1、例例1 设口袋里装有设口袋里装有 8 个球，个球，5 个红的，个红的，3 个白的。先从中随机个白的。先从中随机取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。试求以下事件的概率：试求以下事件的概率：A：第一次取的是白球。：第一次取的是白球。B：第二次取的是白球。：第二次取的是白球。解：解：3,8P A 3 35 4298 88 864P BP ABP AB3388P AB 其中：其中：P A P B A记作记作5488P AB 记作记作 P A P B A 条件概率及乘法公式条件概率及乘法公式乘法公式乘法公式 P ABP A P B A 0P ABP
2、 B AP AP A当当 时时 P ABP B P A B 0P ABP A BP BP B当当 时时例例2 为防止意外，矿出内设有两种报警系统，单独使用时，为防止意外，矿出内设有两种报警系统，单独使用时，系统系统 A 有效的概率为有效的概率为0.92，系统，系统 B 有效的概率为有效的概率为0.93，在系统在系统 A 失灵的情况下，系统失灵的情况下，系统 B 有效的概率为有效的概率为0.85，（1）C：发生意外时，这两个系统至少一个有效。：发生意外时，这两个系统至少一个有效。求以下事件的概率。求以下事件的概率。（2）D：系统：系统 B 失灵的情况下，系统失灵的情况下，系统 A 有效。有效。解
3、：设解：设 A 表示表示“A 系统有效系统有效”，B 表示表示“B 系统有效系统有效”。由题目已知：由题目已知：0.92,0.93,0.85P AP BP B A 1P BAP BP ABP B AP AP A再由：再由：0.862P AB例例2 为防止意外，矿出内设有两种报警系统，单独使用时，为防止意外，矿出内设有两种报警系统，单独使用时，系统系统 A 有效的概率为有效的概率为0.92，系统，系统 B 有效的概率为有效的概率为0.93，在系统在系统 A 失灵的情况下，系统失灵的情况下，系统 B 有效的概率为有效的概率为0.85，（1）C：发生意外时，这两个系统至少一个有效。：发生意外时，这两
4、个系统至少一个有效。求以下事件的概率。求以下事件的概率。（2）D：系统：系统 B 失灵的情况下，系统失灵的情况下，系统 A 有效。有效。解：设解：设 A 表示表示“A 系统有效系统有效”，B 表示表示“B 系统有效系统有效”。由题目已知：由题目已知：0.92,0.93,0.85P AP BP B A.0.862P AB 10.988P CP ABP AP BP AB 20.82861P ABP AP ABP A BP BP B乘法公式还可以推广至有限个事件的乘积的情形乘法公式还可以推广至有限个事件的乘积的情形123.nP A A AA例例3 在一个化妆舞会上，有在一个化妆舞会上，有 20 个男
5、同学，个男同学，10 个女同学，试问：个女同学，试问：其中男同学其中男同学GG请的第三个舞伴还不是女同学的概率。请的第三个舞伴还不是女同学的概率。解：解：“请的第三个舞伴还不是女同学请的第三个舞伴还不是女同学”相当于相当于“第一、第二、第一、第二、第三次请的都是男同学第三次请的都是男同学”。设设 表示表示“第第 次请的是男同学次请的是男同学”。iAi则所求事件的概率是：则所求事件的概率是：123121312P A A AP A P A A P A A A1918170.265292827 121312121.nnP A P A A P A A AP A A AA凡事不过三凡事不过三例例4 在空
6、战中，甲机向乙机开火，击落乙机的概率为在空战中，甲机向乙机开火，击落乙机的概率为 0.4，若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.5，若甲机仍未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为若甲机仍未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为0.6，求这几个回合中，（求这几个回合中，（1）甲机被击落的概率；）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率。）乙机被击落的概率。解：设解：设 A 表表“乙机受第一次袭击就被击落乙机受第一次袭击就被击落”B 表表“甲机被击落甲机被击落”C 表表“乙机受第二次进攻时被击落乙机受第二次进攻时被击落”则则“甲机被击落甲机被
7、击落”的概率的概率 0.6 0.50.3P BP AB“乙机被击落乙机被击落”的概率的概率 P AP CP AP ABC0.40.6 0.5 0.60.58例例1 设口袋里装有设口袋里装有 8 个球，个球，5 个红的，个红的，3 个白的。先从中随机个白的。先从中随机取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。试求以下事件的概率：试求以下事件的概率：A：第一次取的是白球。：第一次取的是白球。B：第二次取的是白球。：第二次取的是白球。解：解：3,8P A 3 35 4298 88 864P BP ABP AB回顾例回顾例1：B 的出现与的出现与 A
8、和和 A 均有关，所以把均有关，所以把 B 分解为分解为 A B+A B去解决问题。去解决问题。全概率公式全概率公式则对任一随机事件则对任一随机事件 B，有，有 1niiiP BP A P B A（全概率公式）（全概率公式）证明：证明：12.nP BP BP B AAA 12.nP BABABA1niiiP A P B A12.nP BAP BAP BA定理定理 设设 构成一个完备事件组，且诸构成一个完备事件组，且诸12,.nA AA0,iP A 例例5 设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，分别占分别占0000000095
9、.5,2,1.5,1,已知由一、二、三、已知由一、二、三、四等种子长出的麦穗含四等种子长出的麦穗含 50 粒以上麦粒的概率分别为粒以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05。求由这些种子所结的麦穗含。求由这些种子所结的麦穗含 50 粒以上粒以上麦粒的概率。麦粒的概率。解：设解：设 表示表示“此种子是第此种子是第 等的等的”。iAi1,2,3,4i 表示表示“所结的麦穗含所结的麦穗含 50 粒以上麦粒粒以上麦粒”B 1234P BP ABA BA BA B则则0.955 0.50.02 0.150.48250.015 0.10.01 0.0541iiiP A P B A甲盒甲盒乙盒乙
10、盒丙盒丙盒3 白球白球2 红球红球4 白球白球3 红球红球5 白球白球4 红球红球取取 1 球球取取 1 球球例例6 如上图所示，求小孩取到红球的概率。如上图所示，求小孩取到红球的概率。取取 1 球球解：设解：设 A 表示表示“从甲盒中取出红球从甲盒中取出红球”，C 表示表示“从丙盒中取出红球从丙盒中取出红球”。,BABABCBCBC则有：则有：B 表示表示“从乙盒中取出红球从乙盒中取出红球”，甲盒甲盒乙盒乙盒丙盒丙盒3 白球白球2 红球红球4 白球白球3 红球红球5 白球白球4 红球红球取取 1 球球取取 1 球球取取 1 球球例例6 如上图所示，求小孩取到红球的概率。如上图所示，求小孩取到
11、红球的概率。解：解：.P BP A P B AP A P B A243317585840 23140P BP B 甲盒甲盒乙盒乙盒丙盒丙盒3 白球白球2 红球红球4 白球白球3 红球红球5 白球白球4 红球红球取取 1 球球取取 1 球球取取 1 球球例例6 如上图所示，求小孩取到红球的概率。如上图所示，求小孩取到红球的概率。解：解：.17,40P B 23140P BP B P CP B P C BP B P C B17523417740104010400M 白球白球N 红球红球M 白球白球N 红球红球.M 白球白球N 红球红球取取 1 球球K 个盒个盒 如上图所示，如上图所示，怎么求小孩取
12、怎么求小孩取到红球的概率到红球的概率?答案：答案：NPMN方法：数学归纳法。方法：数学归纳法。取取 1 球球取取 1 球球取取 1 球球 有些问题，利用它的有些问题，利用它的层次层次感去看问题是方便的，如前面感去看问题是方便的，如前面各例，但有些问题则适宜各例，但有些问题则适宜整个面整个面地去看。地去看。例如：某班有例如：某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会 门票门票,求第二位同学求第二位同学MM抽到门票的概率抽到门票的概率.方法一：第二位同学方法一：第二位同学MM抽到门票的概率为抽到门票的概率为32173320192019203 19!320!
13、20方法二：第二位同学方法二：第二位同学MM抽到门票的概率为抽到门票的概率为若若MM 同学排得比较后，同学排得比较后，则用此法描述不便。则用此法描述不便。MM 同学排哪都无所谓。同学排哪都无所谓。例例5*设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，分别占分别占0000000095.5,2,1.5,1,已知由一、二、三、已知由一、二、三、四等种子长出的麦穗含四等种子长出的麦穗含 50 粒以上麦粒的概率分别为粒以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05。若某粒种子所结的麦穗含若某粒种子所结的麦穗含 50 粒以上粒以上表示表
14、示“所结的麦穗含所结的麦穗含 50 粒以上麦粒粒以上麦粒”B 41iiiP BP A P B A则则0.4825麦粒，问它是一等品的概率是多少？麦粒，问它是一等品的概率是多少？1P A B所求的概率为：所求的概率为：111P A P B AP ABP BP B0.955 0.50.98960.4825解：设解：设 表示表示“此种子是第此种子是第 等的等的”。iAi1,2,3,4i 设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，分别占分别占0000000095.5,2,1.5,1,已知由一、二、三、已知由一、二、三、四等种子长出的麦穗
15、含四等种子长出的麦穗含 50 粒以上麦粒的概率分别为粒以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05。表示表示“所结的麦穗含所结的麦穗含 50 粒以上麦粒粒以上麦粒”B设设 表示表示“此种子是第此种子是第 等的等的”。iAi1,2,3,4i 在这个问题中在这个问题中则则 称为称为验前概率验前概率，10.955P A10.9896P A B 称为称为验后概率。验后概率。求验后概率的公式求验后概率的公式 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式（贝叶斯公式）（贝叶斯公式）1kkkniiiP AP B AP A BP A P B A1kkniiiP AP B AP A P B A kkkkP AP
16、 B AP A BP A BP BP B证明：证明：定理定理 设设 构成一个完备事件组，且诸构成一个完备事件组，且诸12,.nA AA0,iP A 则对任一概率不为零的随机事件则对任一概率不为零的随机事件 B，有有 0P B 例例7 某保险公司针对人群中的某一类事故进行一项经营分析，某保险公司针对人群中的某一类事故进行一项经营分析，认为人可以分为认为人可以分为“易出事故的易出事故的”和和“比较谨慎的比较谨慎的”两类。前者两类。前者在一年内发生一起事故的概率是在一年内发生一起事故的概率是0.06，而后者在一年内发，而后者在一年内发发生一起事故的概率是发生一起事故的概率是0.02（假定不存在一年内
17、发生两次（假定不存在一年内发生两次以上事故的情形），如果第一类人占人群的以上事故的情形），如果第一类人占人群的 ，那么，那么，0030一保险新客户在购买保单的一年内将发生一起事故的概一保险新客户在购买保单的一年内将发生一起事故的概率是多少？若他（她）在一年内真发生了一起事故，问率是多少？若他（她）在一年内真发生了一起事故，问他（她）是易出事故的人的概率是多少？他（她）是易出事故的人的概率是多少？解：设解：设 A 表示表示“该人属于易出事故的那一类该人属于易出事故的那一类”，B 表示表示“该人出事故了该人出事故了”。10.3 0.060.7 0.020.032P B 则：则：2P A P B A
18、P A BP B0.3 0.060.032安全第一！安全第一！0.5625例例8 艾滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是否有携带艾滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是否有携带 艾滋病病毒。设这种试验的假阴性比例为艾滋病病毒。设这种试验的假阴性比例为 ，假阳性比，假阳性比 例为例为 。据统计人群中携带病毒者约占。据统计人群中携带病毒者约占 ，若某人的，若某人的 血液检验结果呈阳性，试求该人携带艾滋病病毒的概率。血液检验结果呈阳性，试求该人携带艾滋病病毒的概率。0050010001解：设解：设 A 表示表示“该人携带艾滋病病毒该人携带艾滋病病毒”，B 表示表示“该人血液检验结果呈阳性该人血液检验结果呈阳性”。则：则：0.001,0.95,0.01.P AP B AP B A所求的概率为：所求的概率为：P A B P A P B AP ABP BP B0.001 0.950.08680.001 0.950.999 0.01点解？点解？
