1、圆的方程方程的意义例1例2例3例4练习圆的标准方程方程方程(2)就是圆心是就是圆心是C（a，b），半径是），半径是r的圆的方程。的圆的方程。r圆上的点与圆心有什么数量关系？设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心距离等于r的圆的集合是p=M|MC|=r。由两点的距离公式,点M适合的条件可表示为rbyax22)()(（1）如果把（如果把（1）式两边平方得）式两边平方得(2)222)()(rbyax如果圆心是坐标原点？xyCMYx222ryx(a,b)例1已知两点已知两点212136)9,4(PPPP），求以线段，（和为直径的圆的方程。为直径的圆的方程。并且判断点并且判断点)9,6(M)
2、3,3(N)3,5(Q是在圆上、圆内还是圆外。是在圆上、圆内还是圆外。解：设点解：设点C（a，b）为直径）为直径 的中点，则的中点，则21PP5264a6239b106954221）（）（CPr方程为方程为106522）（）（yx10CM1013 CN103CQ因此点因此点M在圆上，点在圆上，点N在圆外，点在圆外，点Q在圆内。在圆内。例例2 求一以求一以C（1，3）为圆心，并且和）为圆心，并且和直线直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。相切的圆的方程。已知圆心是已知圆心是C（1，3），那么只要求出圆的半径），那么只要求出圆的半径r，就能写出圆的方程。就能写出圆的方程。解解 因为圆因为圆C和直线
3、和直线3x-4y-7=0相切，所以相切，所以半径半径r等于圆心等于圆心C到这条直线的距离。根据点到这条直线的距离。根据点到直线的距离公式，得到直线的距离公式，得。）（516437341322r因此，所求的圆的方程是因此，所求的圆的方程是25256)3(122yx）（如图如图2-8，设切线的斜率为，设切线的斜率为k。OM的斜率为的斜率为K1.因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k=-1/k1。经过点经过点M的切线方程是的切线方程是整理得整理得因为点因为点M在圆上，所以在圆上，所以 x02+y02=r2，所求切线方程是所求切线方程是）（0000 xxyxyyk1
4、=y0/x0k=-x0/y0 x0 x+y0y=x02+y02x0 x+y0y=r2yxM解：解：o例例3 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过，求经过圆上一点圆上一点M（x0，y0）的切线的方程）的切线的方程。222ryx过一点求圆的切线的方程过一点求圆的切线的方程 1.求经过圆上一点求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程）的切线的方程。（1）圆）圆C的方程为：的方程为：222ryx200ryyxx切线方程为：2.求经过圆外一点求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程）的切线的方程。222)()(rbyax（2）圆）圆C的方程为：的方程为：200)()(rbybyaxax切线方程为：
5、常用求法简介：常用求法简介：.),(100kxxkyy于半径求圆心到该直线的距离等化为一般式，由：设直线为法.),(200kxxkyy的判别式等于零求出一元二次方程，由根联立圆的方程，消元为化为一般式，：设直线为法1.写出下列各圆的方程写出下列各圆的方程:(1)圆心在原点圆心在原点,半径是半径是3;(2)圆心是点圆心是点C(3,4),半径是半径是 (3)经过点经过点P(5,1),圆心在点圆心在点C(8,-3).2.一个原过点一个原过点P(12,0),且与且与y轴切于原点轴切于原点.求这个圆的方程求这个圆的方程,并判并判 断点断点A(6,-6)、B(5,-5)、C(2.5,5)是在圆内是在圆内,
6、在圆外在圆外,还是在圆上还是在圆上.3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0 相切。相切。求圆的方程。求圆的方程。4.写出过圆写出过圆x2+y2=10上一点上一点M 的切线的方程。的切线的方程。5.已知圆的方程是已知圆的方程是X2+y2=1。求：。求：（1）斜率等于）斜率等于1的切线方程；的切线方程；（2）在）在y轴上结截距是轴上结截距是 的切线方程。的切线方程。562(x2+y2=9)(x-3)2+(y-4)2=5(x-8)2+(y-13)2=25（x-6)2+y2=62 A在圆上在圆上,B在圆内在圆内,C在圆外在圆外X2+y2=14/502
7、yx02 xy)6,2(1062yx例例4 图图2-9是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度跨度AB=20米，拱高米，拱高OP=4米，在建造是每隔米，在建造是每隔4米需米需要用一个支柱支撑，求支柱要用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。的长度。由方程组由方程组答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86米。米。把点把点P2的横坐标的横坐标x=-2代入代入这个圆的方程，得这个圆的方程，得y=3.86(y0)22222201040rbrb）（）（下面用待定系数法来确定下面用待定系数法来确定b和和r的值的值。x2+（y-b）2=r2因为P、B都在圆上，所
8、以它们的坐标（0，4）、（10，0）满足方程解得：解得：b=10.5 r2=14.52所以圆的方程为所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52P2PBAOA1A3A4A2xy解：建立坐标系如图解：建立坐标系如图2-9。圆心在。圆心在y轴上。设圆心的坐标是（轴上。设圆心的坐标是（0，b）,圆圆的半径是的半径是r，那么圆的方程是，那么圆的方程是方程的意义方程的意义例例1 1练习练习例例2 2展开圆的标准方程展开圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）可见任何圆的方程都可以写成（可见任何圆的方程都
9、可以写成（1）式，）式，为圆心，）表示以（时，方程（当)2,2104.122EDFED为半径的圆。FED42122，）表示点（时，方程（当)2,2104.222EDFED）不表示点任何图形。时，方程（当104.322FED)2(44)2()212222FEDEyDx）配方得（将（反过来，形如（反过来，形如（1）的方程的曲线是不是圆呢？）的方程的曲线是不是圆呢？为圆心，）表示以（时，方程（当)2,210422EDFED为半径的圆。FED42122例例1 求过三点求过三点O（0，0）、）、M1（1，1）、）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心
10、坐标。因因O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解。把它们的在圆上，所以它们的坐标是方程的解。把它们的坐标依次代入上面的方程，得到关于坐标依次代入上面的方程，得到关于D、E、F的三元一次方程组的三元一次方程组解这个方程组，得解这个方程组，得F=0，D=-8、E=6。于是得到所求圆的方程。于是得到所求圆的方程 x2+y2-8x+6y=0有前面的讨论可知，圆的半径有前面的讨论可知，圆的半径r=圆心坐标是（圆心坐标是（4，-3）。分析：用待定系数法，根据所给条件，来确定分析：用待定系数法，根据所给条件，来确定D、E、F。02024020FEDFEDF542122FED022FEyDxyx解：设
11、所求的圆的方程为解：设所求的圆的方程为1.下列方程各表示什么图形？下列方程各表示什么图形？2.求下列各圆的半径和圆心坐标：求下列各圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2=0(2)x2+y2-2x+4y-6=0(3)x2+y2+2ax-b2=0(1)x2+y2-6x=0(2)x2+y2+2by=0（原点）（原点）（圆心为（圆心为（1，-2）半径为）半径为1的圆）的圆）半径为半径为3 圆心坐标为（圆心坐标为（3，0）半径为半径为b圆心坐标为（圆心坐标为（0，-b），时，是点（时，无图象，当当0002222aabab的圆。半径为是圆心为（时当2222)0,0abaab例例2 已知一曲线是与两个定点已知
12、一曲线是与两个定点O（0，0）、）、A（3，0）距离）距离的比的比 为为1：2的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线。的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线。解：解：在给定的坐标系里，设点在给定的坐标系里，设点M（x、y）是曲线上）是曲线上任意一点，也就是点任意一点，也就是点M属于集合属于集合由两点的距离公式由两点的距离公式,点点M所适合的条件可以表示为所适合的条件可以表示为化简得化简得这就是所求方程这就是所求方程.配方得配方得 所以方程所以方程(2)的曲线是以的曲线是以C(-1,0)为圆心的为圆心的,R=2为为半径的圆半径的圆,它的图形它的图形r如右。如右。21|AMOMMp213222
13、2yxyx）（x2+y2+2x-3=0（x+1）2+y2=4MOCyxA过一点求圆的切线的方程过一点求圆的切线的方程 1.求经过圆上一点求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程）的切线的方程。（1）圆）圆C的方程为：的方程为：222ryx200ryyxx切线方程为：2.求经过圆外一点求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程）的切线的方程。222)()(rbyax（2）圆）圆C的方程为：的方程为：200)()(rbybyaxax切线方程为：常用求法简介：常用求法简介：.),(100kxxkyy于半径求圆心到该直线的距离等化为一般式，由：设直线为法.),(200kxxkyy的判别式等于零求出一元二次方程，由根联立圆的方程，消元为化为一般式，：设直线为法切线方程。的点及圆的方程，求圆的过已知一点MM.1练练 习习 2.1)1(:),30()2(22yxCM圆，1:),23,21()1(22 yxCM圆0231yx）答：（334,0)2(xyx或答：
