1、3.103.11抽样信号与抽样定理抽样信号与抽样定理*时间抽样与空间抽样的实例演示时间抽样与空间抽样的实例演示转换器DA/处理器数字信号转换器AD/入输号信拟模出输号信拟模数字信号处理系统简单框图模模拟拟语语音音信信号号输输入入反混迭失真反混迭失真滤波器滤波器取取样样量量化化码码化化器器A/DDCM数数字字语语音音信信号号输输出出一一.抽样的目的及所遇到的问题抽样的目的及所遇到的问题信号比特流的数字模拟信号变成目的:pulse code modulation(PCM)问题：问题：1）抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与）抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与未被抽样的连续信号的频谱有什么关系？未
2、被抽样的连续信号的频谱有什么关系？2）连续信号被抽样后，是否保留了原信号的）连续信号被抽样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从抽样的所有信息？即在什么条件下，可以从抽样的信号还原成原始信号？信号还原成原始信号？时域抽样简图：时域抽样简图：连续信连续信号号f(t)抽样脉冲抽样脉冲抽样信号抽样信号量化量化编码编码fs(t)数字信号数字信号连续连续离散离散抽样抽样还原（有条件）还原（有条件）抽样抽样时域时域频域频域自然抽样自然抽样理想抽样理想抽样平顶抽样平顶抽样（矩形抽样）（矩形抽样）（冲激抽样）（冲激抽样）低通低通带通带通(3-42)二二.时域时域 抽样抽样抽样过程可以看成由原信
3、号抽样过程可以看成由原信号f(t)和一个开关函数和一个开关函数p(t)的乘积来描述。的乘积来描述。1)矩形脉冲的抽样矩形脉冲的抽样（自然抽样）（自然抽样）此时的抽样脉冲此时的抽样脉冲p(t)是矩形。由于是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t)抽样信号在抽样期间脉冲顶部随抽样信号在抽样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这种变化，故这种采样称为采样称为“自然抽样自然抽样”。时域抽样简图时域抽样简图连续信连续信号号f(t)抽样脉冲抽样脉冲抽样信号抽样信号量化量化编码编码fs(t)数字信号数字信号)()()(tptftfs*抽样信号频谱推导抽样信号频谱推导：令模拟带限信号傅立叶变换为令模拟带限信号傅立叶变
4、换为F(w).即即f(t)F(w)抽样脉冲序列的傅立叶变换为抽样脉冲序列的傅立叶变换为p(t)P(w)设抽样为均匀抽样，周期为设抽样为均匀抽样，周期为Ts，则抽样频率为，则抽样频率为sssTfw22由于由于p(t)是周期信号，可知是周期信号，可知p(t)的傅立叶变换为：的傅立叶变换为：)(2)(nsnnwwPwp其中其中)2()(122ssTTtjnwsnnSaTEdtetpTPsss由频域卷积定理得，时域相乘的傅立叶变换等于由频域卷积定理得，时域相乘的傅立叶变换等于它们的频谱在频域里相卷积它们的频谱在频域里相卷积。)()(21)(wPwFwFs把计算出的P(w)代入上式得：)()2()(sn
5、sssnwwFnwSaTEwF上式表明：信号在时域被抽样后，它的频谱信号在时域被抽样后，它的频谱Fs(w)是连续是连续信号的频谱信号的频谱F(w)以抽样频率以抽样频率Ws为间隔周期地重复为间隔周期地重复而得到的。在重复过程中，幅度被抽样脉冲而得到的。在重复过程中，幅度被抽样脉冲p(t)的的傅立叶系数所加权，加权系数取决于抽样脉冲序傅立叶系数所加权，加权系数取决于抽样脉冲序列的形状。列的形状。周期性抽样性由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，幅度以幅度以Sa函数的规律变化。从函数的规律变化。从Fs(w)的频谱图可见的频谱图可见抽样后的信号频谱包括
6、有原信号的频谱以及无限抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而呈频率而呈Sa函数分布。但因矩形脉冲占空系数很函数分布。但因矩形脉冲占空系数很小，所以其频谱所占的频带几乎是无限宽的小，所以其频谱所占的频带几乎是无限宽的。wmwmF(w)w1EwsFs(w)wwmws抽样前频谱抽样后频谱(1)如果抽样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的如果抽样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似
7、，它将使时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化。分析简化。(2)通过冲激抽样的方法在数字信号处理中有着广泛的应通过冲激抽样的方法在数字信号处理中有着广泛的应用。（点抽样；均匀抽样）用。（点抽样；均匀抽样）mms*抽抽样样率率的的选选择择ms2结语：抽样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍结语：抽样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。冲冲激激信信号号矩矩形形脉脉冲冲时时若若0数数：表表示示为为一一系系列列的的冲冲激激函函）冲激抽样）冲激抽样若抽样脉冲是冲激序列，此时称为若抽样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激抽样冲激抽样”或或“理想抽样理想抽样”。设。设Ts为抽样间隔，则抽样脉
8、冲为为抽样间隔，则抽样脉冲为)()()(sTnTtttp由于由于 T(t)的傅立叶系数为的傅立叶系数为：221)(1sssTTstjnwTsnTdtetTP所以冲激抽样信号的频谱为：所以冲激抽样信号的频谱为：)(1)(sssnwwFTwF上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数，为常数，所以所以F(w)是以是以ws为周期等幅地重复，如下图所示：为周期等幅地重复，如下图所示：F(w)-wmwmwFs(w)1/Tsws-wsw抽样前信号频谱抽样前信号频谱抽样后信号频谱抽样后信号频谱下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结
9、：小结：时域理想抽样的傅立叶变换时域理想抽样的傅立叶变换)(1)(snssnFTF)(tf)(FFT 相卷积相卷积21相乘相乘FT)()(nsTnTttnssnp)()(FT)(2)(snnnPp2)(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss关于非理想抽样)(*)(21)(pFFs)(2)(snsssnFnSaTEF)(1)(snssnFTF理想抽样非理想抽样)()()(nsTnTtttp)()(snnTtGtpnssnp)()()(2)(snnnPp2ssnnSaTEPsnTP1)(1)(snssnFTF)(2)(snsssnFnSaTEF)(*)(21)(pFFs)(*)(2
10、1)(pFFs*结语.2.21.2.21.msmmmmdSpaceNyquistfTdrateSamplingNyquistfcfTfba样两次，即个周期间隔内，至少抽分量的全部信息，一为了保留信号最高频率人为取的。信号本身固有的，同。频谱分量电平的性质不样的重要差别在于矩形脉冲抽样和冲激抽)()()()()21()(.tfjFtfjFfkfkTfesSm唯一唯一唯一唯一f.不满足抽样定理时产生频率混叠现象sT)(sF0)(tf0tsT1ssmm)(1F00ts)(tfsTssT1)(1F0sssT1ms2设有一连续信号设有一连续信号 f(t)，它的频谱，它的频谱则只要抽样间隔满足则只要抽样间
11、隔满足 ，连续信号连续信号f(t)就可表示为：就可表示为：nmmmnTtnTtnTftf)()(sin)()(证明：由于证明：由于f(t)的频带有限的频带有限,而时域而时域抽样必导致频域周期。在周期重复抽样必导致频域周期。在周期重复时，为保证时，为保证|wm|内为内为F(w)，则重复，则重复周期应满足周期应满足ws=2wm,将抽样信号将抽样信号通过截止频率为通过截止频率为wm的理想低通滤的理想低通滤波器，便能从波器，便能从Fs(w)中恢复中恢复F(w),也也就是说，能从抽样信号就是说，能从抽样信号fs(t)中恢复中恢复三三.抽样定理（抽样定理（定理一）定理一）)(jFm1其它0mTFs(w)m
12、mmm)(F复原始信号复原始信号f(t)。设。设f(t)F(w),fs(t)Fs(w),则当则当Fs(w)通过截止频率为通过截止频率为wm的理想低通滤波器时，滤的理想低通滤波器时，滤波器的响应频谱为波器的响应频谱为F(w),显然滤波器的作用等效于显然滤波器的作用等效于一个开关函数一个开关函数G2wm(w)同同Fs(w)的相乘。的相乘。)()(2wFGwFswm由时域卷积定理知：由时域卷积定理知：)()()(tgtftfs由傅立叶变换的对称性可知：由傅立叶变换的对称性可知：)()()(2twSawtgwGmmwm而而nnsnTtnTfnTttftf)()()()()(则则 （内插公式内插公式）n
13、mmsnTtnTftwSawtftgtf)()()()()()(nmmmnmmnTtwnTtwnTfwnTtwSanTfw)()(sin)()()(证毕证毕 上式表明上式表明f(t)可以展开为正交的抽样函数的无穷可以展开为正交的抽样函数的无穷级数且级数的系数等于抽样值级数且级数的系数等于抽样值f(nTs),这样，若在抽这样，若在抽样信号样信号fs(t)的每个抽样值上画一个峰值为的每个抽样值上画一个峰值为f(nTs)的的Sa函数的波形，合成的波形就是函数的波形，合成的波形就是f(t).另外，我们知另外，我们知道：道：Sa函数的波形就是理想低通滤波器的冲激响函数的波形就是理想低通滤波器的冲激响应应
14、h(t)，这样，若，这样，若fs(t)通过理想低通滤波器，那么通过理想低通滤波器，那么每一个抽样值产生一个冲激响应每一个抽样值产生一个冲激响应h(t)，这些响应进，这些响应进行叠加便得到行叠加便得到f(t)，从而达到恢复信号的目的。，从而达到恢复信号的目的。Tsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷积卷积Fs(w)wmws1wcH(w)相乘相乘F(w)wm由抽样信号恢复原连续信号由抽样信号恢复原连续信号)(Fn取主频带取主频带 ：n时域卷积定理：时域卷积定理：)()()(HFFs)()()(*)()(scsncsnTtSanTfthtftf)()(tSathcc)()()(nsssnTtnTf
15、tf定理二：设定理二：设f(t)是一带限连续信号，最高频率为是一带限连续信号，最高频率为wm,根据定理一对根据定理一对f(t)进行抽样，得进行抽样，得f(nT)，则，则f(nT)经过经过一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得到一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得到f(t).(自证自证)H(jw)wwc-wc10由于定理二是讨论由离散由于定理二是讨论由离散信号恢复成连续信号，所信号恢复成连续信号，所以又称重建定理。以又称重建定理。*信号抽样与重建的动态演示信号抽样与重建的动态演示三三.频域抽样频域抽样但反之不一定成立但反之不一定成立如：白噪声如：白噪声时域抽样与频域抽样的对称性时域抽样与频
16、域抽样的对称性频域有限频域有限时域无限时域无限时域有限时域有限频域无限频域无限F(jw)f(t)F(jw)以以ws为周期重复为周期重复f(t)以以T为周期重复为周期重复wssT *频域抽样定理频域抽样定理 若信号若信号 为时限信号，它集中在为时限信号，它集中在 的时间范围内，若在频的时间范围内，若在频域中，以不大于域中，以不大于 的频率间隔对的频率间隔对 的频谱的频谱 进行抽样，则抽样后的进行抽样，则抽样后的频谱频谱 可以唯一地表示原信号。可以唯一地表示原信号。)(tfmmtt mt 21)(tf)(F)(1F根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理)(2)(snsnTSanFF)()()(s
17、csncnTtSanTftf偶函数变量置换Ts2*频域抽样后的时间函数)(F0)()1()(1F0相乘)(tf0tIFTIFT1)(tT11)(tf0tIFT卷积1111T1T0t11101)(F)()(1nn)()()(1FF)(tfIFT)(1)(11nnTtpIFT)(1*)()(11ttftfTnnTtftf)(1)(111IFT抽样定理小结抽样定理小结n时域对时域对 抽样等效于频域对抽样等效于频域对 重复重复时域抽样间隔不大于时域抽样间隔不大于 。n频域对频域对 抽样等效于时域对抽样等效于时域对 重复重复频域抽样间隔不大于频域抽样间隔不大于 。n满足抽样定理，则不会产生混叠。满足抽样
18、定理，则不会产生混叠。)(F)(tf)(tf)(Fmt21m21*一余弦信号的周期为一余弦信号的周期为T0，用，用Ts=T0/12的时间间隔对它进的时间间隔对它进行理想抽样，求抽样信号的频谱。行理想抽样，求抽样信号的频谱。)()(cos000t)(jFs)()(cos:000t解拓。为频域周期的周期性延使其频谱进行以对它进行抽样，也就是)12(24200TTTTsss立叶变换的任务。者相反，这就是离散傅域离散样点，或由时域离散样点得出频个样点频域处理个样点时域处理212求和公式Poisson)(2)()(1111nFeFtfnjFTFnntjnnnntjnnn1e)jn(FT1)nTt(f)t
19、(f)2(1)(0nTjFTnTftnn时：关系值和频域样点值之间的它表达了信号时域样点.NyqistNyquist,)t21(f)t2(f:),(F,)t(fm间隔抽样频率和的带宽，求如图所示其频谱为频带宽度为为带限信号设)(F m8mb),2(F21)(F)t2(f:1其频谱如图解1162mm2)(F)t2(f1图bS16f1TNyquistHz16242fNyquists/rad32422Nyquists/rad16822NNmNNmmNm间隔频率角频率为频带宽度c),2(F2)2/1(F2/11)(F)t21(f2其图如)(F)t21(f F22m图cS4f1TNyquistHz422
20、fNyquists/rad8212Nyquists/rad421NNmNNmmNm间隔频率角频率为频带宽度带通抽样:42.3.172p)(F00122122211212,2ss率而不混迭所以最低抽样两个波形之间插入到时，在，解：当的整数倍抽样率只能是而非最低抽样率点差异：带通抽样与低通抽样两222.22,.1ss121112121121112)(F2的最大整数为不超过由于设12212;.2mB0sn2sn12n1111kBBmKkBmB)1(1012而故次后得下图右移又设nF)(，则之间无混迭插入和要想在波形从图中可以看到：n1221222snssn11即ns22121ns.mn的最大整数值应
21、等于以下说明为时最大整数移至这样波形至少等于则，之间无混迭插入和要想在波形nBnsn11,21221kmBkBmBBn222222mnk不是整数，故由于10ms22121ms12212)1(2121mkBBmkBBmm而.2:212222222212mmmmkBBmkBmBms因此最低抽样率为故1.采样在何种程度上造程信息的丢失？这种丢失的本质采样在何种程度上造程信息的丢失？这种丢失的本质是什么是什么？2.对一连续函数进行抽样，它能否被完全恢复？若可以对一连续函数进行抽样，它能否被完全恢复？若可以如何作到如何作到？3.为了保持图象的信息，我们必须如何细微地对函数进行为了保持图象的信息，我们必须如何细微地对函数进行采样采样？4.如果我们将采样后的函数当成是连续的，涉及哪些假如果我们将采样后的函数当成是连续的，涉及哪些假设近似和误差设近似和误差？思考题思考题旧版：旧版：3-47，3-52，3-53新版：新版：3-38，3-39，3-42作业作业：矩形脉冲的抽样矩形脉冲的抽样)(tf0t)(tP0t)(tfs0t)(F0)(P00sT22ssss22sEsE1FTFTFT乘卷*时域理想抽样的傅立叶变换)(tf0t)(F01)(tP)1(0t0)(tfs相乘相卷)(sssss00tsT)(sFsT1FTFTFT时域抽样频域周期重复)()(nsTnTttnssnp)()(
