 b 的的差差 a-b.(如如图图 6 6-6 6).a a-b bb b a a+b b b b图 6-4 图 6-5 图 6-6a aa aa ab ba a+b b 向向量量加加法法满满足足的的运运算算规规律律:交交换换律律:a+b=b+a 结结合合律律(a+b)+c=a+(b+c)(2
9、2)向向量量的的数数乘乘运运算算 设设向向量量 a,实实数数 ,称称 与与 a 的的乘乘积积为为向向量量 a 的的数数乘乘运运算算,记记作作a.a仍仍是是一一个个向向量量,其其大大小小a=|a,其其方方向向:当当0时时,a与与 a 同同向向；当当0时时,与与 a 反反向向；当当0时时,a 0 0,方方向向任任意意.向向量量的的数数乘乘满满足足的的运运算算规规律律:结结合合律律:()()()aaa 分分配配律律:(),()aababa aa a 由由上上述述规规律律可可知知,如如果果 a 是是非非零零向向量量,则则 aa1 1就就是是与与 a 同同向向的的单单位位向向量量.6.1.3 6.1.3
10、 向量的坐标表示向量的坐标表示 设设 i,j,k 为分别位于空间直角坐标系中为分别位于空间直角坐标系中 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴上的轴上的三个单位向量三个单位向量,且它们分别与坐标轴同向且它们分别与坐标轴同向,称它们为基本单称它们为基本单位向量位向量,如图如图(6(6-7).7).设向径设向径 OMOM 的终点的终点 M M 的坐标为的坐标为(x,y,z),过点过点M M 分别作垂直于坐标轴的平面，在分别作垂直于坐标轴的平面，在 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴上的交点轴上的交点分别为分别为 P.Q.RP.Q.R.由向量的数乘运算知向量由向量的数乘运算知向量i OPx,OQy j,ORz
11、k.于是向径于是向径OM 的坐标表示式的坐标表示式为为 OMxyzijk 可简记为可简记为,OMx y z z R Rk k M P i i O j j Q yx N图 6-7 1.1.向径的坐标表示式向径的坐标表示式 2.2.向量的坐标表示式向量的坐标表示式 设向量设向量12M M 起点和终点分别为起点和终点分别为11112222(,),(,)Mx y zMxyz,12212121,M Mxx yy zz,称之为向量称之为向量12M M 的坐标的坐标 表示式表示式.3.3.空间任意两点空间任意两点11112222(,),(,)Mx y zMxyz间的距离公间的距离公式式:|12M M|222
12、212121()()()xxyyzz 4.4.方向余弦方向余弦:已知已知11112222(,),(,)Mx y zMxyz，设，设向量向量12M M 与与x轴、轴、y轴、轴、z轴的夹角分别为轴的夹角分别为,，则称，则称cos,cos,cos为向量为向量12M M 的方向余弦，且的方向余弦，且 21222212121cos()()()xxxxyyzz 21222212121cos()()()yyxxyyzz 21222212121cos()()()zzxxyyzz 且 222coscoscos1 5.5.向量的和、差与数乘向量的坐标表示式向量的和、差与数乘向量的坐标表示式 设向量设向量 a,b
13、的坐标表示式分别为的坐标表示式分别为 xyzaaaijka a,xyzbbbijkb b 则则有有 ()()()xxyyzzabababa+bijk ()()()xxyyzzababababijk xyzaaaa=i+j+k (为为任任意意实实数数)解解 (1)32OA ijk ,32OB ijk；(2)AB=ijk(3 3-1 1)+(2 2-3 3)+(1 1-2 2)=2 ijk；例例 1 1 已知两点已知两点(1,3,2)A和和(3,2,1)B,（1 1）写出这两点的向经；）写出这两点的向经；（2 2）写出向量）写出向量AB 的坐标表达式；的坐标表达式；（3 3）计算）计算 A,BA,
14、B 两点间距离两点间距离.(3)(3)2222(1)(1)6AB 解解 由由24,33aijk bijk可可知知 36312,412124aijkbijk 于于是是 34(6 12)(3 12)(124)181516 abijkijk 34(6 12)3(12)(124)698 abijkijk 例例 2 2 已已知知24,33aijkijkb b,求求34 34a+b,a-b.解解 由方向余弦间的关系式由方向余弦间的关系式 222coscoscos1 得得 22222cos1 coscos1(cos60)(cos120)221111()()222 于是于是 2cos2 又又0180,所以所以
15、45135或.例例 3 3 已已知知向向量量 a 与与 x 轴轴和和 y 轴轴的的夹夹角角分分别别为为60,120，求求该该向向量量与与 z 轴轴的的夹夹角角 .6.1.4 6.1.4 向量的点积与叉积向量的点积与叉积定义定义 6.16.1 设向量设向量 a,b,它们的夹角为它们的夹角为 (0)，则称，则称 cosa b为为 a 与与 b 的点积的点积,记作记作a b,即即cosa b=a b 不难验证有下列结论不难验证有下列结论:(1)(1)2a a=a；(2)(2)1i i=j j=k k；(3)(3)0 i jj kk i (4)(4)向量向量 a 与与 b 垂直垂直a b=0=0 向量
16、的点积有如下运算规律向量的点积有如下运算规律:交换律交换律:a bb a；结合律结合律:()()()()aba b；分配律分配律:()abca ba c.定义定义 6.2 6.2 两个向量两个向量ab与的叉积（或向量积）是一个向的叉积（或向量积）是一个向量量,记 作记 作ab,满 足下 列 两个 条 件满 足下 列 两个 条 件a,b,它 们 的夹角 为它 们 的夹角 为 (0)，则称，则称(1)(1)ab=sina b (2)(2)ab的方向规定为的方向规定为:ab既垂直于既垂直于 a 垂直于垂直于 b 并且按顺序为并且按顺序为 a,b,ab符合右手螺旋法则符合右手螺旋法则.不难验证有下列结
17、论不难验证有下列结论:（1 1）aa0 0；（2 2）iijjkk0 0；（3 3）,ijk jki kij；（4 4）两个非零向量）两个非零向量 /aba b 0 0 向量的叉积有如下运算规律向量的叉积有如下运算规律:反交换律：反交换律：abb a；左分配律左分配律:()abcabac；右分配律右分配律:()bcab aca；结合律结合律:()()()ababab.向量点积和叉积的坐标表示式及常用结论：向量点积和叉积的坐标表示式及常用结论：设向量设向量123,a a aa,123,b b bb,它们的夹角为它们的夹角为 ,则则有有 (1)(1)1 1223 3aba ba ba b 2 33
18、 2()a ba babi+3 11 3()a babj+1 22 1()aba bk (2 2)1 1223 3222222123123cosaba ba baaabbba ba b (3 3)a 与与 b 垂垂直直1 1223 30aba ba b 解解 设设向向量量AB 与与AC 的的夹夹角角为为.因因为为 2 1,2 1,1 11,1,0,2 1,1 1,2 11,0,1ABAC 所所以以 2222221 1 1 00 11cos2110101AB ACAB AC 由由于于0,所所以以3.例例 4 4 已已知知三三点点(1,1,1),(2,2,1),(2,1,2)ABC，求求向向量量
19、AB 与与 AC 的的夹夹角角.解解 因为因为368MN ijk,100OA ijk,所以所以 MNOA=(368)ijk(100)86ijkjk 228(6)10MNOA 于是同时垂直于于是同时垂直于MN和和OA 的单位向量的单位向量 143(86)()1055MNOAMNOA ajkjk 即所求的单位向量有两个即所求的单位向量有两个.例例 5 5 已知向量已知向量368MN ijk,点点(1,0,0)A,求同时垂直于求同时垂直于MN和和OA 的单位向量的单位向量.6.1.56.1.5 内容小结内容小结 1.1.空间直角坐标系的构成空间直角坐标系的构成 2.2.向量的概念及其线性运算向量的概
20、念及其线性运算 3.3.空间任意两点间距离公式空间任意两点间距离公式 4.4.向量的点积与叉积向量的点积与叉积 6.2.1 6.2.1 多元函数多元函数 6.2.2 6.2.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续 6.2.3 6.2.3 内容小结内容小结 6.2 6.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 6.2.1 6.2.1 多元函数多元函数 定义定义 6.4 6.4 设设 D 是平面上的一个非空点集是平面上的一个非空点集,f 是一个对应法则是一个对应法则,如果对于每个点如果对于每个点(,)x yD,都可由对应法则都可由对应法则 f 得到唯一的实得到唯一的实数数 z 与之对应与
21、之对应,则称则称 z 是变量是变量 x,y 的二元函数的二元函数,记为记为 (,)zf x y.其中其中 x,y 称为自变量；称为自变量；z 称为因变量；称为因变量；D 称为函数称为函数(,)f x y的定义域，它所对应的函数值的集合称为函数的定义域，它所对应的函数值的集合称为函数(,)f x y的值域的值域.1.1.二元函数的定义二元函数的定义 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成的平面区域线所围成的平面区域,围成区域的曲线称为区域的边界围成区域的曲线称为区域的边界,包包括边界在内的区域称为闭区域括边界在内的区域称为闭区域,不包
22、括边界在内的区域称不包括边界在内的区域称为开区域为开区域.常见的区域有常见的区域有:矩形区域矩形区域 (,),x y axb cyd 圆形区域圆形区域 22200(,)()(),0 x yxxyy 求二元函数的定义域求二元函数的定义域,就是找使函数有意义的自变量就是找使函数有意义的自变量的范围的范围,这与一元函数定义域的求法类似这与一元函数定义域的求法类似,但画图一般要复但画图一般要复杂一些杂一些.解解 要使函数要使函数 z z 有意义需满足有意义需满足 224xy0 0 即即 22xy4 4 于是所求定义域为于是所求定义域为 22(,)Dx y xy44 这是一个以原点为圆心这是一个以原点为
23、圆心,以以 2 2 为半径的圆形区域为半径的圆形区域,且为有界闭区域且为有界闭区域(如图如图 6 6-8).8).yx图 6-8 O 例例 1 1 求求二二元元函函数数224zxy的的定定义义域域.解解 要使函数要使函数z有意义需满足有意义需满足 2222201011yxxyxy，即即 2222210yxxyxy于是所求定义域为于是所求定义域为 (,)Dx y y222,01xxy （如图（如图 6 6-9 9）.o x y 例例 2 2 求函数求函数222ln(1)yxzxy的定义域的定义域.定义定义 6.46.4 如果函数如果函数(,)zf x y在点在点00(,)xy的某一邻域内的某一邻
24、域内有定义有定义(在点在点00(,)xy处可以没有定义处可以没有定义),),当点当点(,)x y以任何路径以任何路径趋近于趋近于00(,)xy时时,对应的函数值对应的函数值(,)f x y都无限趋近于同一个定都无限趋近于同一个定数数A,则称当则称当(x,y)趋于趋于00(,)xy时时,函数函数(,)zf x y以以 A A 为极限为极限,记作记作00(,)(,)lim(,)x yxyf x yA 或或00lim(,)xxyyf x yA 2.2.多元函数的定义多元函数的定义 类类似似二二元元函函数数可可以以定定义义三三元元函函数数(,)uf x y z,四四元元函函数数1234(,)uf x
25、x x x,等等等等.二二元元及及二二元元以以上上的的函函数数统统称称为为多多元元函函数数.6.2.2 6.2.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续 定义定义 6.56.5 设函数设函数(,)zf x y在点在点00(,)xy的某一邻域内有的某一邻域内有定义定义,如果如果 0000lim(,)(,)xxyyf x yf xy 则称函数则称函数(,)zf x y在点在点00(,)xy处连续处连续.否则否则,称函数称函数(,)zf x y在点在点00(,)xy处不连续处不连续(或间断或间断),),此此时点时点00(,)xy称为间断点称为间断点.如果如果(,)f x y在区域在区域D D内的
26、每一点都连续内的每一点都连续,则称则称(,)f x y在在区域区域 D D 上连续上连续.二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数仍为连续函数合函数仍为连续函数.6.2.3 6.2.3 内容小结内容小结 1.1.二元函数的定义二元函数的定义.2.2.求二元函数的定义域求二元函数的定义域.3.3.二元函数的极限与连续定义二元函数的极限与连续定义6.3.1 6.3.1 偏导数偏导数 6.3.2 6.3.2 二阶偏导数二阶偏导数 6.3.3 6.3.3 内容小结内容小结 6.3 6.3 偏导数偏导数 6.3.1 6.3.1 偏导数偏导数 设函
27、数设函数(,)zf x y在点在点00(,)xy的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,当自当自变量变量 x 在在0 x处取得改变量处取得改变量(0)xx,而自变量而自变量0yy保持不变保持不变时时,函数相应的改变量函数相应的改变量0000(,)(,)xzf xx yf xy称为函数称为函数(,)zf x y关于关于 x 的偏增量的偏增量.类似地有函数类似地有函数(,)zf x y关于关于 y 的的偏增量为偏增量为0000(,)(,)yzf xyyf xy 当自变量当自变量x,y分别在分别在00,xy取得改变量取得改变量,xy时时,函数函数(,)f x y相 应 的 改 变 量相 应 的 改 变
28、 量 0000(,)(,)zf xx yyf xy 称 为 函 数称 为 函 数(,)f x y的全增量的全增量.1.1.全增量与偏增量全增量与偏增量 定定义义 6 6.6 6 设设函函数数(,)zf x y在在点点00(,)xy的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义,如如果果极极限限 000000(,)(,)limlimxxxzf xx yf xyxx 存存在在,则则称称此此极极限限值值为为函函数数(,)f x y在在点点00(,)xy处处对对 x 的的偏偏导导数数,记记作作 000000/00(,)x xxxx xx xyyyyyyzfzfxyxx，或 类类似似地地,如如果果极极限限 000
29、000(,)(,)limlimyyyzf xyyf xyyy 存存在在,则则称称此此极极限限值值为为函函数数(,)f x y在在点点00(,)xy处处对对 y 的的偏偏导导数数,记记作作000000/00,(.)x xyyyyx xx xyyyyzfzfx yyy或 2.2.偏导数偏导数 如果函数如果函数(,)zf x y在平面区域在平面区域D D内的每一点内的每一点 (,)x y处都存处都存在对在对 x 的偏导数的偏导数,则称函数则称函数(,)f x y在在 D D 内存在对内存在对 x 的偏导函数的偏导函数,简称偏导数简称偏导数,记作记作 /,(,)xxzfzfx yxx或.类似地类似地,
30、可以定义函可以定义函数数(,)f x y在在 D D 内存在对内存在对 y 的偏导数的偏导数,记作记作 /,(,)yyzfzfx yyy或 3 3二元函数偏导数的求法二元函数偏导数的求法:,求二元函数的偏导数时求二元函数的偏导数时,只需将一只需将一个自变量个自变量暂时看作常量暂时看作常量,直接利用一元函数的求导方法直接利用一元函数的求导方法,对另一对另一个自变量进行求导即可个自变量进行求导即可.4.4.求某点处的偏导数值求某点处的偏导数值：可先求偏导函数：可先求偏导函数,然后代入点坐标即然后代入点坐标即可可.解解 把把 y 看看作作常常量量对对 x 求求导导数数,得得 23sinzxyx.把把
31、 x 看看作作常常量量对对 y 求求导导数数,得得 3coszxyy.解解 把把 y 看看作作常常量量对对 x 求求导导数数,得得 1yzyxx.把把 x 看看作作常常量量对对 y 求求导导数数,得得 lnyzxxy.例例 2 2求求yzx的偏导数的偏导数.例例 1.1.求求3sinzxy的偏导数的偏导数zzxy和.二元函数二元函数(,)zf x y的两个偏导数的两个偏导数,zzxy仍然是关于自变量仍然是关于自变量x,y 的函数的函数.如果如果,zzxy的偏导数存在的偏导数存在,则称这两个偏导数的则称这两个偏导数的 例例 3 3 求求函函数数22(,)1 ln()f x yxy 在在点点(1
32、1,4 4)处处的的偏偏导导数数.解解 先先求求偏偏导导数数 /222(,)xxfx yxy,/222(,)yyfx yxy 于于是是在在点点(1 1,4 4)处处的的偏偏导导数数为为 /222 12(1,4)1417xf,/22248(1,4)1417yf 6.3.2 6.3.2 二阶偏导数二阶偏导数 偏导数为偏导数为(,)zf x y的二阶偏导数的二阶偏导数.这样的偏导数共有四个这样的偏导数共有四个,分分别表示为别表示为 22zzxxx,或记为或记为 2/2,(,)xxxxfzfx yx 2zzyxx y,或记为或记为2/,(,)xyxyfzfx yx y 2zzxyy x,或记为或记为2
33、/,(,)yxyxfzfx yy x 22zzyyy,或记为或记为2/2,(,)yyyyfzfx yy 解解 函函数数的的一一阶阶偏偏导导数数为为 343zxyyx,2229zxxyy 二二阶阶偏偏导导数数为为 23/2(43)4xzxyyyx,23/2(43)49yzxyyxyx y 222/2(29)18yzxxyxyy 222/2(29)49xzxxyxyy x 例例 4 4 求函数求函数2323zx yxy的二阶偏导数的二阶偏导数.6.3.2 内容小结内容小结1.1.二元函数的偏导数二元函数的偏导数 2.2.二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数 6.4.1 6.4.1 全微分的定义
34、全微分的定义 6.4.2 6.4.2 全微分的应用全微分的应用 6.4.3 6.4.3 内容小结内容小结 6.46.4 全微分全微分 6.4.1 6.4.1 全微分的定义全微分的定义定义定义 6.76.7 设二元函数设二元函数(,)zf x y在点在点(x,y)处的全增量处的全增量 (,)(,)zf xx yyf x y 可以表示为关于可以表示为关于,xy的线性的线性函数与一个比函数与一个比22()()xy 高阶的无穷小之和高阶的无穷小之和,即即 (,)(,)()zf xx yyf x yA xB yo 其中其中 A,BA,B 与与,xy无关无关,只与只与 x,y 有关有关,()o是当是当0时
35、比时比高阶的无穷小高阶的无穷小,则称二元函数则称二元函数(,)zf x y在点在点(x,y)处可微处可微,并并称称A xB y 是是(,)zf x y在 点在 点(x,y)处 的 全 微 分处 的 全 微 分,记 作记 作 dzA xB y 与与一一元元函函数数类类似似可可得得:二二元元函函数数(,)zf x y的的全全微微分分可可写写成成 dddzzzxyxy 定定理理 6 6.1 1 （可可微微的的充充分分条条件件）若若函函数数(,)zf x y在在点点(x,y)处处的的两两个个偏偏导导数数连连续续，则则(,)f x y在在该该点点一一定定可可微微.若若三三元元函函数数(,)uf x y
36、z有有连连续续的的偏偏导导数数,则则其其全全微微分分的的表表达达式式为为 dddduuuuxyzxyz 解解：/e(2)e(21)xxxzxyxyx /e(2)2exxyzxyy 例例 1 1 求函数求函数e(2)xzxy的全微分的全微分.解解 由定义可知由定义可知,全增量为全增量为 2222(1 0.01)(20.02)1(2)0.1624z 因为因为 22zxyx,22zx yy 所以所以 22ddd2d2dzzzxyxyxx y yxy 于是所求的在点（于是所求的在点（1，2）处的全微分为）处的全微分为 22d2 1(2)0.012 1(2)(0.02)0.16z .所所以以 dddzz
37、zxyxy e(21)d2dxxxyxey 例例 2 2 求求函函数数22zx y在在点点(1 1,-2 2)处处,当当0.01,0.02xy 时时的的全全增增量量和和全全微微分分.6.4.2 全微分的应用全微分的应用设函数设函数(,)zf x y在点在点(x,y)(x,y)处可微处可微,则函数的全增量与全则函数的全增量与全微分之差是一个比微分之差是一个比22()()xy 高阶的无穷小高阶的无穷小,因此当因此当xy和都较小时都较小时,全增量可以近似地用全微分代替全增量可以近似地用全微分代替,即得到即得到近似公式近似公式 0000(,)(,)zf xx yyf xy/0000(,)(,)xyfx
38、yxfxyy 或或 0000(,)(,)f xx yyf xy/0000(,)(,)xyfxyxfxyy 解解 圆柱体的体积圆柱体的体积2Vr h,这个水池所需的水泥的体积为这个水池所需的水泥的体积为 22()()Vrrhhr h 因为因为003,5,0.2,0.2rm hmrmhm ,rh和都比较小都比较小,所以可以利用全微分近似代替全增量所以可以利用全微分近似代替全增量,即即 2ddd2dd(2 dd)VVVVrhrh rrhrh rr hrh 所以满足已知条件的所以满足已知条件的3(2 5 0.23 0.2)7.8V 故建造该水池大约需要水泥故建造该水池大约需要水泥7.8.例例 3 3
39、计计划划用用水水泥泥建建造造一一个个无无盖盖的的圆圆柱柱形形水水池池,要要求求内内半半径径为为3 3m m,内内高高为为 5 5m m,侧侧壁壁和和底底的的厚厚度度均均为为 0 0.2 2m m,问问大大约约需需要要多多少少 m m 的的水水泥泥？解解 设函数设函数(,)yzf x yx,则则2.01(0.97)(0.97,2.01)f.取取001,2,0.03,0.01xyxy .由 近 似 公 式由 近 似 公 式 0000(,)(,)f xx yyf xy/0000(,)(,)xyfxyxfxyy 得得 (0.97,2.01)(1 0.03,20.01)ff /(1,2)(1,2)(0.
40、03)(1,2)(0.01)xyfff 因为因为 /1/(,),(,)lnyyxyfx yyxfx yxy 所以所以 /2 1/2(1,2)2 12,(1,2)1 ln10 xyff 又又2(1,2)11f,故故2.01(0.97)12(0.03)0 0.010.94 例例 4 4 利利用用全全微微分分近近似似计计算算2.01(0.97)的的值值.6.4.3 6.4.3 内内 容容 小小 结结1.1.二元函数的全微分二元函数的全微分 2.2.全微分的简单应用全微分的简单应用 6.5.1 6.5.1 多元函数的极值多元函数的极值 6.5.2 6.5.2 多元函数的最大值与最小值多元函数的最大值与
41、最小值 6.5.3 6.5.3 条件极值条件极值 6.5.4 6.5.4 内容小结内容小结 6.5 6.5 多元函数的极值多元函数的极值 6.5.1 6.5.1 多元函数的极值多元函数的极值定义定义 6.8 6.8 设函数设函数(,)zf x y在点在点00(,)xy的某邻域内有定的某邻域内有定义义,若对于该邻域内的任何不同于点若对于该邻域内的任何不同于点00(,)xy的点的点(x,y),(x,y),都有都有00(,)(,)f x yf xy(或或00(,)(,)f x yf xy)成 立成 立,则 称 函 数则 称 函 数(,)f x y在点在点00(,)xy取得极大值取得极大值(或极小值或
42、极小值),),极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值,使函数取得极大值使函数取得极大值(或极小值或极小值)的点的点00(,)xy称为称为极大值点极大值点(或极小值点或极小值点),),极大值点和极小值点统称为极大值点和极小值点统称为极值极值点点.定理定理 6.2(6.2(极值存在的必要条件极值存在的必要条件)若函数若函数(,)zf x y在点在点00(,)xy处取得极值处取得极值,且在该点处存在一阶偏导数且在该点处存在一阶偏导数,则则 /0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy 使使/0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy同时成立的点同时成立的点00(,)xy称为函称为函数的
43、数的驻点驻点.例例 1 1 求求函函数数22(,)1f x yxy的的极极值值.解解 因因为为在在点点(0 0,0 0)附附近近任任意意其其它它点点(x,y),都都有有 22(,)11(0,0)f x yxyf 所所以以据据极极大大值值的的定定义义可可知知该该函函数数在在点点(0 0,0 0)处处取取得得极极大大值值,且且极极大大值值为为(0,0)1f.定理定理 6.3(6.3(极值存在的充分条件极值存在的充分条件)若函数若函数(,)zf x y在点在点00(,)xy的某邻域内有二阶连续偏导数的某邻域内有二阶连续偏导数,且点且点00(,)xy是函数的是函数的一个驻点一个驻点,即即/0000(,
44、)0,(,)0 xyfxyfxy.如果记如果记 /000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy,则则 （1 1）当）当20BAC时时,点点00(,)xy不是极值点；不是极值点；（2 2）当）当20BAC时，点时，点00(,)xy是极值点，此时若是极值点，此时若0A，则点则点00(,)xy是极大值点；若是极大值点；若0A，则点，则点00(,)xy是极小值点；是极小值点；（3 3）当）当20BAC时，点时，点00(,)xy可能是极值点也可能不可能是极值点也可能不是极值点是极值点.二二阶阶连连续续偏偏导导数数的的函函数数(,)zf x y,求求其其极极值值的的一一般般步步骤
45、骤为为:第第一一步步 求求出出一一阶阶偏偏导导数数/(,),(,)xyfx yfx y；第第二二步步 解解方方程程组组 /(,)0,(,)0 xyfx yfx y 得得其其全全部部实实数数解解，从从而而得得到到函函数数的的所所有有驻驻点点；第第三三步步 求求出出二二阶阶偏偏导导数数/(,),(,),(,)xxxyyyfx yfx yfx y，并并求求出出每每一一个个驻驻点点所所对对应应的的 A A,B B,C C 的的值值；第第四四步步 确确定定 B B-A AC C 的的符符号号,按按照照定定理理 6 6.3 3,判判定定每每一一个个驻驻点点是是否否是是极极值值点点,是是极极大大值值点点还还
46、是是极极小小值值点点,最最后后求求得得极极值值.解解 设设33(,)3f x yxyxy，则一阶偏导数为，则一阶偏导数为 /2/2(,)33,(,)33xyfx yxyfx yyx 解方程组解方程组 22330330 xyyx 得到两个驻点分别为（得到两个驻点分别为（0 0，0 0）和（）和（1 1，1 1）.函数的二阶偏导数为函数的二阶偏导数为/(,)6,(,)3,(,)6xxxyyyfx yx fx yfx yy 对于驻点对于驻点(0,0),(0,0),由于由于/(0,0)0,(0,0)3,(,)0 xxxyyyAfBffx y,可见可见290BAC,所以驻所以驻点点(0,0)(0,0)不
47、是极值点不是极值点.例例 2 2 求函数求函数333zxyxy的极值的极值.求求实际问题中的最大值或最小值的一般步骤实际问题中的最大值或最小值的一般步骤:（1 1）实际问题建立函数关系式）实际问题建立函数关系式,确定其定义域；确定其定义域；（2 2）求出驻点；）求出驻点；（3 3）结合问题的实际意义判定并求出最大值或最小值）结合问题的实际意义判定并求出最大值或最小值.对对于于驻驻点点(1 1,1 1),由由于于(1,1)6xxAf,(1,1)3xyBf ,(1,1)6yyf,可可见见2270BAC,所所以以驻驻点点(1 1,1 1)是是极极值值点点.又又因因为为60A,所所 以以(1 1,1
48、1)是是 极极 小小 值值 点点,函函 数数 在在 此此 点点 取取 得得 极极 小小 值值33(1,1)113 1 11f 6 6.5 5.2 2 多多元元函函数数的的最最大大值值与与最最小小值值 例例 4 4 某某企企业业生生产产甲甲、乙乙两两种种产产品品，售售出出的的单单价价分分别别为为 1 10 0 元元和和 9 9 元元，甲甲、乙乙产产品品的的产产量量12qq和（单单位位：个个）与与总总成成本本（单单位位：元元）的的关关系系式式为为 2212121122(,)400230.01(33)C q qqqqq qq 问问12qq和各各为为多多少少个个时时，可可以以获获得得最最大大利利润润？
49、解解 因因为为总总利利润润121212(,)(,)(,)L q qR q qC q q，所所以以有有 221212121122(,)(109)400230.01(33)L q qqqqqqq qq 22121122860.01(33)400qqqq qq 一阶偏导数为一阶偏导数为 1/1212(,)80.01(6),qLq qqq 2/1212(,)60.01(6),qLq qqq 解方程组解方程组 121280.01(6)060.01(6)0qqqq 得驻点（得驻点（120120，8080）.又又 1 11 22 2/0.060,0.01,0.06q qq qq qLLL 可见可见 223(
50、0.01)(0.06)(0.06)3.5 100BAC 所以当所以当12120,80qq时时,12(,)L q q取得极大值取得极大值.由于驻点唯一由于驻点唯一,根据问题的实际意义可知根据问题的实际意义可知,此时此时12(,)L q q取得最大值取得最大值.即生产即生产甲、乙产品分别为甲、乙产品分别为 120120 个、个、8080 个时个时,可以获得最大利润可以获得最大利润.6.5.3 6.5.3 条件极值条件极值 拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法的的一一般般步步骤骤:求求函函数数(,)zf x y在在约约束束条条件件下下(,)0 x y下下的的极极值值,(1 1)构构 造造 辅辅 助助 函函
