1、第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 非周期信号是时间上不会重复出现的信号，非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。量为有限值。第二章、信号及其描述第二章、信号及其描述这种信号的频域分析手段是这种信号的频域分析手段是傅立叶变换傅立叶变换。非周期信号可以看成是周期趋于无穷大的周期信号非周期信号可以看成是周期趋于无穷大的周期信号 TTtT TT当当)2,2(TT 趋于趋于 (-,+)(-,+)频谱的频率间隔频谱的频率间隔dT20一、傅里叶变换一、傅里叶变换2.3 2.3 瞬变非周
2、期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱ntjnnTTectx0lim)(lim ntjnTTtjnTedtetxT0022)(1limT当当)2,2(TT (-,+)(-,+)频谱的频率间隔频谱的频率间隔dT20n0 220)(1TTtjnndtetxTc其中其中非周期信号的时、频域变换非周期信号的时、频域变换傅里叶积分变换傅里叶积分变换tjtjedtetxdtx )(2)(2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱tjtjedtetxdtx )(2)(dedtetxtjtj )(21括号内对时间括号内对时间 t t 积分后，仅是频率积分后，仅是频率的函数，记作的函数，
3、记作 )(XdtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(称为称为 的傅里叶变换（的傅里叶变换（FTFT）；）；)(X)(tx称为称为 的傅里叶逆变换（的傅里叶逆变换（IFTIFT）)(tx)(X2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱f2代入代入 dtetxfXt fj 2)()(dtefXtxt fj 2)()(以上傅里叶变换的以上傅里叶变换的4 4个重要公式，可用符号简记为个重要公式，可用符号简记为 2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱数学表达式和时、频域图中也常用数学表达式和时、频域图中也常用 表示傅表示傅里叶变换的对应关系里叶变
4、换的对应关系 2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱X X（f f）一般是频率）一般是频率f f的复变函数，可以用实、虚频谱的复变函数，可以用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为形式和幅、相频谱形式写为)()()(fjefXfX)(Im)(Re)(22fXfXfX)(Re)(Im)(fXfXarctgf 2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱解：矩形窗函数解：矩形窗函数 的定义为的定义为 其频谱为其频谱为 例例1.3 1.3 求矩形窗函数，如图所示求矩形窗函数，如图所示 的频谱，并作频的频谱，并作频谱图谱图2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频
5、谱瞬变非周期信号与连续频谱dtetwfWftj2)()(222)(TTftjdtetw)(21fTjfTjeefj)(21)sin(fTjfTjeejfT dtetxfXt fj 2)()(利用欧拉公式，代入上式后利用欧拉公式，代入上式后 2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱非周期性信号和周期信号虽然都可用无限个正弦信非周期性信号和周期信号虽然都可用无限个正弦信号之和来表示，但号之和来表示，但周期信号用傅里叶级数来描述，各频率分量的频率是周期信号用傅里叶级数来描述，各频率分量的频率是离散的，相邻分量的频率相差一个或几个基频数。离散的，相邻分量的频率相差一个或几个基频
6、数。非周期信号用傅里叶积分来描述，其频率分量的频率非周期信号用傅里叶积分来描述，其频率分量的频率是连续的。是连续的。小结小结 :2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱对比对比:方波谱方波谱2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱实验：典型信号的频谱分析实验：典型信号的频谱分析点击图片点击图片进入进入2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱atetx)(t t0 x x(t t)A-A0000)(tatetxatdtetxXtj)()(dteetjat dtetja)(0)(dtetja220)(11ajajaejatja
7、解解:例例1.4 1.4 求指数函数求指数函数 （a a0 0，t t00）的）的频谱（频谱（t t0 0，x x(t t)0 0）2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱aarctan)(221)(ax幅频 相频 X()1/a0()/20-/2幅频图幅频图相频图相频图2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱为实偶函数为实偶函数 若为实偶函数，则若为实偶函数，则)(fX)(tx)(tx若为实奇函数，则若为实奇函数，则)(fX为虚奇函数为虚奇函数 二二 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质1.1.奇偶虚实性奇偶虚实性为虚为虚偶偶函数函数 若为若为虚虚偶
8、函数，则偶函数，则)(fX)(tx)(tx若为虚奇函数，则若为虚奇函数，则)(fX为实奇函数为实奇函数 2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱证明证明:由于由于若以若以-t t代替代替t t，有，有 再将再将t t与与f f互换，则有互换，则有 对称性可表示为图：对称性可表示为图：2.2.对称性对称性 若若 x(t)X(f)(t)X(f)，则，则 X(t)X(t)x(-f)(-f)2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱证明证明:若若k k为常数，则为常数，则 这个性质说明，当时域尺度压缩这个性质说明，当时域尺度压缩(k k1)1)时，对应的频
9、时，对应的频域展宽且幅值减小；当时域尺度展宽域展宽且幅值减小；当时域尺度展宽(k k1)1)时，对应的频域展宽且幅值减小；当时域尺度展宽(k1)时，对应的频域压缩且幅值增加 如工程测试利用磁带来记录信号。当慢录快放时，时间尺度被压缩，虽如工程测试利用磁带来记录信号。当慢录快放时，时间尺度被压缩，虽可以提高处理信号的效率，但重放的信号频带会展宽，倘若后续处理信号设可以提高处理信号的效率，但重放的信号频带会展宽，倘若后续处理信号设备的通频带不够宽，将导致失真。反之，快录慢放时，时间尺度被扩展，重备的通频带不够宽，将导致失真。反之，快录慢放时，时间尺度被扩展，重放的信号频带会变窄，对后续处理设备的通
10、频带要求可降低，但这是以牺牲放的信号频带会变窄，对后续处理设备的通频带要求可降低，但这是以牺牲信号处理的效率为代价信号处理的效率为代价 2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱证明证明:若若 t t0 0 为常数，则为常数，则 4.时移和频移性质时移和频移性质 若若x(t)X(f)，则则 x(tt0)ej2ft0 X(f)x(t)ej2f0t X(f f0)2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值 t t0 0 时，频时，频谱函数将乘因子谱函数将乘因子 ,即只
11、改变相频谱，不会改变幅频谱。即只改变相频谱，不会改变幅频谱。2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱02 ftje函数函数)(tx与与)(ty的卷积记作的卷积记作)(tx)(ty定义为定义为)()(tytx dtyx)()(这样，若),()(11fXtx),()(22fXtx则有 )()()()(2121fXfXtxtx)()()()(2121fXfXtxtx 通常卷积的积分计算比较困难，但是利用卷积性质可以使信号通常卷积的积分计算比较困难，但是利用卷积性质可以使信号分析大为简化，因此卷积性质在信号分析中具有十分重要的意分析大为简化，因此卷积性质在信号分析中具有十分重要
12、的意义义 5 5 卷积性质卷积性质2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱若若 则则),()(fXtx)(2)(ffXjdttdx)()2()(fXfjdttxdnnn)(21)(fXfjdttxt和和以上两个性质表明，在振动测试中，如果测得同以上两个性质表明，在振动测试中，如果测得同一对象的位移、速度、加速度中的任意一个参数一对象的位移、速度、加速度中的任意一个参数的频谱，便可获得其余两参数的频谱。的频谱，便可获得其余两参数的频谱。6 6 微分性质和积分性质微分性质和积分性质2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种
13、典型信号的频谱(一一)矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱)(,sin,sin)(sintttortttc2.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 (二二)函数函数:是一个理想函数，是物理不可实现信号。是一个理想函数，是物理不可实现信号。0,00,)(ttt1)(dtttS(t)tS(t)tS(t)()(lim0tSt 1/三三 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱特性：特性：1 1）乘积特性（抽样）乘积特性（抽样）f ttft f tt tf tt t()()()(),()()()()00002 2）积分特性（筛选）积分特性（筛选）)()()(),0()()(00tfdt
14、tttffdtttff(t)(t)f(0)f(t0)tt(t-t0)三三 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱3)3)卷积特性卷积特性证证:函数函数x(t)x(t)和和函数卷积的结果，就是函数卷积的结果，就是x(t)x(t)图形搬迁图形搬迁(以发生以发生函数的位置作为新坐标原点的重新构图函数的位置作为新坐标原点的重新构图)三三 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱)()()()()()()(txdtxdtxttx)()()()()()()(0000ttxdttxdttxtttx)()()(txttx)()()(00ttxtttx三三 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱对对(t)(t)取傅里叶
15、变换取傅里叶变换 利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对 (t)11 (f)时时 域域 频频 域域(f-f0)(t-t0)02 ftje tfje02 函数的频谱函数的频谱1)()(02edtetfftj三三 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱dfetftj21)(1.1.余弦函数的频谱余弦函数的频谱 利用欧拉公式，余弦函数可以表达为利用欧拉公式，余弦函数可以表达为 :其傅里叶变换为其傅里叶变换为 :(三三)谐波函数的频谱谐波函数的频谱三三 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱(t)11 (f)时时 域域 频频 域域(f-f0)(t-t0)02 ftje tfje02 同理，利用欧拉公式及其傅里叶变换有：同理，利用欧拉公式及其傅里叶变换有：2.2.正弦函数的频谱正弦函数的频谱三三 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱例:已知调幅波 其中 试求：1）绘出调制信号与调幅波的频谱 2）所包含的各分量的频率及幅值；调制信号频谱图：调幅波的频谱图：各分量频率及幅值为：各分量频率及幅值为：习题习题1：从下面的功率谱中读出信号的主要频率成分。：从下面的功率谱中读出信号的主要频率成分。500Hz010V习题习题2：1-3 P272.3 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱
