1、2021届全国新高考物理备考复习极限思想一、极限思想的意义和主要应用方向一、极限思想的意义和主要应用方向极限的思想是近代数学的一种重要思想，是极限的思想是近代数学的一种重要思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想学思想极限思想是微积分的极限思想是微积分的基本思想基本思想先秦：先秦：“周三径一周三径一“，周长，周长与直径的比例为三比一与直径的比例为三比一圆周分割的越细，内接多边形圆周分割的越细，内接多边形的边长越接近这两间的弧长，的边长越接近这两间的弧长，其内接正多边形的周长就越接其内接正多边形的周长就越接近圆近圆的的周周长长，误差就越小，误差就
2、越小AB圆周率：圆周率：3.14和和3.1416刘徽刘徽“割圆术割圆术”将圆分割为多个圆弧，将圆分割为多个圆弧，弧长弧长弦长弦长分割的弧长数量越来越多，分割的弧长数量越来越多，弧长减小，接近弦长弧长减小，接近弦长把弦长累加求和，近似代把弦长累加求和，近似代表圆周长表圆周长主要步骤：主要步骤：刘徽刘徽刘徽刘徽“割圆术割圆术”一、极限思想的意义和主要应用方向一、极限思想的意义和主要应用方向牛顿牛顿莱布尼茨莱布尼茨txvtxvvt，0平均速度：平均速度：瞬时速度：瞬时速度：牛顿、莱布尼茨和微积分牛顿、莱布尼茨和微积分12将研究过程进行无限分割将研究过程进行无限分割必要时再将分割后的变量进行累加求和必
3、要时再将分割后的变量进行累加求和无限分割无限分割无限分割再累加求和无限分割再累加求和二、无限分割二、无限分割（一）瞬时速度（一）瞬时速度【思考】如何定义瞬时速度？【思考】如何定义瞬时速度？txvvt，0平均速度：平均速度：瞬时速度：瞬时速度：对时间进行无限分割对时间进行无限分割txv速度就等于位移对时间的变化率速度就等于位移对时间的变化率二、无限分割二、无限分割（一）瞬时速度（一）瞬时速度xtO t1t2txtxvv0ttxv瞬时速度用瞬时速度用x-t图中切线的斜率表示图中切线的斜率表示：21tt二、无限分割二、无限分割（一）瞬时速度（一）瞬时速度打点计时器打点计时器气垫导轨气垫导轨二、无限分
4、割二、无限分割【思考思考】还有哪些物理概念在建立的过程中也采用了类似的思想方法呢？还有哪些物理概念在建立的过程中也采用了类似的思想方法呢？tvatvaat，0加速度加速度：瞬时加速度：瞬时加速度：vttv瞬时加速度用瞬时加速度用v-t图中切线的斜率表示图中切线的斜率表示O方法迁移方法迁移二、无限分割二、无限分割tqItqIIt，0电流：电流：瞬时电流：瞬时电流：qttq瞬时电流用瞬时电流用q-t图中切线的斜率表示图中切线的斜率表示O方法迁移方法迁移二、无限分割二、无限分割例：例：A、B是某电场中一条电场线上的两点，一点电荷仅在电场力是某电场中一条电场线上的两点，一点电荷仅在电场力作用下，沿电场
5、线从作用下，沿电场线从A点运动到点运动到B点，过此两点的速度大小分别为点，过此两点的速度大小分别为vA和和vB，其速度随时间变化的图象如图所示。，其速度随时间变化的图象如图所示。A、B两点电场强度两点电场强度分别为分别为EA和和EB，该点电荷在这两点的电势能分别为，该点电荷在这两点的电势能分别为EpA和和EpB，则，则下列判断正确的是下列判断正确的是 AEAEB，EpAEB，EpAEpB CEAEB，EpAEpB DEAEpB二、无限分割二、无限分割qEF 电电maF 合合EF电电aBAaa 瞬时加速度用瞬时加速度用v-t图中的斜率表示图中的斜率表示例：例：A、B是某电场中一条电场线上的两点，
6、一点电荷仅在电场力是某电场中一条电场线上的两点，一点电荷仅在电场力作用下，沿电场线从作用下，沿电场线从A点运动到点运动到B点，过此两点的速度大小分别为点，过此两点的速度大小分别为vA和和vB，其速度随时间变化的图象如图所示。，其速度随时间变化的图象如图所示。A、B两点电场强度两点电场强度分别为分别为EA和和EB，该点电荷在这两点的电势能分别为，该点电荷在这两点的电势能分别为EpA和和EpB，则，则下列判断正确的是下列判断正确的是 BAEE 二、无限分割二、无限分割AB，减速电场力做负功电场力做负功电势能增大电势能增大pBpAEE 例：例：A、B是某电场中一条电场线上的两点，一点电荷仅在电场力是
7、某电场中一条电场线上的两点，一点电荷仅在电场力作用下，沿电场线从作用下，沿电场线从A点运动到点运动到B点，过此两点的速度大小分别为点，过此两点的速度大小分别为vA和和vB，其速度随时间变化的图象如图所示。，其速度随时间变化的图象如图所示。A、B两点电场强度两点电场强度分别为分别为EA和和EB，该点电荷在这两点的电势能分别为，该点电荷在这两点的电势能分别为EpA和和EpB，则，则下列判断正确的是下列判断正确的是 AAEAEB，EpAEB，EpAEpB CEAEB，EpAEpB DEAEpB【思考】【思考】匀速圆周运动是变加速运动，如何推导瞬时加速度的表达式？匀速圆周运动是变加速运动，如何推导瞬时
8、加速度的表达式？tAB二、无限分割二、无限分割（二）向心加速度的推导（二）向心加速度的推导ABABLst弦弦长长，弧弧长长0tLtsvABABrvLvABtLvABrvtvan2速度的矢量三角形与矢量速度的矢量三角形与矢量式三角形式三角形ABO相似相似二、无限分割二、无限分割（二）向心加速度的推导（二）向心加速度的推导tLrvtvAB二、无限分割二、无限分割（三）非匀强电场中电场强度与电势差的关系（三）非匀强电场中电场强度与电势差的关系在匀强电场中，在匀强电场中，xExxx二、无限分割二、无限分割（二）非匀强电场中电场强度与电势差的关系（二）非匀强电场中电场强度与电势差的关系AxExEAxEx
9、EEx，0二、无限分割二、无限分割（二）非匀强电场中电场强度与电（二）非匀强电场中电场强度与电势差的关系势差的关系对空间进行无限分割对空间进行无限分割x0 x（无穷远处，（无穷远处，=0）场强等于电势对空间的变化率场强等于电势对空间的变化率某点处的场强用某点处的场强用-x图中切线图中切线的斜率表示的斜率表示二、无限分割二、无限分割例：如图所示，左图为匀强电场，右图为正点电荷产例：如图所示，左图为匀强电场，右图为正点电荷产生的电场。请同学们分别定性地画出匀强电场和点电生的电场。请同学们分别定性地画出匀强电场和点电荷电场中沿着荷电场中沿着x轴的电势随位置的变化图像。轴的电势随位置的变化图像。注意：
10、注意：将将负极板负极板接地接地作为电势作为电势0点；点电荷取无穷远处点；点电荷取无穷远处为电势为电势0点。点。xx二、无限分割二、无限分割x0匀强电场中场强大小匀强电场中场强大小和方向处处相同和方向处处相同沿场线方向，电势降低沿场线方向，电势降低斜率是定值斜率是定值负极板电势为负极板电势为0 x二、无限分割二、无限分割沿场线方向，电势降低沿场线方向，电势降低离场源电荷越远，场强越小离场源电荷越远，场强越小无穷远处无穷远处电势为电势为0 xx02rQkE斜率逐渐减小斜率逐渐减小二、无限分割二、无限分割（四）极短时间内流体柱的建模（四）极短时间内流体柱的建模例例：在：在实际生活中经常看到这种现象：
11、适当调整开关，可以看到从水龙头实际生活中经常看到这种现象：适当调整开关，可以看到从水龙头中流出的水柱越来越细，如图中流出的水柱越来越细，如图2所示，垂直于水柱的横截面可视为圆。在所示，垂直于水柱的横截面可视为圆。在水柱上取两个横截面水柱上取两个横截面A、B，经过，经过A、B的水流速度的水流速度大小分别为大小分别为v1、v2；A、B直径分别为直径分别为d1、d2，且，且d1:d2=2:1。求：水流的速度大小之比求：水流的速度大小之比v1:v2。二、无限分割二、无限分割质量守恒质量守恒mA=mBVA=VBAB4211dtvVA4222dtvVBt0水柱是一个圆柱形水柱是一个圆柱形水流速度不变水流速
12、度不变41212221:d:dv:vVA=VB三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和（一）推导匀变速直线运动的位移时间关系（一）推导匀变速直线运动的位移时间关系【思考思考】如何推导匀变速直线运动中，位移与时间的关系？如何推导匀变速直线运动中，位移与时间的关系？v-t图线与坐标轴围成的矩形面积，代图线与坐标轴围成的矩形面积，代表物体从表物体从0到到t这段时间间隔的位移。这段时间间隔的位移。vtxt三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和（一）推导匀变速直线运动的位移时间关系（一）推导匀变速直线运动的位移时间关系【思考思考】如何推导匀变速直线运动中，位移与时间的关系？如何推导匀变速直线运
13、动中，位移与时间的关系？t 0tt v-t图线与坐标轴围成的梯形面积，代表物体从图线与坐标轴围成的梯形面积，代表物体从0到到t这段时间间隔的位移。这段时间间隔的位移。三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和（一）推导匀变速直线运动的位移时（一）推导匀变速直线运动的位移时间关系间关系OAABOCS21梯形的面积：梯形的面积：tvvxt021atvvt02021attvx对时间进行累加求和对时间进行累加求和位移：位移：三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和方法迁移方法迁移a-t图中图线与横轴围成的面积，代表物体从图中图线与横轴围成的面积，代表物体从0到到t这段时间间隔的速这段时间间隔的速
14、度变化量。度变化量。【思考思考】在哪些问题中，我们还可以采用对时间积累的在哪些问题中，我们还可以采用对时间积累的 方法推导某一个物理量的大小及其表达式呢？方法推导某一个物理量的大小及其表达式呢？三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和F-t图中图线与横轴围成的面积，代表力图中图线与横轴围成的面积，代表力F从从0到到t这段时间间隔的冲量。这段时间间隔的冲量。方法迁移方法迁移三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和I-t图中图线与横轴围成的面积，代表电容器从图中图线与横轴围成的面积，代表电容器从0到到t这段时间间隔充电的电荷量。这段时间间隔充电的电荷量。方法迁移方法迁移三、无限分割再累加求
15、和三、无限分割再累加求和例：质点所受的力例：质点所受的力F随时间变化的规律如图所示，力的方向始随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上。已知终在一直线上。已知t0时质点的速度为零。在图示时质点的速度为零。在图示t1、t2、t3和和t4各时刻中，哪一时刻质点的动量最大各时刻中，哪一时刻质点的动量最大At1 Bt2 Ct3 Dt4方法迁移方法迁移三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和动量定理动量定理I=p p=pv0=00t2，I0t2t4，I0冲量是矢量冲量是矢量I4=0I2最大最大方法迁移方法迁移三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和例：质点所受的力例：质点所受的力F随时间
16、变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上。已知。已知t0时质点的速度为零。在图示时质点的速度为零。在图示t1、t2、t3和和t4各时刻中，哪一时刻质各时刻中，哪一时刻质点的动量最大点的动量最大At1 Bt2 Ct3 Dt4B方法迁移方法迁移三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和（二）根据（二）根据F-x图像求功图像求功胡克定律胡克定律：弹簧发生弹性形变时，弹力的大弹簧发生弹性形变时，弹力的大小小F跟弹簧伸长（或缩短）的长度跟弹簧伸长（或缩短）的长度x成正比，成正比，即即F=kx。变力做功变力做功【思考】如何计算弹簧从形变量为【思考】如何计
17、算弹簧从形变量为x1伸长到伸长到x2位置过程中，弹力做功的大小呢？位置过程中，弹力做功的大小呢？三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和FxOxFFxW恒力做功：恒力做功：（二）根据（二）根据F-x图像求功图像求功F-x图中图线与横轴围成的面积，代表力图中图线与横轴围成的面积，代表力F沿力的方向通过位移沿力的方向通过位移x所做的功所做的功三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和（二）根据（二）根据F-x图像求功图像求功FxOFxO0 xFxOABDCxx三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和（二）根据（二）根据F-x图像求功图像求功FxOx1x2F2F1梯形的面积：梯形的面积：功
18、：功：ABBDACS2111kxF22kxF 22212121kxkxW弹力做负功弹力做负功212121xxFFWABCD三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和方法迁移方法迁移【思考】在这样一个非匀强电场中有任意三个点【思考】在这样一个非匀强电场中有任意三个点A、B、C，其中，其中AB=BC，请根据图中所给的已知条件判断请根据图中所给的已知条件判断AB、BC之间的电势差的关系？之间的电势差的关系？xE匀强电场：匀强电场：xxE三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和【思考思考】类比推导弹簧弹力做功表达式的过程，可否利用类比推导弹簧弹力做功表达式的过程，可否利用E-x图像来比较图像来比
19、较AB、BC之间的电势差的大小？在图像中，电势差又可以怎样表示呢？之间的电势差的大小？在图像中，电势差又可以怎样表示呢？ExOxxExOxABCBCABUU 对空间进行累加求和对空间进行累加求和方法迁移方法迁移E-x图中图线与横轴围成的图中图线与横轴围成的面积，代表这段距离之内面积，代表这段距离之内的电势差。的电势差。三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和（三）计算电容器储存的电能（三）计算电容器储存的电能例例：电容器：电容器充电后就储存了能量，某同学研究电容器储存的能充电后就储存了能量，某同学研究电容器储存的能量量E与电容器的电容与电容器的电容C、电荷量、电荷量Q及电容器两极间电压及电
20、容器两极间电压U之间的关之间的关系。他从等效的思想出发，认为电容器储存的能量等于把电荷系。他从等效的思想出发，认为电容器储存的能量等于把电荷从从一个极板搬运到另一个极板过程中克服电场力一个极板搬运到另一个极板过程中克服电场力所做的功。为此他做出电容器两极间的电压所做的功。为此他做出电容器两极间的电压u随电荷量随电荷量q变化的图像。按照他的想法，下列变化的图像。按照他的想法，下列说法正确的是说法正确的是三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和例例：Au-q图线的斜率越大，电容图线的斜率越大，电容C越大越大B搬运搬运q的电量，克服电场力所做的功近似等于的电量，克服电场力所做的功近似等于q上方小
21、矩形的面积上方小矩形的面积 C对同一电容器，电容器储存的能量对同一电容器，电容器储存的能量E与两极间电压与两极间电压U成正比成正比D若电容器电荷量为若电容器电荷量为Q时储存的能量为时储存的能量为E，则，则 电容器电荷量为电容器电荷量为Q/2时储存的能量为时储存的能量为E/2C=q/uu=q/C斜率越大，电容越小斜率越大，电容越小电容器所储存的能量电容器所储存的能量E=电荷克服电场力所做的功电荷克服电场力所做的功W三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和uqOququW电势差不变：电势差不变：u-q图中图线与横轴围成的图中图线与横轴围成的面积，代表把电荷从一个极面积，代表把电荷从一个极板搬运
22、到另一个极板这段时板搬运到另一个极板这段时间内克服电场力做的功。间内克服电场力做的功。三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和电势差变化：电势差变化：ququququW21321quE21u/qCCqCuE22122将充电过程无限分割将充电过程无限分割AB三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和例例：Au-q图线的斜率越大，电容图线的斜率越大，电容C越大越大B搬运搬运q的电量，克服电场力所做的功近似等于的电量，克服电场力所做的功近似等于q上方小矩形的面积上方小矩形的面积 C对同一电容器，电容器储存的能量对同一电容器，电容器储存的能量E与两极间电压与两极间电压U成正比成正比D若电容器电荷
23、量为若电容器电荷量为Q时储存的能量为时储存的能量为E，则，则 电容器电荷量为电容器电荷量为Q/2时储存的能量为时储存的能量为E/2BCqCuE221222uE2QQ4EE对能量积累的过程对能量积累的过程Q2Q4E2U三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和例：一般来说，正常人从距地面例：一般来说，正常人从距地面1.5m高处跳下，落地时速度较小，经过腿部的缓冲，高处跳下，落地时速度较小，经过腿部的缓冲，这个速度对人是安全的，称为安全着地速度。如果人从高空跳下，必须使用降落伞才这个速度对人是安全的，称为安全着地速度。如果人从高空跳下，必须使用降落伞才能安全着陆，其原因是，张开的降落伞受到空气对
24、伞向上的阻力作用。能安全着陆，其原因是，张开的降落伞受到空气对伞向上的阻力作用。某跳伞运动员和降落伞的总质量某跳伞运动员和降落伞的总质量m=80kg，从，从h=65m高的跳伞塔上跳下，在下落过程高的跳伞塔上跳下，在下落过程中，经历了张开降落伞前自由下落、张开降落伞后减速下中，经历了张开降落伞前自由下落、张开降落伞后减速下落和匀速下落直至落地三个阶段。右图是通过固定在落和匀速下落直至落地三个阶段。右图是通过固定在跳伞运动员身上的速度传感器绘制出的从张开降落伞跳伞运动员身上的速度传感器绘制出的从张开降落伞开始做减速运动至达到匀速运动时的开始做减速运动至达到匀速运动时的v-t图像。根据图图像。根据图
25、像估算运动员做减速运动的过程中，空气阻力对降落像估算运动员做减速运动的过程中，空气阻力对降落伞做的功。伞做的功。2022121mvmvWmghtfx动能定理动能定理三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和2022121mvmvWmghtfx动能定理动能定理由图可知由图可知m26xh代入动能定理表达式代入动能定理表达式2022121mvmvWmghtfx2220802158021261080fWJ35800fW三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和（四）（四）论证电场力做功与路径无关论证电场力做功与路径无关AMqEABFWcos21WWW021WAMFW，AMqEW沿斜线沿斜线AB沿折
26、线沿折线AM B三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和（四）（四）论证电场力做功与路径无关论证电场力做功与路径无关BNA沿沿曲曲线线从从AMqExFxFxFW321无论从A到B沿怎样的路径移动电荷，静电力做功大小都是相同的，所以静电力做功与路径无关。M三、无限分割再累加求和三、无限分割再累加求和方法迁移方法迁移【思考思考】请同学们课下尝试证明重力做功与路径无关请同学们课下尝试证明重力做功与路径无关四、总结四、总结1.主要应用：主要应用：无限分割无限分割无限分割再累加求和无限分割再累加求和变量变量恒量曲线曲线直线四、总结四、总结2.经典案例经典案例：利用极限思想描述物理量的变化率利用极限思
27、想描述物理量的变化率对时间取极限（速度）对时间取极限（速度）对空间取极限（电场强度）对空间取极限（电场强度）txvvt，0 xEEx，0利用极限思想解决了变速流体问题利用极限思想解决了变速流体问题AB四、总结四、总结2.经典案例经典案例：对时间进行累加对时间进行累加对空间进行累加对空间进行累加对能量积累过程的研究对能量积累过程的研究利用无限分割化变为恒，实现了物理量对时间、空间的累利用无限分割化变为恒，实现了物理量对时间、空间的累加，对能量的积累加，对能量的积累2021attvxBCABUU quE21四、总结四、总结2.经典案例经典案例：利用无限分割化曲为直，分段研究再累加求和的方法论利用无
28、限分割化曲为直，分段研究再累加求和的方法论证物理规律证物理规律论证电场力做功与路径无关论证电场力做功与路径无关AMqEW 四、总结四、总结3.方法策略方法策略：xyAA是是y关于关于x的变化率的变化率txv例如：例如：xExyAA的平均值：的平均值：A的瞬时值：的瞬时值：xyAAx，0yxO在在y-x图中图中用用切线斜率表示切线斜率表示A（1）yx四四、总结、总结3.方法策略方法策略：（2）xAyxAyy是是A对对x的的积累积累例如：例如：W=FxI=FtQ=ItU=EdAx0画出画出A随随x变化的图像变化的图像将将x进行无限分割，使进行无限分割，使x0S图线与横轴所围图线与横轴所围可以代表可以代表y表示表示y的大小，或者比较的大小，或者比较y的大小的大小在在A-x图中图线与横轴围成的面积图中图线与横轴围成的面积可以表示可以表示y
