1、4.3高阶高阶微分方程的降阶和幂级数解法微分方程的降阶和幂级数解法 一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式:0),()(nxxxtF 1 不显含未知函数不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)k-1(k1)阶导数的方程是阶导数的方程是)57.4(0),()()1()(nkkxxxtF阶方程的则可把方程化为若令knyyxk,)()58.4(0),()(knyyytF若能求得(4.58)的通解),(1knccty对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解即),(1)(knkcctx为任常数这
2、里nncccctx,),(11 解题步骤解题步骤:则方程化为令,)(yxk第一步:0),()(knyyytF第二步:求以上方程的通解),(1knccty即),(1)(knkcctx第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解为任常数这里nncccctx,),(11)57.4(0),()()1()(nkkxxxtF解令,44ydtxd则方程化为01ytdtdy这是一阶方程,其通解为,cty 即有,44ctdtxd对上式积分4次,得原方程的通解为,54233251ctctctctcx例1.014455的通解求方程dtxdtdtxd 2 不显含自变量不显含自变量t的方程的方程,一般形式一般形式:)59
3、.4(,0),()(nxxxF,作为新的自变量而把作为新的未知函数此时以xxy,ydtdx因为dtdy22dtxddxdydtdx,dxdyy3232d xd d xdtdt dtdtd)(dxdyydxdxdyyd)(dtdx,222dxydy2)(dxdyy用数学归纳法易得:来表达可用)(,)1()1()(nkdxyddxdyyxkkk将这些表达式代入(4.59)可得:2222(,(),)0dydyd yF x y yyydxdxdx即有新方程0),()1()1(nndxyddxdyyxG它比原方程降低一阶 解题步骤解题步骤:第一步:原方程化为自变量为新的为新的未知函数并令,xyxy 0)
4、,()1()1(nndxyddxdyyxG第二步:求以上方程的通解),(11nccxy第三步:解方程),(11nccxdtdx即得原方程的通解解令,作为新的自变量并以xydtdx则方程化为02 ydxdyxy从而可得,0y及,xydxdy这两方程的全部解是,1xcy 例2.0)(222的通解求方程dtdxdtxdx再代回原来变量得到,1xcdtdx所以得原方程的通解为12,c txc e 3 已知齐线性方程的非零特解已知齐线性方程的非零特解,进行降阶进行降阶1(1)0 xx设是二阶齐线性方程22()()0,(4.69)d xdxp tq t xdtdt的非零解令1xx y则11xx yx y1
5、112xx yx yx y代入(4.69)得1111112()()()0 x yxp t x yxp t xq t x y即1112()0 x yxp t x y1112()0 x yxp t x y引入新的未知函数,zy方程变为1112()0dzxxp t x zdt是一阶线性方程,解之得()21,p t dtczex因而()112211,(4.70)p t dtxx ccedtx12,c c这里是任常数.则()21211,p t dtycedtcx因此(4.69)的通解为1x因它与 之比不等于常数,12,x x故线性无关120,cc令=1得(4.69)的一个解:()21211,p t dt
6、xxedtx()112211,(4.70)p t dtxx ccedtx12,c c这里是任常数.22()()0,(4.69)d xdxp tq t xdtdt 解题步骤解题步骤:第一步:1xx y令方程变为1112()0 x yxp t x y第二步:zy令方程变为1112()0dzxxp t x zdt解之得()21,p t dtczex即()112211,(4.70)p t dtxx ccedtx第三步:1210,ccx令=1得与 线性无关一个解:()21211,p t dtxxedtx第四步:(4.69)的通解为()112211,(4.70)p t dtxx ccedtx12,c c这
7、里是任常数.注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)解这里12sin(),tp txtt由(4.70)得22122sindtttccedtt例322sin20.td xdxxxtdtt dt已知是方程的解,试求方程的通解2122sinsinttcctt12sintcct121sincos ctctt12,c c这里是任常数.sintxt21dttcot t(2)一般已知齐线性方程111()()0(4.2)nnnnnd xdxa ta t xdtdt2,kx xx1的k个线性无关的解0,1,2,ixik显然,kxx y令则kkxx yx y2kkkxx yx yx y()()(1)(2)(
8、)(1)2nnnnnkkkkn nxx ynx yx yxy代入(4.2)得()(1)1()nnkkkx ynxa t xy()(1)1()0nnkknkxa t xa xy(4.2)kx因 为的解,y故 的系数恒为零,y即化为不含 的方程,zyxk令则在0的区间上方程变为(1)(1)11()()0,(4.67)nnnzb t zbt z(),1,2,1(4.67)1iikxzikkx且是的个线性无关的解事实上21,(4.2),kx xx1由为的解及以上变换知()kkxzxxzdtx或21,(4.67),kz zz1因此是的解若12211kkzzz10则121kkkkkxxxxxx 12k-1
9、即12211kkkkxxxx102,kx xx1由线性无关知121,kk 全为021,kzz1故z线性无关因此,对(4.67)仿以上做法,1,kzudt令z-2un则可把方程化为关于 的阶线性方程(2)(3)12()()0,(4.68)nnnuc t uct u,k且可(4.68)的-2个线性无关的解1(),1,2,2iikzuikz-n k以上做法一直下去,可降低阶.二、二阶线性方程的幂级数解法二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程22()()0(4.72)d ydyp xq x ydxdx其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件(1)0000(),()y
10、xyy xy的情况用级数表示解?00)x(不失一般性,可设定理10,(4.72)p xq xxxR若方程(4.72)中系数()和()都可展成 的幂级数,且收敛区间为则方程有形如0,(4.73)nnnya x=.xR的特解,也以为级数的收敛区间定理112()()()(),(4.72)p xq xxp xx q xxR若方程(4.72)中系数和都具有这样的性质,即和均可展成x的幂级数,且收敛区间为则方程有形如00,(4.75)nnnnnnyxa xa x00,.axR的特解,这里是一个待定常数,级数(4.75)也以为收敛区间例4240(0)0,.xyyyy求方程y满足初始条件(0)=1的解解设级数
11、1nnaa xa x0y=为方程的解,(1,2,)a i i这里是一个待定常数,由初始条件得:10,1;aa0因而22nny xa xa x=122nnya xna x=122323 2(1)nnyaa xn na x=将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得220a 33 2240a4224 3440aaa22(1)2(2)40nnnn nanaa即20,a 31,a 40,a,22,1nnaan因而51,2!a 60,a 71,3!a 80,a 91,4!a 也即211,!kak20,ka;k对一切正整数 成立故方程的解为52132!kxxxxky=422(1)2!kxxxxk2x
12、xe例522222()0(4.74).d ydyxxxnydxdxn求解n阶Bessel方程这里 为非负常数解将方程改写为2222210d ydyxnydxx dxx易见,它满足定理11条件,且222()1,()xp xx q xxn,11xx 按 展成的幂级数收敛区间为由定理方程有形如0,(4.75)knkya x00,a的解,这里是一个待定常数,将(4.75)代入(4.74)中,得220kkxa x k(+k)(+k-1)10kkxa xk(+k)220()0kkxna xkx比较 的同次幂系数得220()0an221(1)0an222()0,2,3,kkaknak(4.76)a 0因为0
13、,220,n则有,n 从而,n为确定起见暂令由(4.76)得10,a 2,2,3,(2)kkaakknk 即2121,(21)(221)kkaaknk 222,2(22)kkaaknk 1,2,k 从而可得210,1,2,kak022(1),2!(1)(2)()kkkaak nnnk 1,2,k 0,nBessel因此在时 得到方程的一个解201021(1),(4.77)2!(1)()nkk nkkaya xxk nnk0a若将任常数 取为012(1)nan-10()(1)()xppe xdxppp这里,注意到时.因此(4.77)变为2101(1)()(),(4.77)!(1)2kk nnkx
14、yJxknk()(4.74),.nJxBesselnBessel是由方程定义的特殊函数 称为 阶函数,n 当时 完全类可得210,1,2,kak022(1),2!(1)(2)()kkkaaknnnk 1,2,k 若取012(1)nan 则可得(4.74)的另一个特解2201(1)()(),(4.78)!(1)2kk nnkxyJxknk ()(4.74),.nJxBesselnBessel是由方程定义的特殊函数 称为-阶函数由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.-,()()nnJxJx因此,当 不等于非负整数时和都是(4.74)的解,且线性无关.因而(4.74)的通解为12
15、()(),nnyc Jxc Jx12,.c c这里为任常数()nnakn 2k当 等于正整数,而,不能从(4.76)确定因此,不能象上面一样求得通解;()nJx但可用一3介绍的降阶法,求出与线性无关的解,因此,(4.74)的通解为11221(),()dxxnnyJx ccedxJx1221(),()nnJx ccdxxJx12,.c c 为任常数例6229(4)0.25x yxyxy求方程的通解解2tx引入新变量我们有2dydy dtdydxdt dxdt2222(2)4d yddy dtd ydxdtdt dxdt代入方程得22229()025d ydytttydtdt3,5nBessel这是的方程 故方程的通解为132355()(),yc Jtc Jt代回原来的变量得原方程的通解为132355(2)(2),yc Jxc Jx12,.c c 为任常数作业vP165 2,5,vP165 8,10
