1、改变量改变量,(可正可负可正可负)的改变量的改变量 ,（可正可负（可正可负)的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义，在在点点设设函函数数0)(xxfy 当自变当自变).()(00 xfxfxx变变到到，相相应应地地函函数数值值从从变变到到量量从从,x 记为记为0 xxx 即即xxx 0,y 记为记为)()(00 xfxxfy 一、函数的连续性一、函数的连续性1.自变量的改变量和函数的改变量自变量的改变量和函数的改变量称称为为自自变变量量的的0 xx 称称为为函函数数)()(0 xfxf（1）自变量的改变量）自变量的改变量（2）函数的改变量）函数的改变量)()(0 xfxfy 即即第三节第三节 函
2、数函数的连续性与间断点的连续性与间断点)(增量增量)(增量增量)(xfy 注注:yx ,分别为整体记号分别为整体记号 ,不能理解为不能理解为x y 及及0 x)(0 xfxx 0)(0 xxf x)()(00 xfxxfy 变变到到变变量量从从函函数数的的改改变变量量表表示示当当自自在在几几何何上上0,x时，时，xx 0曲线上相应点的纵坐标的改变量。曲线上相应点的纵坐标的改变量。21.0 11.122 )1()1.1(ff)1()1.01(ff解解)()(00 xfxxfy.1.0,1102时时的的改改变变量量当当求求函函数数例例 xxxy定义定义1 1 如果如果0 )()(lim000 xf
3、xxfxlim0 yx的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义，在在点点设设函函数数0)(xxf则称函数则称函数)(xfy 在在0 x 点点连续连续.)(0的连续点的连续点称为称为xfx在上述定义中在上述定义中,0 xxx 设设.00 xxx 时，有时，有当当)()(00 xfxxfy 而而)()(0 xfxf 0)()(limlim000 xfxfyxx)()(lim00 xfxfxx 从而从而定义定义2 2的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义，在在点点设设函函数数0)(xxf)()(lim00 xfxfxx 如果如果则称函数则称函数)(xfy 在在0 x 点点连续连续.2.2.函数在点函数在点
4、0 x 处的连续性处的连续性)41()41(由由指出指出:定义定义1与定义与定义2是等价的是等价的.例例 2 证明函数证明函数1)(3 xxf在在2 x处连续处连续证明证明9)1(lim32 xx)(lim2xfx所以函数所以函数1)(3 xxf在在2 x处连续。处连续。【注注】若若)()(lim00 xfxfxx ,则称函数则称函数)(xfy 在在0 x点点左连续左连续。若若)()(lim00 xfxfxx ,则称函数则称函数)(xfy 在在0 x点点右右连续连续。函数函数)(xfy 在在0 x 点连续的点连续的充分必要条充分必要条件是件是:函数函数)(xfy 在在0 x 点点既既左连续且右
5、连续左连续且右连续。)2(f 因为因为结论结论:证证 xxx1sinlim0,0)0(f又又由定义由定义1知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 0,0,0,0,1sin)(.1 xxxxxxf在在试证函数试证函数.处连续处连续0)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx 右连续但不左连续右连续但不左连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf处的处的在在讨论函数讨论函数0,0,2,0,2)(.2 xxxxxxf.连续性连续性2 2 )0(f)0(f)2(lim0 xx)2(lim0 xx3.函数在区间上的连续性函数在区间上的连
6、续性在左端在左端点点ax 处右连续处右连续则称则称函数连续点的全体所构函数连续点的全体所构成的区间成的区间 ,称为函数的连续区间。称为函数的连续区间。bx 处左连续处左连续 ,且在右端点且在右端点)(xf在闭区间在闭区间上连续上连续,ba()若函数若函数)(xf在开区间在开区间内每一点都连续。内每一点都连续。),(ba()若函数若函数)(xf在开区间在开区间内连续内连续 ,),(ba则称则称在开区间在开区间内连续内连续。)(xf),(ba在连续区间上在连续区间上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。.),(sin3内内是是连连续续函函数数在在证证明明例例 x
7、y证明证明),(xxxxysin)sin()2cos(2sin2xxx ,02sinlim0 xx1|)2cos(|xxyx 0lim)2cos(2sinlim20 xxxx 0.),(sin内内连连续续在在所所以以 xy为为任任意意一一点点，由由于于x4.初等函数的连续性初等函数的连续性函数的连续性是通过极限来定义的函数的连续性是通过极限来定义的,因此因此 ,由极由极限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：法则法则1 1(连续函数的四则运算连续函数的四则运算),设函数设函数)(xf和和)(xg均在均在0 x 点连续点连续 ,则则)()(
8、xgxf、)0)(0 xg都在都在0 x点连续。点连续。),()(lim00 xfxfxx 设设).()(lim00 xgxgxx),()(00 xgxf )()(lim0 xgxfxx 则则即即.0)(0 xg、)()(xgxf、)()(xgxf),()(00 xgxf )()(lim0 xgxfxx)()(lim0 xgxfxx)()(00 xgxf 法则法则2 2 (反函数的连续性反函数的连续性)单调连续函数的单调连续函数的反函数在其对应的区间上是连续的。反函数在其对应的区间上是连续的。基本初等函数基本初等函数在其在其 定义域内定义域内是连续的。是连续的。应用函数连续的定义与上述两个法则
9、，应用函数连续的定义与上述两个法则，可以证明可以证明.),(sin内内是是连连续续函函数数在在前前面面已已证证明明 xy.22sin上上是是连连续续函函数数，在在当当然然 xy。上是连续函数上是连续函数在在所以所以由法则由法则1,1arcsin,2 xy 设函数设函数)(uf在点在点0u 处处连续连续 ,函数函数)(xuj j 在点在点0 x 处连续处连续 ,且且)(00 xuj j ,则则法则法则3 说明连续函数的复合函数仍为连续函数，说明连续函数的复合函数仍为连续函数，并可得如下结论：并可得如下结论：),()(lim00ufufuu),()(lim00 xxxxj jj j 设设),(00
10、 xuj j 且且).()(lim00 xfxfxxj jj j 则则).(lim)(lim00 xfxfxxxxj jj j 即即.可交换顺序可交换顺序函数符号函数符号这表明极限符号与复合这表明极限符号与复合f例如例如 0 0)sinlimarctan(xx)arctan(sinlim0 xx复合函数复合函数在点在点0 x 处连续。处连续。)(xfyj j(复合复合函数的连续性函数的连续性)法则法则3 3法则法则3),(xuj j 设设,)(lim0axxx j j且且在点在点而而)(ufy 0)(xxxfy 当当则复合函数则复合函数j j,连续连续au ,时时的的极极限限存存在在).()(
11、lim0afxfxx j j且且).(lim)(lim00 xfxfxxxxj jj j 即即xx1)1ln(0 xlim解解又由于函数又由于函数uln 在在eu 处是连续的处是连续的 ,故故1 ln e)1ln(xx0 xlim令令xu)1(x1e 0 x x)1(limx1)1ln(x0 xlimx1)1(limln10 xxxx xxx)1ln(lim40 求求例例xxx)1ln(lim0.)(0也不一定有定义也不一定有定义在在xxxu j j指出指出:，不一定等于不一定等于ax)(0j j解解;sinlnlim.10 xxxxxxsinlnlim0)sinlimln(0 xxx 1ln
12、 0);arccos(lim.22xxxx 解解)arccos(lim2xxxx )(limarccos2xxxx xxxxx 2limarccos1111limarccos xx21arccos 3 定理定理 由于由于基本初等函数基本初等函数在其在其定义域内定义域内是连是连续的续的 ，初等函数在初等函数在其其定义定义区间区间内内是连续的。是连续的。若若)(xf为初等函数为初等函数 ,且且0 x 在其定义区间内在其定义区间内 ,则则这表明这表明:对连续函数在连续点求极限对连续函数在连续点求极限,只需求该点函数值只需求该点函数值.由由以上法则，可得：以上法则，可得：例例5 求求2211limxx
13、 23 1lim221 xx解解因此，初等函数的定义区间就是它的连续区间。因此，初等函数的定义区间就是它的连续区间。)(lim0 xfxx)(0 xf 2211 求下列函数的连续区间，并求极限：求下列函数的连续区间，并求极限：);(lim,arccos1)(.102xfxxxfx );(lim,64)(.25xfxxxfx 解解1，的定义区间为的定义区间为1,1)(xf.1,1)(的连续区间为的连续区间为所以所以xf)(lim0 xfx0arccos012 解解2，的定义区间为的定义区间为6,4)(xf.6,4)(的连续区间为的连续区间为所以所以xf)(lim5xfx0)0(f 21 )5(f
14、 如果如果函数函数)(xf在点在点0 x 处处不连续不连续 ,就就称称)(xf在点在点0 x 处处间断间断,0 xx 点称为函数点称为函数)(xf的的间断点间断点或或不连续不连续点点。由函数连续性定义可知由函数连续性定义可知 ,连续必须连续必须在点在点0)(xxf：同同时时满满足足以以下下三三个个条条件件;)()1(0有定义有定义在点在点函数函数xxf存在；存在；)(lim)2(0 xfxx；)()(lim)3(00 xfxfxx 何何一一个个，不不满满足足三三个个条条件件中中的的任任如如果果函函数数)(xf.)(0的的一一个个间间断断点点就就是是函函数数那那么么点点xfxx 二、函数的间断点
15、二、函数的间断点间断点分类间断点分类：间断点可分为以下几种类型间断点可分为以下几种类型 ,按左、右极限是否按左、右极限是否都存在来分类。都存在来分类。（一）第一类间断点（一）第一类间断点(左、右极限均存在左、右极限均存在)但不相等但不相等;2.2.跳跃间断点跳跃间断点1.1.可去间断点可去间断点00 均存在均存在与与,)(lim)(limxfxfxxxx存在存在,)(lim0 xfxx（二）第二类间断点（二）第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在左、右极限至少有一个不存在);()(lim00 xfxfxx 但但;)()(lim00处无定义处无定义在在存在，但存在，但或或xxfxfxx,1)1
16、(f2)(lim1 xfx),1(f.1为函数的可去间断点为函数的可去间断点故故 x,2)1(f令令oxy112 ,1,1,10,2)(*xxxxxf则则.1处连续处连续在在 x)(lim1xfx xx2lim1 2)(lim1xfx)1(lim1xx 2 ,1,11,10,1,2)(xxxxxxf函数函数例例1例例 2 11)(2 xxxf函数函数2 所以所以1 x为函数为函数)(xf的可去间断点。的可去间断点。令令2)1(f则函数则函数)(xf在在1 x点处就连续了。点处就连续了。oxy2112 xxy1 处无定义，处无定义，在在1)(xxf11lim21 xxx)(lim1xfx)1(l
17、im1 xx例例 3 函数函数 010001)(xxxxxxf1 0)1(lim xx由于左极限由于左极限)(lim0 xfx1 )1(lim0 xx)(lim0 xfx 所以所以0 x点为函数点为函数)(xf的跳跃间断点。的跳跃间断点。右极限右极限o1 1 yx 对于可去间断点，对于可去间断点，我们可以补充我们可以补充或改变或改变(当当)(0 xf有定义时有定义时)函数在函数在0 x 点处的定义点处的定义,(当当)(0 xf无定义无定义时）时）使使0 x 点处连续。点处连续。函数在函数在指出：指出：例例 4 函数函数11)(xxf在在1 x点处点处 ，由于由于 11lim1xx)(lim1x
18、fx 所以所以1 x为为)(xf的第的第二类间断点。二类间断点。1（无穷型间断点）（无穷型间断点）.01sin)(5处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数例例 xxxf解解xy1sin,0)(处处没没有有定定义义在在 xxf.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为为第第二二类类间间断断点点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间并并判判断断其其类类型型，的的间间断断点点求求,231)(.122 xxxxf)2)(1(1)(2 xxxxf，都是函数的间断点都是函数的间断点2,121 xx)(lim1xfx)2)(1(1lim21 xxxx)2(1lim1 xxx2 )(lim
19、2xfx)2)(1(1lim22 xxxx)2(1lim2 xxx 是可去间断点是可去间断点,则补充或改变定义则补充或改变定义,使函数在该点连续。使函数在该点连续。如果如果解解都无定义，都无定义，在在2,1)(21 xxxf，是函数的可去间断点是函数的可去间断点11 x2)1(f令令则函数则函数)(xf在在1 x点处就连续了。点处就连续了。.22是函数的无穷型间断点是函数的无穷型间断点 x.0处连续处连续在在 x解解xxcoslim0 ,1)(lim0 xax ,a,)0(af),0()00()00(fff 必须必须,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf,1
20、a ,0,0,cos)(xxaxxxf函数函数,.2取何值时取何值时当当a)(lim0 xfx)(lim0 xfx 处连续，处连续，在在要使要使0)(xxfba)(2xf三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质下面介绍下面介绍闭区间闭区间上上连续函数连续函数的一些重要性质，的一些重要性质，我们不证明，只给出几何说明。我们不证明，只给出几何说明。定理定理1(最值性质最值性质)则则)(xf必存在最大值必存在最大值M和和最小值最小值m,即在闭区间即在闭区间,ba上至少存在两点上至少存在两点21,xx ,使得使得)(1xf2x 1x mM,)(1Mxf,)(2mxf 上连续，上连续，在闭区
21、间在闭区间设函数设函数,)(baxf如如 ,函数函数 10100011)(xxxxxxf在闭区间在闭区间1,-1 上有间断点上有间断点0 x ,函数函数)(xf在闭区间在闭区间1,-1 上不存在最上不存在最大值大值 ,也不存在最小值。也不存在最小值。又如又如 ,函数函数xxf1)(在开区间在开区间)4,1(内内不存在最大值不存在最大值 ,也不存在最小值。也不存在最小值。是连续函数是连续函数14xy1【注意注意】间断点的函数，间断点的函数，定理的结论不一定成立。定理的结论不一定成立。(1)对开区间内的连续函数对开区间内的连续函数或闭区间上有或闭区间上有o1 1 yx 内，内，但在但在)4,1(2
22、)函数的最大和最小值的点也可能是区间函数的最大和最小值的点也可能是区间,ba的的 端点端点 .如函数如函数12 xy在在2,1上连续上连续,它的最大值是它的最大值是5)2(f,它的最小值是它的最小值是3)1(f 均在区间均在区间2,1的端的端点上取得。点上取得。xyo132512 xy定理定理2(介值性介值性)设函数设函数)(xf在在闭区间闭区间,ba上连续上连续 ,M和和m分别是分别是)(xf在区间在区间,ba上的上的最最大值大值和和最小值最小值 ,则对于满足则对于满足Mm m m的任何实数的任何实数 m m至少存在一点至少存在一点,ba x x 使得使得Mmab)(xfy yxom m 1
23、x x2x x定理定理2指出：指出：可可以以取取遍遍上上的的连连续续函函数数闭闭区区间间)(,xfba。之间的一切数值之间的一切数值与与Mmm mx x)(fba)(xfy AB推论推论(方程方程根根的存在的存在性性)设函数设函数)(xf在在闭区闭区间间,ba上连续上连续 ,且且0)()(bfaf ,),(ba x x使得使得0)(x xf则至少存在一点则至少存在一点1x x2x x3x x几何意义：几何意义：轴轴的的两两侧侧时时，在在、的的端端点点当当连连续续曲曲线线xBAxfy)(.)(轴轴至至少少有有一一个个交交点点与与曲曲线线xxfy 例例 证明方程证明方程2431xx 在区间在区间)
24、1,0(内至少有一内至少有一实根。实根。证明证明 设设2431)(xxxf 因为函数因为函数)(xf在闭在闭区间区间1,0上连续上连续 ,又有又有)0(f 1，1)1(f 故故0)1()0(ff ,根据推论可知，根据推论可知，至少存在一点至少存在一点)1,0(x x ,使使0)(x xf ,即即031)(24 x xx xx xf由推论知：由推论知：.0)(的的一一个个根根为为方方程程 xfxx x内内，位位于于且且),(bax x根根。在在某某个个开开区区间间内内存存在在实实从从而而可可判判定定方方程程0)(xf。内内至至少少有有一一个个实实根根在在方方程程因因此此x x)1,0(31,24
25、xx .)1,0(3内内至至少少有有一一个个实实根根在在所所以以方方程程xex 证明证明上连续，上连续，在在因为因为1,0)(xfxexfx3)(设设03)0(0 ef3)1(ef1 0 0 0)1()0(ff,0)(),1,0(x xx xf使使故至少存在一点故至少存在一点03)(x xx xx xef即即.)1,0(3.1内内至至少少有有一一个个实实根根在在证证明明方方程程xex 至至少少有有一一个个正正根根，且且证证明明方方程程bxax sin.2)0,0(.baba其中其中不大于不大于证明证明上连续，上连续，在在因为因为,0)(baxf bxaxxf sin)(设设baf 0sin0)
26、0(b 0 bbaababaf )sin()()sin(1baa 0 0)()0(baff,0)(,0(x xx xfba使使故至少存在一点故至少存在一点，至至少少有有一一个个正正根根从从而而方方程程x xbxax sin.0ba x x且且四、小结四、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;5.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点6.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质;可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:3.连续函数的运算法则连续函数的运算法则;法则法则1（连续函数的四则运算法则）（连续函数的四则运算法则）;法则法则2（反函数的连续性）（反函数的连续性）;法则法则2（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）;4.初等函数的连续性初等函数的连续性;
