1、第 1 页 共 5 页 太原市 2020 年高三年级模拟试题（一） 数学数学试题试题（文（文）参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题（每一、选择题（每小小题题 5 5 分分，共，共 6060 分分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B C C B D D B C B D 二二、填空、填空题题（每（每小小题题 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 4 14. 1 2 15. 3 3 16.+1m 三、解答三、解答题题（共（共 7070 分）分） （一）必考题（一）必考题 17. （本小题满分 12 分） 解解： （）由题意得 0.002
2、 200.006 20200.012 200.010 20200.002 200.002 201aa ， 解得0.008a ，.2 分 设中位数为110 x，则0.002 200.006 200.008 200.0120.5x，解得15x ， 中位数是 125. .4 分 （）由 1750.002 200.006 200.008 200.012 2098. 估计一天步行数不大于 130 百步的人数为 98 人. .6 分 （）在区间 150,170中有 28 人，在区间170,190中有 7 人，在区间190,210中有 7 人， 按分层抽样抽取 6 人，则从 150,170抽取 4 人，17
3、0,190和190,210各抽取 1 人. .8 分 设从 150,170抽取 1234 ,A A A A，从170,190抽取 B，从190,210抽取 C， 则从 6 人中抽取 2 人的情况有： 12131411232422343344 ,AA AA AA AB AC A A A A A B AC A A A B AC A B AC BC共 15 种情况， 它们是等可能的， 其中满足两人均来自区间 150,170的有 121314232434 ,AA AA AA A A A A A A共 有 6 种情况， .11 分 62 155 P ， 两人均来自区间 150,170的概率为 2 5 .
4、 .12 分 微信公公众号免费下载站 第 2 页 共 5 页 18.（本小题满分 12 分） 解：解： （）2 21 cossin()cos 362 CC ， 1 sin()cos 62 CC， .1 分 131 cossincos 222 CCC， 311 sincos 222 CC， .3 分 1 sin() 62 C ，.5 分 而C为三角形内角， 3 C . .6 分 （）由ABC的面积为 3 3 2 及 3 C ，得 13 3 sin 232 ab ，.7 分 化简得6ab， .8 分 又3c ,由余弦定理，得 22 2cos9ababC ，化简得 22 15ab ， .10 分 所
5、以3 3ab， .11 分 所以 113 2b a ba b a . .12 分 19.（本小题满分 12 分） 证明证明（）由已知得 1 2 2ACBC， 1 2ADBDCD，.1 分 在三棱锥 1 ABCD中，点G是 1 AB中点， 1 DGAB， 1 CGAB，=DGCG G又，.3 分 1 ABDGC平面，.4 分 1 MNACBC又点、 分别是、的中点 1 MNAB， MNDGC平面. .6 分 解解（）由（）知， 1 ,CDAD CDBD，且 1 = ,ADBD D 1 CDADG平面， .8 分 0 1 60ADB又， 1 ADB是等边三角形， 1 DGAB， 1 2AB ， 1
6、1 1 1 2 AGAB， 3DG ，.10 分 1 1 113 13 222 A DG SAGDG ， 微信公公众号免费下载站 第 3 页 共 5 页 111 1133 2 3323 G A DCC A DGA DG VVSCD . .12 分 20.（本小题满分 12 分） 解解（） ecos x f xx，则 esin x fxx， 00,01f f . .3 分 因此，函数 ( )yf x 在点 0,0f 处的切线方程为y x ，即 0 xy ；.5 分 （）当0 x 时，e1cos x x ，此时， ecos0 x f xx， 所以，函数 ( )yf x 在区间 0,上没有零点；.6
7、 分 又 00f ，下面只需证明函数 ( )yf x 在区间 ,0 2 上有且只有一个零点. .7 分 esin x fxx，构造函数 esin x g xx，则 ecos x gxx， 当 0 2 x时， ecos0 x gxx，所以，函数( )yfx 在区间 ,0 2 上单调递增， 2 e10 2 f ， 010 f ， 由零点存在定理知，存在 ,0 2 t ，使得 0ft ，.9 分 当 2 xt时， 0fx ，当0tx时， 0fx. 所以，函数 ( )yf x 在x t处取得极小值，则 00f tf ， 又 2 e0 2 f ，所以 0 2 ff t ， 由零点存在定理可知，函数 (
8、)yf x 在区间 ,0 2 上有且只有一个零点. .11 分 综上所述， 函数 ( )yf x 在区间 , 2 上有且仅有两个零点. .12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：解： （）设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ，其中 22 1ba ， 由已知当2时，不妨设 2 BFm，则 2 2AFm， 1 ABBF， 1 3BFm， 由椭圆定义得24am，从而 12 2AFAFm， .2 分 微信公公众号免费下载站 第 4 页 共 5 页 C A F1 F2 B y x 故此时点A在y轴上，不妨设 A(0,)b，从而由已知条件可得 3 ( ,) 2 2 b B，.4 分 代入椭圆方
9、程，解得 2 3a ，所以 22 1ba =2， 故所求椭圆方程为 22 1 32 xy . .6 分 （）设直线AB方程为 1xmy ，代入椭圆22 236xy 中， 22 2(1)36myy，即 22 (23)440mymy， 12 2 4 23 m yy m ， 12 2 4 23 y y m ， 12 12 yy m y y ， .8 分 由题设知(2,0)H，直线BH斜率 2 2 2 BH y k x 2 2 1 y my 2 12 1 1 y yy y 1 y ，.10 分 BH方程为 1( 2)yy x，而直线 2 l方程为 1 yy，代入 1( 2)yy x，得3x 故点C的横
10、坐标是定值 3. .12 分 另解：另解：点C的横坐标是定值3，以下给出证明. 设 11 ( ,)A xy， 22 (,)B xy，代入椭圆方程，得 22 11 236xy， 22 22 236xy， 两边同乘以 2 ，得 22222 22 236xy， -，得 2 12121212 2()() 3()()6(1)xxxxyyyy， .8 分 由 22 AFF B，得 12 1xx， 12 0yy， 将 12 1xx， 12 0yy代入化简，得 12 3(1)xx， 从而 1 2x， 2 1 2x， .10 分 设点 31 (,)C xy，,C H B三点共线，设CH HB，则 32 12 2
11、(2), , xx yy 微信公公众号免费下载站 第 5 页 共 5 页 而已知 12 0yy， 32 2(2)xx， 32 223xx， 因此无论如何变化，点C的横坐标总是定值3. .12 分 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22.（本小题满分 10 分） 解解（）设点 ,M x y，(3cos ,3sin )P，且点6,0Q，由 2PMMQ， 得 4cos , sin , x y .2 分 整理得 2 2 41xy, 即 22 8150 xyx， .3 分 化为极坐标方程为 2 8 cos150. .5 分 （）设直线l：ykx的极坐标方程为. 设 1, A ， 2, B ， 因为 4
12、OAAB ，所以5 4OAOB ，即 12 54， .6 分 又 2 8cos150 ， 则 12 12 12 8, 15, 54, cos 解得 9 3 cos 16 ， .8 分 所以 22 2 113 tan1 cos243 k ， 9 27 3 k . .10 分 【选修 4-5：不等式选讲】 23.（本小题满分 10 分） 解： （）函数 ( )2221f xg xxax =222xax2(22)xax 21a ， .3 分 解得 1a 或 3a ； .5 分 （）不等式 ( )1f xg x ，即211xax， 由题意， 1 ,1 2 x 时，211xax 成立， 2xax 3 a xa ， .7 分 不等式 ( )1f xg x 的解集包含 1 ,1 2 ，即 1 32 a 且 1a ，.9 分 解得 3 1 2 a ，所以实数a的取值范围是 3 (1,) 2 .10 分 微信公公众号免费下载站
