1、概率论与数理统计,吉林大学数学中心,制作人 宋东哲,1 随机试验 随机事件 2 随机事件的概率 3 条件概率 4 事件的独立性 5 伯努利（Bernoulli)概型,第一章 随机事件及其概率,1 随机试验 随机事件,1.1 必然现象和随机现象,1可重复性 试验可以在相同条件下重复进行； 2可观测性 试验可能出现的结果不只一个，在试验之前知道所有可能的结果； 3随机型 试验结束后会出现哪一个结果是随机的(无法事先知道，也无法控制) 通常用字母E表示随机试验(以后简称试验).,例1.1： E1：抛一枚硬币，观察正、反面出现的情况 E2：掷一颗骰子，观察出现的点数 E3：向一个靶子发射一颗子弹，观察
2、打中的环数 E4：检查一大批灯泡的寿命,1.2 随机试验和随机事件,基本事件(样本点， 或 )： 一次试验可能出现的每一个直接的结果.也就是随机试验不能够再分解的结果,基本空间(样本空间，或 或U):全体基本事件的集合,的基本空间为 ；,有两个基本事件： =出现正面， =出现反面.,有六个基本事件： =出现 点， .,的基本空间为 或,例1.2,例1.3,“出现奇数点”的事件可表示为 =1,3,5，,而“出现的点数不超过3”的事件表示为 1,2,3 ,中,“出现偶数点”的事件可表示为 2,4,6，,随机事件：试验的每一个可能结果. 用大写字母 等表示,随机事件也就是基本空间的子集，即若干基本事
3、件做 成的集合,例1.4,1.3 随机事件的关系与运算,1. 随机事件的关系,(1) 事件的包含：,试验 的基本空间为 ， 、 ( =1,2, )为 中的事件,A,B,且,(2)事件的相等,事件 发生必然导致事件 发生,事件 包含事件,（3）事件的互斥(互不相容),A、B不可能同时发生。,A 与B 互斥（互不相容）,A 与B 互斥,A与B不含有公共 基本事件,A 与B 互斥,（4）事件的互逆（对立）,每次试验 A、B中有且只有一个发生。,A 与B 互逆（对立）,A,A与B互为逆事件。记为 或 。,A 与B 互逆,例1.6 在 中， =2,4,6, =1,2,3.有,(1) 事件的并(和),事件
4、 与事件 的和或并,事件A与事件B 至少有一个发生,( 记 ).,1.2. 随机事件的运算,推广,的和事件 ,的和事件 ,=1,2,3,4,6,（2）事件的交(积),A 与B 的交（积）事件,（记为 或 ）,事件A与事件B 同时发生。,=2，,则,与 互不相容,的积事件 ,推广,的积事件 ,=1，3，,4，6,（3）事件的差,A 与B 的差事件,（记为 ）,事件A发生，但事件B不发生。,则,1，5,2，4，6,吸收律,幂等律,差化积,重余律,对应,交换律,结合律,分配律,反演律,运算顺序： 逆交并差，括号优先,零件是合格品”( =1,2,3)，试用 ， ， 表示下列事件：,例1.9 某工人加工
5、三个零件，设 表示事件“第 个,(1) 只有第一个零件是合格品； (2) 只有一个零件是合格品； (3) 至少有一个零件是合格品； (4) 最多有一个零件是合格品； (5) 3个零件都是合格品； (6) 至少有一个零件是不合格品,(1) ；,(2) ;,(3) ;,(4),或 .,解 四个事件分别设为 ， ， ， ， ， 则有,零件是合格品”( =1,2,3)，试用 ， ， 表示下列事件：,例1.9 某工人加工三个零件，设 表示事件“第 个,(1) 只有第一个零件是合格品； (2) 只有一个零件是合格品； (3) 至少有一个零件是合格品； (4) 最多有一个零件是合格品； (5) 3个零件都是
6、合格品； (6) 至少有一个零件是不合格品,解,(5),(6),或,例1.10 化简事件,解 原式,在一个试验中，有许多随机事件一个事件在一次试验中可能发生，也可能不发生.有的事件发生的可能性大, 有的事件发生的可能性小. 概率就是用来刻划事件发生的可能性大小的数量指标,2.1 频率,定义2.1 设 为试验 中的一个事件,把试验 在相同条件下重复进行 次，,2 随机事件的概率,如果事件 发生的次数为 ，则称 为事件 在 次试验中发生的频数。,，即,称比值 为事件 发生的频率，记为,则由定义2.1易知频率具有下述性质：,（1）非负性,对于任意事件 ，有 。,（2）规范性,对于必然事件 ， 。,（
7、3）有限可加性,对于两两互不相容的事件,（即当 时，有,有,（4）稳定性,试验次数,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH=2048, f n( H ) = 0.5069,n =12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰(Buffon)投币,皮尔森( Pearson ) 投币,Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率, 发现各字母出现的频率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389
8、 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,概率的统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次试验中,事件 A 发生,的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动,幅度越小, 则称 p 为事件
9、 A 的概率,记作 P(A).,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便 使用,2.2 概率,定义2.2 设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：,（1）非负性：,（2）规范性：,（3）可列可加性：,其中 为两两互斥事件，,性质1,概率的性质,证 由 ，再根据可列可加性，有 ，又因为 0，所以必有,性质2 有限可加性:,设 两两互斥,证 令 ，则 为两两互不相容的事件，由可列加性及性质1，有,性质3,若 ，则,性质4,性质5,证 由于 ，则有,由于 ，因此,即,证 因
10、，则有,对任一事件 ，有 1,证 因 ，且 ，可得,（减法公式）,对任意两个事件 与 ，有,性质7,证 因 ，且 ，,可得,由于 ，因此,（加法公式）,推广：,概率的一般加法公式,右端共有 项.,解,例2.1 设 , , ,求,例2.2 设,解,求 ， ， ，,由 ，有,于是由加法公式,， ,例2.3 设 和 是同一试验 的两个随机事件，证明,证 因为 ，所以,又 得,证毕。,排列组合有关知识复习,排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有,全排列,组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放回地）组成一组,不同的分法共有,设随机试验E 具有下列
11、特点：,基本事件的个数有限； 每个基本事件等可能性发生。,则称 E 为古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,2.3 古典（等可能）概型,记随机试验E样本空间为,则基本事件 两两互斥，且,又 及 ，得,事件 包含基本事件：,则,例2.4 将一枚硬币抛掷三次，求事件“恰有一次出现正面”的概率, 古典概型中概率的计算公式：,则,样本空间 基本事件个数为 。,（1）,（2）,事件 基本事件个数为 。,解 设 表示事件“出现正面”， 表示事件“出现反面”， 表示事件“恰有一次出现正面”这是一个等可能概型，基本空间为,基本事件总数为 ,，于是有,事件 所包含的基本事件有3个：,例2.5 将一颗匀称的
12、骰子抛掷两次，(1)求两次出现的点数之和等于8的概率；(2)求两次出现的点数相同的概率,解 用 表示事件“第一次出现 点，第二次出现 点” .则该试验的基本空间为,共有 个基本事件,设 表示事件“两次出现的点数之和等于8”， 表示事件“两次出现的点数相同”则,=(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)，,包含有 个基本事件.,(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)，,包含有6 个基本事件,例2.6 袋中装有5个白球3个黑球，从中任取两球，求两球都是白球的概率,解 设 表示事件“取出的两球都是白球”，,基本事件总数为 ，,包含的
13、基本事件数为,则由古典概率得,例2.7 设某一箱子装有同种类型的电子元件100个，其中有95个合格品，5个不合格品从箱子中任取4个电子元件，问其中恰有1个不合格品的概率是多少？,解 设 表示事件“取出的4个元件中恰有1个不合格品”,基本事件总数为,所包含的基本事件数为,则由古典概率得,例2.8 从1, 2, 10这十个数字中任取三个，问大小在中间的数字恰好为5的概率是多少？,解 设 表示事件“取出的三个数字大小在中间的数字恰好为5”,基本事件总数为 ，,所包含的基本事件数为 ，,因此所求概率为,例2.9 设某城市共有 辆汽车，车牌号码从 到 ， 有一个人将他所遇到的该城市的 辆汽车的车牌号码(
14、可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码恰好为 (1 )的概率,解 这种抄法可以看作是从 个不同的号码中允许重复地抽取 个号码的排列，,因为最大车牌号码不大于 的取法共有 种，,设 表示事件“抄到的最大车牌号码正好为 ”，则有,共有 种可能的取法，这是基本 事件的总数,而最大车牌号码不大于 的取法共有 种，,因此最大车牌号码正好是 的取法共有 种,例2.10 将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级去，其中一班4名，二班5名，三班6名(1)求每一个班级各分到一名优秀生的概率；(2)求3名优秀生都分到二班的概率,(2)设 表示事件“3名优秀生都分到
15、二班”，,解 基本事件总数为 ,(1)设 表示事件“每一个班级各分到一名优秀生”，,则有,所包含的基本事件为,则有,所包含的基本事件数 ，,几何概型：如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某一区域 上任取一点，而所取的点落在区域中任意两个度量(长度、面积、体积)相等的子区域内的可能性是相等的，则称此试验为几何概型,对于任何有度量的子区域 ，我们同时以 表示事件“任取一点落在区域 内”，定义事件 的概率为,这样定义的概率称为几何概率,2.4 几何概型,解 设两个数分别为 、 ，0 1，0 1， 为平面上一点，所有点的集合构成基本空间 ，即图中的正方形区域，其面积为 ，,设 表示事件“两数之积
16、大于 ，之和不大于1”，即 表示图中阴影部分，其面积为,因此,例2.11 任取两个不大于1的正数，试求其积大于 ，且其和不大于1的概率,3 条件概率,3.1 条件概率与乘法公式,引例1 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少？,解 设 A 表示任取一球，取得白球；B 表示任取一球，取得木球.,所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。记为,列表,从而有,定义3.1 设 为一试验， , 为 中两事件，且, 则称 为事件 发生的
17、条件下事件 发 生的条件概率，记作 ，即,引例2 向正方形 内随机投点（如图）， 表示事件“点落在圆形区域 内” 表示事件“点落在圆形区域 内” 则在已知 发生条件下 发生的条件概率为,=,条件概率也是概率, 故具有概率的性质：,非负性,规范性,可列可加性,条件概率求积事件的概率即乘法公式,推广,例3.1 袋中有5只球，2只红球，3只白球，现依次取两球且放回，(1)求第二次取红球的概率，(2)若已知第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率,解 设 表示事件“第一次取到红球”， 表示事件“第二次取到红球”，基本事件总数,表示事件“两次都取到红球”，则 ，, 注意区分 与 ,例3.2 袋中有
18、5只球，2只红球，3只白球，现依次取两球且不放回，(1)求第二次取红球的概率，(2)若已知第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率,解 设 表示事件“第一次取到红球”， 表示事件“第二次取到红球”，基本事件总数,(或 ),表示事件“两次都取到红球”，则 ，,例3.3 一批零件共100件，次品率10%，接连两次从这批产品中任取一个，不放回，求第二次才取得正品的概率,解 设 表示事件“第一次取次品”， 表示事件“第二次取正品”，则 表示事件“直到第二次才取得正品”其概率为,例3.4 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2 张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2张都 是假钞的概
19、率.,解一 令A表示“其中1张是假钞”.,B表示 “2 张都是假钞”,下面两种解法哪个正确？,解二 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.,B表示“2 张中至少有1张假钞”,所以,例3.5 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.,解 令 Ai 为第 i 次取到一等品.,（1）,例3,（2）,直接解更简单,(3),提问：第三次才取得一等品的概率, 是,例3.5 盒
20、中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.,(4),例3.6 为了防止意外,矿井内同时装有A与B两种报警设备,已知设备 A 单独使用时有效的概率为0.92,设备 B 单独使用时有效的概率为0.93,在设备A 失效的条件下, 设备B 有效的概率为0.85,求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.,设事件A, B分别表示设备A, B有效,解,由,故,解法二,全概率公式
21、,3.2 全概率公式,则称 为 的一个划分(分割),例3.7 袋中有5只球，2只红球，3只白球，依次取两球，求第二次取红球的概率,解 设 表示第一次取红球的事件， 表示事件“第一次取白球”， 表示事件“第二次取红球”.,由全概率公式有,解 设 表示事件“取到第 组的产品”，=1,2,3,4， 表示事件“恰好取到次品”由全概率公式，有,例3.8 某车间有四个班组生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，次品率分别为0.05、0.04、0.03、0.02，现从全部产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？,例3.9 在两个袋中分别放有 及 个白球和 及 个黑球，今任选一
22、袋，从中任取一球，求取出白球的概率,解 设 表示事件“取到第 袋”， ， 表示事件“取到白球”，由全概率公式，有,设 为试验 的基本空间， 为任一事件， 为 的一个划分， 则,其中,贝叶斯公式,它是由以往的经验得到的，它是事件 A 的原因,它是得到了信息 B 发生, 再对导致 B发生的原因发生的可能性大小重新加以修正,3.3 贝叶斯公式,解,由此可知，取出的次品由第3组生产的可能性最大,例3.10 某车间有四个班组生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，次品率分别为0.05、0.04、0.03、0.02，现从全部产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ 问此次品
23、由哪个厂生产的可能性 最大？,例3.11 在电报通讯中，发送端发出的信号是由“ ”和“-”两种信号组合的序列由于受到随机干扰，接收端收到的是“ ”、“-”和“不清”三种信号假设发送“ ”、“-”的概率分别为0.6和0.4；在发“ ”时，收到“ ”、“-”和“不清”的概率分别为0.7、0.1和0.2；在发“-”时，收到“ ”、“-”和“不清”的概率分别为0.1、0.8和0.1求：,(1) 接收到“ ”、“-”和“不清”的概率； (2) 在接收到“不清”的条件下，问发送信号是“ ”或“-”的概率各为多少？,解 设 和 分别表示事件“发送 和-”， 表示收到“ ”， 表示“收到”“-”， 表示收到“
24、不清”,（1）,同理,(2),例3.11 在电报通讯中，发送端发出的信号是由“ ”和“-”两种信号组合的序列由于受到随机干扰，接收端收到的是“ ”、“-”和“不清”三种信号假设发送“ ”、“-”的概率分别为0.6和0.4；在发“ ”时，收到“ ”、“-”和“不清”的概率分别为0.7、0.1和0.2；在发“-”时，收到“ ”、“-”和“不清”的概率分别为0.1、0.8和0.1求：,(1) 接收到“ ”、“-”和“不清”的概率； (2) 在接收到“不清”的条件下，问发送信号是“ ”或“-”的概率各为多少？,定义4.1 设 、 是试验 的两个随机事件，如果,则称事件 与事件 相互独立,4 事件的独立
25、性,例4.1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.设第 i 次取得白球为事件Ai ( i =1, 2 ) .求,解,事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响可视为事件A1与A2相互独立,1. 若 ，则事件 与事件 相互独立的充分必要条件是 ,2. 若 ，则事件 与事件 相互独立的充分必要条件是 ,3. 与 独立 与 独立 与 独立 与 独立,两事件相互独立的性质,证,事实上,与 独立 与 独立,同理，其他结论也可证明。,注 1当 时，“ 与 相互独立”与“ 与 互不相容”不能同时成立,2事件是否相互独立需由问题实际意义来判断,例4.2 设 与相 互独立，
26、 ，求 ,解,例4.3 两人分别独立地向同一目标各射击一次，甲命中率为0.9，乙命中率为0.8，求目标被击中的概率,解 设 表示事件“甲击中目标”； 表示事件“乙击中目标”； 表示事件“目标被击中”,则 .由题意可知事件 与事件 相互独立，于是,另解,定义 设 、 、 为三个事件，如果,且,则称事件 、 、 相互独立,注 1三个事件相互独立，可以保证两两相互独立，但反之不然,例4.4 某一系统中的一个元件正常工作的概率叫做该元件的可靠性，由若干个元件组成的系统正常工作的概率叫做该系统的可靠性设有3个元件，每 个元件的可靠性均为 ，且各元件是否正常工作是相互独立的，试求由这3个元件串联而成的系统
27、以及由这三个元件并联而成的系统的可靠性,解 设 表示事件“第 个元件正常工作” ， 表示事件“串联系统正常工作”， 表示事件“并联系统正常工作”则有,或,且,n 重伯努利(Bernoulli)试验概型：,4 伯努利概型,在 重伯努利概型中，事件 发生 次的概率为,例5.1 某人向一目标独立射击100次，每次命中率为0.1，求恰好击中两次和至少击中一次的概率,解 这是一个100重伯努利概型， ，设 表示事件“恰好击中两次”， 表示事件“至少击中一次”，则,从上例中可以看出，每次射击命中率很小，只有0.1，但重复进行下去，几乎肯定能够击中目标,例5.2 某车间有10台机床相互独立地运行，设每台机床出故障的概率为0.2，求在同一时刻有3台到5台机床出故障的概率,解 这是10重伯努利概型， .设 表示事件“恰有 台机床出现故障”， 则所求概率为,例5.3 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为0.6,求目标被击毁的概率.,解 设 i 门炮击中目标为事件Ai , i= 28,设目标被击毁为事件B,各炮命中概率p = 0.6,则,概率很小的随机事件在一次实验中实际上几乎不发生，这一原理称为小概率事件的实际不可能原理，又 称为实际推断原理。,
