1、3.3 几何概型3.3.1 几何概型问题问题1:1:如图，转盘上有如图，转盘上有8 8个面积相等的扇形个面积相等的扇形.转动转盘，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率.问题问题2:2:在在500 ml500 ml的水中有一只草履虫，现从中随的水中有一只草履虫，现从中随机取出机取出2 ml2 ml水样放到显微镜下观察，求发现草履水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率虫的概率.以上两个试验的可能结果个数无限，所以它们以上两个试验的可能结果个数无限，所以它们都不是古典概型都不是古典概型.在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结在现实生活中，常常会遇
2、到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率事件发生的概率.我们必须学习新的方法来解决这类我们必须学习新的方法来解决这类问题问题.为此，我们学习为此，我们学习几何概型几何概型.1.1.正确理解几何概型的概念正确理解几何概型的概念.(重点重点)2.2.掌握几何概型的概率公式掌握几何概型的概率公式.(难点难点)3.3.会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型某种概型是古典概型还是几何概型.(难点难点)探究点探究点1 1 几何概型的概念几何概型的概念1
3、.1.图中有两个转盘图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏甲乙两人玩转盘游戏,规定当指规定当指针指向针指向B B区域时区域时,甲获胜甲获胜,否则乙获胜否则乙获胜.在两种情况下在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少分别求甲获胜的概率是多少?以转盘（以转盘（1 1）为游戏工具时，）为游戏工具时，甲获胜的概率为甲获胜的概率为以转盘（以转盘（2 2）为游戏工具时，）为游戏工具时，甲获胜的概率为甲获胜的概率为(1)(1)(2)(2)1.23.5事实上事实上,甲获胜的概率与字母甲获胜的概率与字母B B所在扇形区所在扇形区域的圆弧的域的圆弧的长度有关长度有关,而与字母而与字母B B所在区域的所在区域的位位置无关置
4、无关.因为转转盘时因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点指针指向圆弧上哪一点都是等可能的都是等可能的.不管这些区域是相邻不管这些区域是相邻,还是不相还是不相邻邻,甲获胜的概率是不变的甲获胜的概率是不变的.【总结提升总结提升】2.2.下图是卧室和书房地板的示意图，图中所有方砖下图是卧室和书房地板的示意图，图中所有方砖除颜色外完全相同，甲壳虫除颜色外完全相同，甲壳虫 分别在卧室和书房分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？在卧室在卧室里，甲壳虫停留在黑砖上
5、的概率大里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大.书房书房卧室卧室 事实上事实上，甲壳虫停留在黑砖上的甲壳虫停留在黑砖上的概率与黑概率与黑砖的总面积有关砖的总面积有关.【总结提升总结提升】3.3.用大小两个玻璃盆分别去捞鱼缸中红白相间的用大小两个玻璃盆分别去捞鱼缸中红白相间的金鱼，哪个捞到金鱼的概率大？金鱼，哪个捞到金鱼的概率大？大的大的.事实上事实上，捞到金鱼的概率与盆的体积有关，捞到金鱼的概率与盆的体积有关.【总结提升总结提升】几何概型几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度域的长度(面积或体积面积或体积)成比例成比例,则称这样的概率模则称这样的概
6、率模型为型为几何概率模型几何概率模型,简称为几何概型简称为几何概型.几何概型的特点几何概型的特点:(1)(1)试验中所有可能出现的结果试验中所有可能出现的结果(基本事件基本事件)有无限有无限多个多个；(2)(2)每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等.注意与古典概型的不同古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别相同：相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的；两者基本事件发生的可能性都是相等的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概古典概型要求基本事件有有限个，几何概 型要求基本事件有无限多个型要求基本事件有无限多个.【总结提升总结提升】几何概型的问题又如何来
7、计算呢？几何概型的问题又如何来计算呢？1.1.与长度有关的几何概型的概率的求法与长度有关的几何概型的概率的求法取一根长度为取一根长度为3 3米的绳子，拉直后在任意位置随米的绳子，拉直后在任意位置随机剪断，那么剪得的两段的长度都不小于机剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 1米的米的概率有多大？概率有多大？M MN NE EF F探究点探究点 2 2几何概型的概率计算公式几何概型的概率计算公式解：解：设设A=A=“剪得两段的长度都不小于剪得两段的长度都不小于1 1”，用线段，用线段MNMN表表示示3 m3 m的绳子，的绳子，E E、F F为为MNMN的两个三等分点的两个三等分点.因为因为EF=1
8、 m,EF=1 m,所以所以P(A)=P(A)=1.3构构成成事事件件A A的的区区域域长长度度P P（A A）=.试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成的的区区域域长长度度【总结提升总结提升】2.2.与面积有关的几何概型的概率的求法与面积有关的几何概型的概率的求法假设一飞船即将着陆，而着陆地点分主着陆场、次假设一飞船即将着陆，而着陆地点分主着陆场、次着陆场两部分，主着陆场为边长为着陆场两部分，主着陆场为边长为120m120m的正方形区的正方形区域，着陆场总面积为边长为域，着陆场总面积为边长为200m200m的正方形区域的正方形区域.求飞求飞船在主着陆场内着陆的概率船在主着陆场内着陆的概率.
9、解解:设设“飞船在主着陆场内着陆飞船在主着陆场内着陆”为事件为事件A,A,221209().20025P A.P构构成成事事件件A的A的区区域域面面积积（A）A）=试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成的的区区域域面面积积【总结提升总结提升】3.3.与体积有关的几何概型的概率的求法与体积有关的几何概型的概率的求法在在1L1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子子,从中随机取出从中随机取出10 mL,10 mL,含有麦锈病种子的概率是含有麦锈病种子的概率是多少多少?解：解：设取出设取出10 m10 mL L麦种，其中麦种，其中“含有麦锈病种子含有麦锈病种子
10、”这一事件为这一事件为A,A,101().1 000100P A 构构成成事事件件A A的的区区域域体体积积P P（A A）=.试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成的的区区域域体体积积【总结提升总结提升】在几何概型中在几何概型中,事件事件A A的概率的计算公式的概率的计算公式:构构成成事事件件A A的的区区域域长长度度（面面积积或或体体积积）P P（A A）=试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成的的区区域域长长度度（面面积积或或体体积积）例例 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于机，想听电台报时，求他等待的时间不
11、多于1010分分钟的概率钟的概率.分析：分析：解：解：设设A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟，事件，事件A A恰恰好是打开收音机的时刻位于好是打开收音机的时刻位于5050，6060时间段内，时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得因此由几何概型的求概率的公式得即即“等待报时的时间不超过等待报时的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为60501().606P A 1.60 050506060某人向一个半径为某人向一个半径为6 6的圆形标靶射击，假设他每次射的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则
12、此人射击中靶点与靶心的距离小于击中靶点与靶心的距离小于2 2的概率为的概率为()()解：解：靶点与靶心的距离小于靶点与靶心的距离小于2 2的区域是以靶心为圆心的区域是以靶心为圆心以以2 2为半径的圆的内部，故所求概率为为半径的圆的内部，故所求概率为1111A.B.C.D.1394241P.369B B【变式练习变式练习】2.2.某汽车站每隔某汽车站每隔1515分钟就有一辆汽车到达，乘客分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，那么一位乘客到达车到达车站的时刻是任意的，那么一位乘客到达车站后等车时间大于站后等车时间大于1010分钟的概率是（分钟的概率是（）3221A.B.C.D.5353
13、D D3.3.如图所示，边长为如图所示，边长为2 2的正方形中有一封闭曲线围成的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为影区域内的概率为 则阴影区域的面积为则阴影区域的面积为()()A.B.A.B.C.D.C.D.无法计算无法计算解：解：由几何概型知：由几何概型知：故故2,3438323S2.S3阴正方形228S2.33阴B B4.4.一只小蜜蜂在一个棱长为一只小蜜蜂在一个棱长为3 3的正方体内自由飞行，的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6 6个表面
14、的距个表面的距离均大于离均大于1 1，称其为，称其为“安全飞行安全飞行”，则蜜蜂，则蜜蜂“安全飞安全飞行行”的概率为的概率为()()解：解：蜜蜂安全飞行的空间是棱长为蜜蜂安全飞行的空间是棱长为1 1的正方体，故所的正方体，故所求概率为求概率为812615A.B.C.D.272727273311P.327B B5.5.取一个边长为取一个边长为2a2a的正方形及其内切圆，随机地向的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.解：解：记记“豆子落在圆内豆子落在圆内”为事件为事件A,A,答：豆子落入圆内的概率为答：豆子落入圆内的概率为2a
15、圆圆的的面面积积正正方方形形的的面面积积22()=.44aP Aa.4 6.6.在区间在区间-3,3-3,3上随机取一个数上随机取一个数x x，使得，使得|x+1|-|x-2|1|x+1|-|x-2|1成立的概率为成立的概率为_._.【解题指南解题指南】可先定义新函数可先定义新函数f(x)=|x+1|-|x-2|f(x)=|x+1|-|x-2|，然，然后根据分段函数的特点将问题转化为几何概型问题后根据分段函数的特点将问题转化为几何概型问题.解解:设设 ，则则由由 ，解得，解得 ，即当，即当时，时，.由几何概型公式得所求概率为由几何概型公式得所求概率为 .答案：答案：()12f xxx3,31()1221,123,23xf xxxxxx 211x 12x13x()1f x 3 1213(3)63 31几何概型几何概型构构成成事事件件A A的的区区域域长长度度（面面积积或或体体积积）P P（A A）=.=.试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成的的区区域域长长度度（面面积积或或体体积积）特点特点公式公式基本事件的发生都是等可能的基本事件的发生都是等可能的基本事件有无限多个基本事件有无限多个 “意志”保护“愿望”，使“愿望”能够继续“愿望”下去而不冒巨大的危险.
