1、第一讲坐标系一平面直角坐标系2022-12-1【自主预习自主预习】1.1.直角坐标系直角坐标系(1)(1)数轴数轴.定义定义:规定了原点、正方向和规定了原点、正方向和_的直线的直线.对应关系对应关系:数轴上的点与数轴上的点与_之间一一对应之间一一对应.单位长度单位长度实数实数2022-12-1(2)(2)直角坐标系直角坐标系.定义定义:在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系简称直角坐标系.相关概念相关概念:数轴的正方向数轴的正方向:水平放置的数轴水平放置的数轴_的方向、竖直放的方向、竖直放置的
2、数轴置的数轴_的方向分别是数轴的正方向的方向分别是数轴的正方向.向右向右向上向上2022-12-1x x轴或横轴轴或横轴:坐标轴坐标轴_的数轴的数轴.y y轴或纵轴轴或纵轴:坐标轴坐标轴_的数轴的数轴.坐标原点坐标原点:坐标轴的坐标轴的_._.对应关系对应关系:平面直角坐标系内的点与平面直角坐标系内的点与_之间一一对应之间一一对应.水平水平竖直竖直公共原点公共原点O O有序实数对有序实数对(x,y)(x,y)2022-12-1公式公式:设平面直角坐标系中设平面直角坐标系中,点点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),线段线段P P1 1P
3、P2 2的中点为的中点为P,P,填表填表:两点间的距离公式两点间的距离公式中点中点P P的坐标公式的坐标公式|P|P1 1P P2 2|=_|=_221212(xx)(yy)1212xxyy(22，）2022-12-12.2.平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换设点设点P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换在变换:_:_的作用下的作用下,点点P(x,y)P(x,y)对应到点对应到点P(x,P(x,y),y),称称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称简称伸缩变换伸缩变换.xx(0)yy(0)，20
4、22-12-1【即时小测即时小测】1.1.函数函数y=ln|x|y=ln|x|的图象为的图象为()2022-12-1【解析解析】选选D.D.函数函数y=ln|x|y=ln|x|是偶函数是偶函数,图象关于图象关于y y轴对称轴对称,又又y=lnxy=lnx在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数,故选故选D.D.2022-12-12.2.曲线曲线C C经过伸缩变换经过伸缩变换 后后,对应曲线的方程对应曲线的方程为为:x:x2 2+y+y2 2=1,=1,则曲线则曲线C C的方程为的方程为()1xx,2y3y22222222xyA.9y1 B.4x149xyC.1 D.4x9y1492022-
5、12-1【解析解析】选选A.A.曲线曲线C C经过伸缩变换经过伸缩变换 后后,对应对应曲线的方程为曲线的方程为xx2 2+y+y2 2=1=1,把代入得到把代入得到:+9y:+9y2 2=1.=1.1xx,2y3y2x42022-12-1【知识探究知识探究】探究点探究点平面直角坐标系中点的位置平面直角坐标系中点的位置1.1.平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点?提示提示:平面直角坐标系内的点平面直角坐标系内的点,第一象限符号全正第一象限符号全正,第二第二象限横坐标为负象限横坐标为负,纵坐标为正纵坐标为正,第三象限全负第三象限全负,第四象限第四象限横坐
6、标为正横坐标为正,纵坐标为负纵坐标为负,即一三同号即一三同号,二四异号二四异号.2022-12-12.2.伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗?提示提示:不一定不一定.伸缩变换对原点的位置没有影响伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会但是会改变除原点外的点的坐标和位置改变除原点外的点的坐标和位置,但是象限内的点伸缩但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限变换后仍在原来的象限.2022-12-1【归纳总结归纳总结】1.1.平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和
7、位置的平台状和位置的平台.建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,常常利用垂直常常利用垂直直线为坐标轴直线为坐标轴,充分利用图形的对称性等特征充分利用图形的对称性等特征.2022-12-12.2.伸缩变换的类型与特点伸缩变换的类型与特点伸缩变换包括点的伸缩变换伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换以及曲线的伸缩变换,曲曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系.特别提醒特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个所以一个实数就
8、能确定数轴上一个点的位置实数就能确定数轴上一个点的位置.2022-12-1类型一类型一坐标法求轨迹方程坐标法求轨迹方程【典例典例】已知已知ABCABC的边的边ABAB长为长为2a,2a,若若BCBC的中线为定长的中线为定长m,m,求顶点求顶点C C的轨迹方程的轨迹方程.2022-12-1【解题探究解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么求轨迹方程的一般步骤是什么?提示提示:建系建系-设点设点-列条件列条件-得方程、整理得方程、整理.2022-12-1【解析解析】由题意由题意,以线段以线段ABAB的中点为原点的中点为原点,AB,AB边所在的边所在的直线为直线为x x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系,
9、如图所示如图所示,则则A(-a,0),B(a,0).A(-a,0),B(a,0).设设C(x,y),C(x,y),则线段则线段BCBC的中点为的中点为 因为因为|AE|=m,|AE|=m,所以所以 x a yE(,).2222x ay(a)()m22，2022-12-1化简得化简得(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2=4m=4m2 2.由于点由于点C C在直线在直线ABAB上时上时,不能构成三角形不能构成三角形,故去掉曲线与故去掉曲线与x x轴的两个交点轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是从而所求的轨迹方程是(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2=4m=4m2 2(y0).(y0)
10、.(建系不同建系不同,轨迹方程不同轨迹方程不同)2022-12-1【方法技巧方法技巧】1.1.建立平面直角坐标系的技巧建立平面直角坐标系的技巧(1)(1)如果平面几何图形有对称中心如果平面几何图形有对称中心,可以选对称中心为可以选对称中心为坐标原点坐标原点.(2)(2)如果平面几何图形有对称轴如果平面几何图形有对称轴,可以选择对称轴为坐可以选择对称轴为坐标轴标轴.2022-12-1特别提醒特别提醒:建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上标轴上.2022-12-12.2.运用解析法解决实际问题的步骤运用解析法解决实际问题的步骤(1)(1)建系建系建立平
11、面直角坐标系建立平面直角坐标系.建系原则是利于运建系原则是利于运用已知条件用已知条件,使表达式简明使表达式简明,运算简便运算简便.因此因此,要充分利要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴用已知点和已知直线作为原点和坐标轴.(2)(2)建模建模选取一组基本量选取一组基本量,用字母表示出题目涉及用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程的点的坐标和曲线的方程.2022-12-1(3)(3)运算运算通过运算通过运算,得到所需要的结果得到所需要的结果.(4)(4)回归回归回归到实际问题作答回归到实际问题作答.2022-12-1【变式训练变式训练】1.1.已知点已知点(5-m,3-2m)(5-m,3
12、-2m)不在第四象限不在第四象限,求实求实数数m m的取值范围的取值范围.2022-12-1【解析解析】若点若点(5-m,3-2m)(5-m,3-2m)在第四象限在第四象限,则则5-m0,5-m0,且且3-2m0,3-2m0,解得解得 m5,m0,00,02).2022-12-1【解析解析】在直角坐标系中在直角坐标系中,点点(2016,-2016)(2016,-2016)到原点到原点(极极点点)的距离为的距离为2016 ,2016 ,极角极角=+2k,kZ,=+2k,kZ,因为因为02,000时时,点点P(,)P(,)在极角在极角的终边上的终边上,|OP|=;|OP|=;当当00,00,02,
13、那么除极点外的任意一那么除极点外的任意一点都有唯一的极坐标点都有唯一的极坐标(,)(,)与之对应与之对应,反之亦然反之亦然.2022-12-1【归纳总结归纳总结】1.1.极坐标系的四要素极坐标系的四要素极点极点;极轴极轴;长度单位长度单位;角度单位和它的正方向角度单位和它的正方向.四者缺一不可四者缺一不可.2.2.在极坐标系中找点的位置在极坐标系中找点的位置,应先确定极角应先确定极角,再确定极再确定极径径,最终确定点的位置最终确定点的位置.2022-12-1特别提醒特别提醒:若已知点的极坐标若已知点的极坐标(,),(,),则点是确定的则点是确定的,反之反之,若已知点若已知点,则其极坐标不确定则
14、其极坐标不确定.2022-12-1类型一类型一极坐标系与点的极坐标极坐标系与点的极坐标【典例典例】在极坐标系中在极坐标系中,点点P P 到极点的距离为到极点的距离为_,_,点点P P 到极轴的距离为到极轴的距离为_._.(2)6，(2)6，2022-12-1【解题探究解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离怎样求点到极点和极轴的距离?提示提示:点到极点的距离等于极径点到极点的距离等于极径,点到极轴的距离转化点到极轴的距离转化为三角函数计算为三角函数计算.2022-12-1【解析解析】因为在极坐标系中因为在极坐标系中,点点P ,=2,=,P ,=2,=,所所以点以点P P到极点的距离为到极点的距离为
15、2,2,点点P P到极轴的距离为到极轴的距离为2sin =1.2sin =1.答案答案:2 21 1(2)6，662022-12-1【方法技巧方法技巧】确定点的极坐标的方法确定点的极坐标的方法点点P P的极坐标的一般形式为的极坐标的一般形式为(,+2k),kZ,(,+2k),kZ,则则(1)(1)为点为点P P到极点的距离到极点的距离,是个定值是个定值.(2)(2)极角为满足极角为满足+2k,kZ+2k,kZ的任意角的任意角,不唯一不唯一,其中其中是始边在极轴上是始边在极轴上,终边过终边过OPOP的任意一个角的任意一个角,一般取绝对一般取绝对值较小的角值较小的角.2022-12-1【变式训练变
16、式训练】1.1.在极坐标系中在极坐标系中,极轴的反向延长线上一极轴的反向延长线上一点点M M与极点的距离为与极点的距离为2,2,则点则点M M的极坐标的下列表示的极坐标的下列表示:(2,0);(2,0);(2,);(2,);(2,-);(2,-);(2,2k)(kZ).(2,2k)(kZ).其中其中,正确表示的序号为正确表示的序号为_._.2022-12-1【解析解析】由于极轴的反向延长线上一点由于极轴的反向延长线上一点M M与极点的距离与极点的距离为为2,2,极角的始边为极角的始边为Ox,Ox,终边与平角的终边相同终边与平角的终边相同,故点故点M M的的极坐标为极坐标为(2,+2k)(kZ)
17、,(2,+2k)(kZ),故正确故正确.答案答案:2022-12-12.2.如图如图,在极坐标系中在极坐标系中,(1)(1)作出以下各点作出以下各点:(2)(2)求点求点E,FE,F的极坐标的极坐标(,)(0,R).(,)(0,R).33A(50)B(3)C(4)D(2).622，2022-12-1【解析解析】(1)(1)如图如图,在极坐标系中在极坐标系中,点点A,B,C,DA,B,C,D的位置是的位置是确定的确定的.(2)(2)由于点由于点E E的极径为的极径为4,4,在在0,2)0,2)内内,极角极角 又因为点的极坐标为又因为点的极坐标为(,)(0,R),(,)(0,R),76，2022-
18、12-1所以点所以点E E的极坐标为的极坐标为 同理同理,点点F F的极坐标为的极坐标为 7(42k)k Z.6，2(32k)k Z.3，2022-12-1类型二类型二极坐标系中两点间的距离极坐标系中两点间的距离【典例典例】在极坐标系中在极坐标系中,点点O O为极点为极点,已知点已知点 求求|AB|AB|的值的值.A(6)6，2B(6)3，2022-12-1【解题探究解题探究】根据点根据点A,BA,B在极坐标系中的位置关系在极坐标系中的位置关系,可可得得AOBAOB为多少度为多少度?提示提示:AOB=90AOB=90.2022-12-1【解析解析】因为因为 故故AOB=90AOB=90,故故
19、2362 ，22AB666 2.2022-12-1【延伸探究延伸探究】1.1.本例已知条件不变本例已知条件不变,试求试求AOBAOB的面积的面积.2022-12-1【解析解析】因为因为 故故AOB=90AOB=90,所以所以S SAOBAOB=2362 ，16 6 18.2 2022-12-12.2.本例已知条件不变本例已知条件不变,试求线段试求线段ABAB中点的极坐标中点的极坐标.2022-12-1【解析解析】设线段设线段ABAB中点中点M M的极坐标为的极坐标为(,),(,),则则 故线段故线段ABAB中点中点M M的极坐标为的极坐标为 2563212，2366 cos()3 22 ，5(
20、3 2).12，2022-12-1【方法技巧方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距点与极坐标的对应关系以及两点间的距离公式离公式(1)(1)在极坐标系中在极坐标系中,点的极坐标不唯一点的极坐标不唯一,这是由于与角这是由于与角1 1的终边相同的角的集合为的终边相同的角的集合为|=|=1 1+2k,kZ.+2k,kZ.如果限定如果限定0,0,2),0,0,2),那么那么,除极点外除极点外,点与有点与有序数对序数对(,)(,)可以建立一一对应关系可以建立一一对应关系.2022-12-1(2)(2)在极坐标系中在极坐标系中,如果如果P P1 1(1 1,1 1),P),P2 2(2 2,2 2)
21、,),那么那么两点间的距离公式两点间的距离公式 的两种的两种特殊情形为特殊情形为:当当1 1=2 2+2k,kZ+2k,kZ时时,|P,|P1 1P P2 2|=|=|1 1-2 2|;|;当当1 1=2 2+2k,kZ+2k,kZ时时,|P,|P1 1P P2 2|=|=|1 1+2 2|.|.221 2121 212|PP|2cos()2022-12-1【变式训练变式训练】1.(20161.(2016南昌高二检测南昌高二检测)在极坐标系中在极坐标系中,两点两点 间的距离是间的距离是()A.A.B.B.C.6C.6D.4D.457A(5,)B(7,)412，41392022-12-1【解析解
22、析】选选B.|AB|=B.|AB|=22121 2122cos()39.2022-12-12.2.在极坐标系中在极坐标系中,若若ABCABC的三个顶点为的三个顶点为 判断三角形的形状判断三角形的形状.55A(5)B(8)26，7C(3)6，2022-12-1【解析解析】所以所以ABCABC是等边三角形是等边三角形.22255AB582 5 8 cos()4926 ，22222257AC532 5 3 cos()492657BC832 8 3 cos()4966 ，2022-12-1自我纠错自我纠错已知距离求点的极坐标已知距离求点的极坐标【典例典例】已知在极坐标系中已知在极坐标系中,O,O为极点
23、为极点,B(,B(,),OAOB,|AB|=5,0,0,2),),OAOB,|AB|=5,0,0,2),求点求点B B的极坐的极坐标标.A(3)6，2022-12-1【失误案例失误案例】2022-12-1分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:出错的根本原因是对题目中的垂直条件理解不全出错的根本原因是对题目中的垂直条件理解不全面面,导致确定极角时漏掉一种情况导致确定极角时漏掉一种情况.正确解答过程如下正确解答过程如下:2022-12-1【解析解析】由由OAOB,OAOB,得得 kZ,kZ,即即 kZ,kZ,由由0,2),0,2),得得 由由
24、得得故故=4.=4.所以点所以点B B的极坐标为的极坐标为 2k62，2k62，2533或，2222OBABOA534，25(44.33，）或（，）|AB|5，2022-12-12022-12-1三简单曲线的极坐标方程2022-12-1【自主预习自主预习】1.1.极坐标方程与平面曲线极坐标方程与平面曲线在极坐标系中在极坐标系中,方程方程f(,)=0f(,)=0叫做平面曲线叫做平面曲线C C的极坐的极坐标方程标方程,满足条件满足条件:(1)(1)平面曲线平面曲线C C上任意一点的极坐标中上任意一点的极坐标中_满足满足方程方程f(,)=0.f(,)=0.至少有一个至少有一个2022-12-1(2)
25、(2)坐标适合方程坐标适合方程_的点都在曲线的点都在曲线C C上上.f(,)=0f(,)=02022-12-12.2.圆的极坐标方程圆的极坐标方程圆心位置圆心位置极坐标方程极坐标方程图形图形圆心在极点圆心在极点(0(0，0)0)=_=_(02)(02)圆心在点圆心在点(r(r，0)0)=_=_ 圆心在点圆心在点(r(r，)=_=_(0)(0)2r r()22 2rcos2rcos2rsin2rsin2022-12-1圆心位置圆心位置极坐标方程极坐标方程图形图形圆心在点圆心在点(r(r，)=_=_ 圆心在点圆心在点=_=_(-0)(-0)3(r)2，-2rcos-2rcos3()22-2rsin
26、-2rsin2022-12-13.3.直线的极坐标方程直线的极坐标方程(R)(R)直线位置直线位置极坐标方程极坐标方程图形图形过极点过极点,倾斜倾斜角为角为(1)=_(R)(1)=_(R)或或=_(R)=_(R)(2)=(0)(2)=(0)和和=+(0)=+(0)+2022-12-1直线位置直线位置极坐标方程极坐标方程图形图形过点过点(a,0),(a,0),且且与极轴垂直与极轴垂直_=a_=a 过点过点 且且与极轴平行与极轴平行_=a(0)_=a(00),(a0),则圆则圆C C的极坐标方程是的极坐标方程是()A.=-2asinA.=-2asinB.=2asinB.=2asinC.=-2aco
27、sC.=-2acosD.=2acosD.=2acos(a)2，2022-12-1【解析解析】选选B.B.由于圆心的极坐标是由于圆心的极坐标是 ,化为直角坐标化为直角坐标为为(0,a),(0,a),半径为半径为a,a,故圆的直角坐标方程为故圆的直角坐标方程为x x2 2+(y-a)+(y-a)2 2=a=a2 2,再化为极坐标方程为再化为极坐标方程为=2asin.=2asin.(a)2，2022-12-12.(20162.(2016西安高二检测西安高二检测)将极坐标方程将极坐标方程=2cos=2cos化成化成直角坐标方程为直角坐标方程为_._.【解析解析】由由=2cos=2cos得得2 2=2c
28、os,=2cos,所以所以x x2 2+y+y2 2-2x=0.-2x=0.答案答案:x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=02022-12-1类型二类型二直线的极坐标方程直线的极坐标方程【典例典例】在极坐标系中在极坐标系中,求过点求过点(2,)(2,)且与极轴的倾斜且与极轴的倾斜角为角为 的直线的极坐标方程的直线的极坐标方程.42022-12-1【解题探究解题探究】求直线极坐标方程的一般方法是什么求直线极坐标方程的一般方法是什么?提示提示:设出直线上任意一点的极坐标设出直线上任意一点的极坐标(,),),列出列出,的关系式即可的关系式即可.2022-12-1【解析解析】令令A(2,),A
29、(2,),设直线上任意一点设直线上任意一点P(,),P(,),在在OAPOAP中中,APO=-,APO=-,由正弦定理由正弦定理 得得 又因为点又因为点A(2,)A(2,)适合上式适合上式,故所求直线的极坐标方程为故所求直线的极坐标方程为 42,sin()sin44sin()2.4sin()2.42022-12-1【方法技巧方法技巧】关于直线的极坐标方程关于直线的极坐标方程(1)(1)求直线的极坐标方程的一般方法求直线的极坐标方程的一般方法.设出直线上的任意一点设出直线上的任意一点(,),(,),利用三角形中的定理利用三角形中的定理,如正弦定理、余弦定理等列出如正弦定理、余弦定理等列出,的关系
30、式的关系式,即为直即为直线的极坐标方程线的极坐标方程.2022-12-1(2)(2)求直线的极坐标方程的注意事项求直线的极坐标方程的注意事项.当当00时时,直线上的点的极角不是常量直线上的点的极角不是常量,所以直线的所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程,所以直所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程唯一且简便线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程唯一且简便.当规定了当规定了“负极径负极径”的意义的意义,即即RR时时,直线的极坐直线的极坐标方程就是唯一的了标方程就是唯一的了.2022-12-1【变式训练变式训练】1.(20161.(2016铜
31、陵高二检测铜陵高二检测)已知点已知点P P的极坐标为的极坐标为(1,),(1,),求过点求过点P P且垂直于极轴的直线的极坐标方程且垂直于极轴的直线的极坐标方程.2022-12-1【解析解析】点点P(1,)P(1,)的直角坐标为的直角坐标为(-1,0),(-1,0),所求直线的所求直线的直角坐标方程为直角坐标方程为x=-1,x=-1,化为极坐标方程为化为极坐标方程为cos=-1.cos=-1.2022-12-12.2.在极坐标系中在极坐标系中,求过点求过点 且与极轴平行的直线方程且与极轴平行的直线方程.【解析解析】点点 在直角坐标系下的坐标为在直角坐标系下的坐标为 即即(0,2),(0,2),
32、所以过点所以过点(0,2)(0,2)且与且与x x轴平行的直线方程为轴平行的直线方程为y=2.y=2.即为即为sin=2.sin=2.(2)2，(2)2，(2cos2sin)22，2022-12-1类型三类型三直线与圆的极坐标方程综合题直线与圆的极坐标方程综合题【典例典例】(2016(2016衡阳高二检测衡阳高二检测)在极坐标系中在极坐标系中,曲线曲线C:=2acos(a0),C:=2acos(a0),l:,C:,C与与l有且仅有一有且仅有一个公共点个公共点.(1)(1)求求a a的值的值.3cos()322022-12-1(2)O(2)O为极点为极点,A,B,A,B为曲线为曲线C C上的两点
33、上的两点,且且AOB=,AOB=,求求|OA|OA|+|OB|+|OB|的最大值的最大值.32022-12-1【解题探究解题探究】(1)(1)如何判断曲线的形状如何判断曲线的形状?提示提示:将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程判断曲线将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程判断曲线的形状的形状.2022-12-1(2)(2)如何求如何求|OA|+|OB|OA|+|OB|的最大值的最大值?提示提示:利用点的极坐标以及三角函数性质求最大值利用点的极坐标以及三角函数性质求最大值.2022-12-1【解析解析】(1)(1)由曲线由曲线C:=2acos(a0)C:=2acos(a0)得得2 2=2acos,=2
34、acos,化为直角坐标方程为化为直角坐标方程为(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=a=a2 2,直线直线l:得得 由于直线与圆有且只有一个公共点由于直线与圆有且只有一个公共点,所以所以d=a,d=a,解得解得a=1,a=-3(a=1,a=-3(舍去舍去).).33cos()cos cossin sin32332即，133xy0 x3y 3 0222，即，a 322022-12-1(2)(2)不妨设不妨设A A的极角为的极角为,B,B的极角为的极角为+,+,当当=-=-时时,|OA|+|OB|,|OA|+|OB|取得最大值取得最大值2 .2 .363OAOB2cos2cos()33cos3
35、sin2 3cos()6则，2022-12-1【方法技巧方法技巧】将极坐标方程化为直角坐标方程的关键将极坐标方程化为直角坐标方程的关键因为直线和曲线是满足某种条件的点的集合因为直线和曲线是满足某种条件的点的集合,所以所以将极坐标方程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极将极坐标方程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极坐标化为直角坐标的公式坐标化为直角坐标的公式y=sin,x=cos.y=sin,x=cos.2022-12-1【变式训练变式训练】1.(20161.(2016衡水高二检测衡水高二检测)在极坐标系中在极坐标系中,点点 到圆到圆=-2cos=-2cos的圆心的距离为的圆心的距离为()(2)3
36、，22A.2 B.4 C.9 D.7992022-12-1【解析解析】选选D.D.点点 的直角坐标为的直角坐标为(1,-),(1,-),圆圆=-2cos-2cos即即2 2=-2cos=-2cos的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=1,=1,所以点所以点(1,-)(1,-)到圆心到圆心(-1,0)(-1,0)的距离为的距离为 .(2)3，3372022-12-12.(20162.(2016北京高考北京高考)在极坐标系中在极坐标系中,直线直线cos-cos-sin-1=0 sin-1=0与圆与圆=2cos=2cos交于交于A,BA,B两点两点,则则|AB|A
37、B|=_.=_.32022-12-1【解析解析】直线直线cos-sin-1=0cos-sin-1=0可化为可化为x-y-x-y-1=0.1=0.圆圆=2cos=2cos可化为可化为2 2(cos(cos2 2+sin+sin2 2)=2cos,)=2cos,x x2 2+y+y2 2=2x,=2x,即即(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1,=1,所以圆心所以圆心(1,0),(1,0),半径长为半径长为1.1.圆圆心在直线心在直线ABAB上上,所以所以|AB|=2.|AB|=2.答案答案:2 2332022-12-1自我纠错自我纠错极坐标方程化为直角坐标方程极坐标方程化为直角坐标方程【典
38、例典例】(2016(2016漳州高二检测漳州高二检测)化极坐标方程化极坐标方程2 2cos-=0cos-=0为直角坐标方程为为直角坐标方程为()A.xA.x2 2+y+y2 2=0=0或或y=1y=1B.x=1B.x=1C.xC.x2 2+y+y2 2=0=0或或x=1x=1D.y=1D.y=12022-12-1【失误案例失误案例】2022-12-1分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:出错的根本原因是忽视了出错的根本原因是忽视了0,0,遗漏了遗漏了=0=0的情的情形形.正确解答过程如下正确解答过程如下:2022-12-1【解析解析】选选C
39、.C.由由2 2cos-=0,cos-=0,得得(cos-1)=0,(cos-1)=0,所以所以=0=0或或cos-1=0,cos-1=0,即即x x2 2+y+y2 2=0=0或或x=1.x=1.2022-12-12022-12-1四柱坐标系与球坐标系简介2022-12-1【自主预习自主预习】1.1.柱坐标系柱坐标系如图如图,在柱坐标系中在柱坐标系中,:_:_:_:_z:_z:_范围范围:0,_,_z _.:0,_,_z _.|OQ|OQ|xOQxOQQPQP0 022-+2022-12-12.2.球坐标系球坐标系如图如图,在球坐标系中在球坐标系中,r:_r:_:_:_:_:_范围范围:r0
40、,_,_.:r0,_,_.|OP|OP|zOPzOPxOQxOQ0002022022-12-13.3.点的空间坐标的互相转化公式设空间一点点的空间坐标的互相转化公式设空间一点P P的直角坐的直角坐标为标为(x,y,z),(x,y,z),柱坐标为柱坐标为(,z),(,z),球坐标为球坐标为(r,(r,),),则则2022-12-1空间直角坐标空间直角坐标(x,y,z)(x,y,z)转换公式转换公式柱坐标柱坐标(,z)(,z)球坐标球坐标(r,)(r,)coscossinsinz zrsinrsincoscosrsinrsinsinsinrcosrcos2022-12-1【即时小测即时小测】1.1
41、.柱坐标系中柱坐标系中,点的柱坐标点的柱坐标 化为直角坐标为化为直角坐标为()A.(2,2,3)A.(2,2,3)B.(2,3,0)B.(2,3,0)C.(0,2,3)C.(0,2,3)D.(2,0,3)D.(2,0,3)(2,3)22022-12-1【解析解析】选选C.C.设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),柱坐标为柱坐标为(,z),(,z),因为因为(,z)=(,z)=(2,3)2x 2cos2xcosx 0ysiny 2siny 22z zz 3.z 3，由，得，即，2022-12-1所以点所以点P P 的直角坐标为的直角坐标为(0,2,3).(0,2,
42、3).(2,3)22022-12-12.2.将球坐标将球坐标 化为直角坐标为化为直角坐标为()A.(1,1)A.(1,1)B.(1,0)B.(1,0)C.(1,0,)C.(1,0,)D.(0,1)D.(0,1)(2)3 2，33332022-12-1【解析解析】选选D.D.点的球坐标点的球坐标(r,(r,),)化为直角坐标为化为直角坐标为(x,y,z)=(rsin(x,y,z)=(rsincos,rsincos,rsinsin,rcossin,rcos),),所以所以 化为直角坐标为化为直角坐标为 (2)3 2，(2sin cos,2sin sin,2cos)(0,3,1).323232022
43、-12-1【知识探究知识探究】探究点探究点柱坐标系与球坐标系柱坐标系与球坐标系1.1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中点的坐标空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中点的坐标有什么特点有什么特点?2022-12-1提示提示:(1)(1)柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系为背景为背景,柱坐标系在平面柱坐标系在平面xOyxOy内构造平面极坐标系内构造平面极坐标系,球坐球坐标系是构造点标系是构造点P P到原点的距离到原点的距离|OP|=r|OP|=r与射线与射线OzOz构成极坐构成极坐标系标系,且且OPOP在平面在平面xOyxOy内的射影与射线内的射影与射线
44、OxOx也构成平面极也构成平面极坐标系坐标系.2022-12-1(2)(2)点点P P的直角坐标是有序实数组的直角坐标是有序实数组(x,y,z),(x,y,z),柱坐标是含柱坐标是含有一个极角的有序数组有一个极角的有序数组(,z),(,z),球坐标是含有两个球坐标是含有两个极角的有序数组极角的有序数组(r,(r,).,).2022-12-12.2.要刻画空间一点的位置要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什就距离和角的个数来说有什么限制么限制?提示提示:空间点的坐标都是三个数值空间点的坐标都是三个数值,至少有一个是距离至少有一个是距离.2022-12-1【归纳总结归纳总结】1.1.柱坐标
45、系、球坐标系与空间直角坐标系的关系柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系柱坐标系和球坐标系都要定位在空间直角坐标系中柱坐标系和球坐标系都要定位在空间直角坐标系中,柱柱坐标系中一点在平面坐标系中一点在平面xOyxOy内的坐标是极坐标内的坐标是极坐标,竖坐标和竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中球坐标系中,则以一点则以一点到原点的距离和两个角到原点的距离和两个角(高低角、极角高低角、极角)刻画点的位置刻画点的位置.2022-12-12.2.对球坐标系的三点说明对球坐标系的三点说明(1)(1)在球心为在球心为O,rO,r为半径的球中为半径的球中,建立球坐建立球坐
46、标系标系,如图如图,其中其中,|OP|=r,|OP|=r与射线与射线OzOz构成极坐标系构成极坐标系,且且OPOP在平面在平面xOyxOy内的射影内的射影OQOQ与射线与射线OxOx也构成极坐标系也构成极坐标系,所所以球坐标系也称为空间极坐标系以球坐标系也称为空间极坐标系.2022-12-1(2)(2)球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用,在在测量实践中测量实践中,球坐标球坐标P(r,P(r,),)中的角中的角称为被测点称为被测点P P的方位角的方位角,90,90-称为高低角称为高低角.(3)(3)在球坐标系中在球坐标系中,方程方程r=rr=r0 0
47、(r(r0 0为正常数为正常数)表示球心在表示球心在原点原点,半径为半径为r r0 0的球面的球面;2022-12-1方程方程=0 0(0(00 02)2)表示过表示过z z轴的半平面轴的半平面,且与平且与平面面xOzxOz所成的二面角为所成的二面角为0 0;方程方程=0 0(0(00 0)表示顶点在原点表示顶点在原点,半顶角为半顶角为0 0的的“圆锥面圆锥面”,其中心轴为其中心轴为z z轴轴,当当0 0=时时,“,“圆锥圆锥面面”为平面为平面xOy;xOy;当当0 0 时时,“,“圆锥面圆锥面”在平面在平面xOyxOy下方下方.2222022-12-1类型一类型一柱坐标与直角坐标的转化柱坐标
48、与直角坐标的转化【典例典例】把点把点P P的直角坐标的直角坐标(2,2 ,4)(2,2 ,4)化为柱坐标化为柱坐标.32022-12-1【解题探究解题探究】直角坐标与柱坐标互化的依据是什么直角坐标与柱坐标互化的依据是什么?提示提示:直角坐标与柱坐标互化的依据是公式直角坐标与柱坐标互化的依据是公式xcosysinz z.，2022-12-1【解析解析】点点P P的直角坐标的直角坐标(2,2 ,4)(2,2 ,4)化为柱坐标化为柱坐标 解得解得 所以点所以点P P的柱坐标为的柱坐标为 2cos,2 3sin,z 4,4z 43，(44).3，32022-12-1【方法技巧方法技巧】点的柱坐标与直角
49、坐标的互相转化公式点的柱坐标与直角坐标的互相转化公式设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),柱坐标为柱坐标为(,z),(,z),(1)(1)柱坐标化为直角坐标的公式为柱坐标化为直角坐标的公式为即柱坐标即柱坐标(,z)(,z)的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z)=(cos,(x,y,z)=(cos,sin,z).sin,z).xcos ysin z z，2022-12-1(2)(2)直角坐标化为柱坐标的公式为直角坐标化为柱坐标的公式为即直角坐标即直角坐标(x,y,z)(x,y,z)的柱坐标为的柱坐标为 其中其中,且且的终边经过的终边经过(x,y).(x,y).22
50、xyytan x 0 x，（），22(z)=(x+y z)，ytan x 0 x（），2022-12-1【变式训练变式训练】1.1.将点的柱坐标将点的柱坐标 化为直角坐标化为直角坐标为为()A.(,1,-1)A.(,1,-1)B.(,-1,-1)B.(,-1,-1)C.(-,1,-1)C.(-,1,-1)D.(-,-1,-1)D.(-,-1,-1)5(2,1)633332022-12-1【解析解析】选选C.C.因为因为M M点的柱坐标为点的柱坐标为 设点设点M M的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),所以所以 即即 所以所以 5(2,1)6，5x 2cos,65y 2sin,
