1、走进微积分积分发展简史前前 言言数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数数学的基本部分（理论）学的基本部分（理论）受到质疑。实际上，也恰恰是这受到质疑。实际上，也恰恰是这三三次危机次危机，引发了数学上的，引发了数学上的三次思想解放三次思想解放，大大推动了数学，大大推动了数学科学的发展。科学的发展。微积分Calculus微分积分微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分无限细分”就是微分，就是微分，“无限求和无限求和”就是积分。就是积分。1 1、关于、关于微积分的一些符号
2、展示微积分的一些符号展示；2 2、积分的起源、概念的由来积分的起源、概念的由来；3 3、中学中学数学如何定义数学如何定义定积分定积分；4 4、微积分基本定理及注意点。微积分基本定理及注意点。积分积分不定积分定积分 积分学积分学的最基本的概念是关于一元函数的定的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。立积分学严格理论的基本方法。古埃及数字古埃及数字1616、1717世纪，资本主义社会崛起，生产力大大解放，机器化生
3、产逐渐世纪，资本主义社会崛起，生产力大大解放，机器化生产逐渐普及，促使科学急速发展。此时初等数学已不能满足社会的需要，于普及，促使科学急速发展。此时初等数学已不能满足社会的需要，于是数学进入了变量数学时期。在这一时期中，虽然出现了解析几何，是数学进入了变量数学时期。在这一时期中，虽然出现了解析几何，概率论和射影几何等新的分支，但几乎都被微积分过分强大的光辉掩概率论和射影几何等新的分支，但几乎都被微积分过分强大的光辉掩盖了。其发展之迅猛，内容之丰富，应用之广泛，使人目不暇接。盖了。其发展之迅猛，内容之丰富，应用之广泛，使人目不暇接。微积分的产生是数学上的伟大创造，它从生产技术微积分的产生是数学上
4、的伟大创造，它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。工作者以及技术人员不可缺少的工具。与与微分学相比，积分学的起源微分学相比，积分学的起源要早很多。其概念是由求某些面要早很多。其概念是由求某些面积、体积和弧长引起的。积、体积和弧长引起的。一、准备阶段积分学积分学发展的准备阶段主要包括发展的准备阶段主要包括 17 17 世纪中叶以世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索
5、、积累工作积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发这个时期随着古希腊灿烂文化的发展展 ,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.积分积分学发展史的准备阶段大致分为三个时期学发展史的准备阶段大致分为三个时期 1、第一时期 初期的古希腊数学并不是单独的一个分支初期的古希腊数学并不是单独的一个分支 ,而是与而是与天文天文 、哲学密不可分的、哲学密不可分的,其研究对象以几何学为主其研究对象以几何学为主.安提丰提出用安提丰提出用“穷竭法穷竭法”去解决化圆为方问题去解决化圆为方问题 ,是是近代极限理论的雏形近代极限理论的雏形.公元前公元前 5 5 世纪以德谟克利特为代表的世纪以德
6、谟克利特为代表的“原子论原子论”学学派派 ,用原子论的观点解释数学用原子论的观点解释数学 ,他认为他认为 :线段、面线段、面积和立体都是由一些不可再分的原子构成的积和立体都是由一些不可再分的原子构成的 ,而计而计算面积算面积 、体积就是将这些、体积就是将这些“原子原子”累加起来累加起来 ,这种这种不甚严格的推理方法已带有古朴的积分思想不甚严格的推理方法已带有古朴的积分思想 .然后然后他利用他利用“原子论原子论”求出了圆锥的体积求出了圆锥的体积 ,即即 :圆锥体圆锥体积等于具有同底同高的圆柱体积的三分之一积等于具有同底同高的圆柱体积的三分之一.2、第二时期其中在公元前其中在公元前 3 3 世纪数
7、学家兼物理学家阿基米德将穷竭法世纪数学家兼物理学家阿基米德将穷竭法与原子论观点结合起来与原子论观点结合起来 ,获得了许多重要结果获得了许多重要结果 ,例如他在例如他在抛物线图形求积法抛物线图形求积法和和论螺线论螺线中中 ,利用穷竭法利用穷竭法 ,借助借助于几何直观于几何直观 ,求出了求出了抛物线弓形的面积抛物线弓形的面积及及阿基米德螺线阿基米德螺线第一第一周围成的区域的面积周围成的区域的面积 ,其其思想方法是分割求和思想方法是分割求和,逐次逼近逐次逼近.虽然当时还没有极限的概念虽然当时还没有极限的概念 ,不承认无限不承认无限 ,但他的求积方法但他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽已具有了定积分
8、思想的萌芽.古希腊的数学逐渐脱离哲学和天文学古希腊的数学逐渐脱离哲学和天文学 ,成为独立的科学成为独立的科学 ,出现了三大数学家出现了三大数学家:欧几里德欧几里德 阿基米德阿基米德 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯 抛物线弓形的面积返回阿基米德螺线 阿基米德螺线（亦称等速螺线），得名于公元前三世纪希腊数学家阿基米德。阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹。阿基米德在其著作螺旋线中对此作了描述。3、第三时期公元公元 5 14 5 14 世纪世纪 ,被认为是欧洲的被认为是欧洲的“黑暗时期黑暗时期”,这个时这个时期数学的发展较为缓慢期数学的发展较为缓慢.直到直
9、到 14 14 世纪末世纪末 ,欧洲资本主义欧洲资本主义萌芽萌芽,人们才继续了数学方面的研究人们才继续了数学方面的研究.整个整个 16 16 世纪世纪 ,积分思想一直围绕着积分思想一直围绕着“求积问题求积问题”发展发展,它包括两个方面它包括两个方面:一个是求平面图形的面积和由曲面包围的一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积体积 ,一个是静力学中计算物体重心和液体压力一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天德国天文学家文学家、数学家开普勒在他的名著、数学家开普勒在他的名著测量酒桶体积的新科测量酒桶体积的新科学学一书中一书中 ,认为给定的几何图形认为给定的几何图形都是由都是由无穷多个同维数无
10、穷多个同维数的无穷小图形的无穷小图形构成的构成的,用某种特定的方法把这些小图形的用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在他是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家求积中运用无穷小方法的数学家.17 17 世纪中叶世纪中叶 ,法国数学家费马、帕斯卡均利用了法国数学家费马、帕斯卡均利用了“分割求分割求和和”及无穷小的性质的观点求积及无穷小的性质的观点求积 ,更加接近现代的求定积更加接近现代的求定积分的方法分的方法.可见可见,利用利用“分割求和分割求和”及无穷小的方法及无穷小的方法,已被已被当时的数学家普遍采用当时的数学家
11、普遍采用 .测量酒桶体积的新科学 开普勒注意到，酒商用来求酒桶体积的方法不准确，于是他用心钻研开普勒注意到，酒商用来求酒桶体积的方法不准确，于是他用心钻研酒桶的体积问题，并于酒桶的体积问题，并于16151615年出了一本叫做年出了一本叫做测量酒桶体积的新科学测量酒桶体积的新科学。这里，我们需要指出的是，在阿基米德的方法中，图形被分解为元素这里，我们需要指出的是，在阿基米德的方法中，图形被分解为元素的个数是取成有限的个数，并有有限的宽度或厚度。在开普勒的方法中，的个数是取成有限的个数，并有有限的宽度或厚度。在开普勒的方法中，图形分解为元素的个数被看成是无限的，但元素不是完全没有宽度或厚度图形分解
12、为元素的个数被看成是无限的，但元素不是完全没有宽度或厚度的。他说到了所谓的。他说到了所谓“纤细的小圈纤细的小圈”或或“宽度极小如线的部分宽度极小如线的部分”等等。等等。开普勒把图形分解为由无限多个元素所组成，并认为一个无穷小元素开普勒把图形分解为由无限多个元素所组成，并认为一个无穷小元素通过连续变化可得到另一个新的图形。如圆可以看成是无数个三角形（每通过连续变化可得到另一个新的图形。如圆可以看成是无数个三角形（每个三角形的顶点在圆心，底在圆周上）的和，而这些无穷小的三角形通过个三角形的顶点在圆心，底在圆周上）的和，而这些无穷小的三角形通过连续变化便可得到圆。因此在开普勒的思想中，这连续变化便可
13、得到圆。因此在开普勒的思想中，这无限多个微小元素的组无限多个微小元素的组合合便和原来的图形没有任何区别。这种意义不明确的便和原来的图形没有任何区别。这种意义不明确的“连续性原理连续性原理”构成构成了开普勒方法的基本思想支柱。了开普勒方法的基本思想支柱。开普勒还在开普勒还在测量酒桶体积的新科学测量酒桶体积的新科学的标题为的标题为“对阿基米德的补充对阿基米德的补充”的部分标出了的部分标出了8787种这样的旋转体的体积。种这样的旋转体的体积。返回测量酒桶体积的新科学把圆面积看成是无限多个顶点在圆心、底在圆上的等腰三角形面积之和，这样一来，显然圆面积等于圆周长与半径的乘积之半。把球体积看成是顶点在球心
14、、底面在球面上的无穷多个小锥体的体积之和用无数个同维无限小元素之和来确定曲边型的面积和旋转体的体积返回4、中国古代的极限思想4、中国古代的极限思想4、中国古代的极限思想二、创立阶段1717世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。而在以前，微分和积上的微积分理论应运而生了。而在以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以分作为两种数学运算、
15、两类数学问题，是分别加以研究的。研究的。1、奠定基础：笛卡尔的解析几何 笛卡尔笛卡尔16371637年发表了年发表了科学中的正确运用理性和追求真理的方法论科学中的正确运用理性和追求真理的方法论（简称（简称方法论方法论），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未
16、知数之间的关系，表认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立方程与曲线之间建立起对应关系起对应关系。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立的得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立的“数数”与与“形形”统一起来，从而实
17、现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。2、牛顿的“流数术”牛顿从牛顿从 1664 1664 年开始研究微积分年开始研究微积分 ,主要贡献主要贡献反映在反映在 1671 1671 年年 、1676 1676 年发表的年发表的流数术与无流数术与无穷级数穷级数、曲线求积术曲线求积术两篇论文和两篇论文和 1687 1687 年年的的自然哲学之数学原理自然哲学之数学原理中中.早期的微积分常早期的微积分常称为称为“无穷小分析无穷小
18、分析”,其原因在于微积分建立在其原因在于微积分建立在无穷小的概念之上无穷小的概念之上.在此基础上在此基础上 ,牛顿提出了反牛顿提出了反问题，即反微分，并讨论了如何借助反微分来计问题，即反微分，并讨论了如何借助反微分来计算面积，给出了该方法的根据算面积，给出了该方法的根据,使得计算趋于一使得计算趋于一般化、系统化。般化、系统化。牛顿第一次清楚地说明了求导数问题和求面牛顿第一次清楚地说明了求导数问题和求面积问题之间的互逆关系积问题之间的互逆关系,这就是说牛顿确定的积这就是说牛顿确定的积分实际上是分实际上是不定积分不定积分.右侧右侧是牛顿的手稿，可以让我是牛顿的手稿，可以让我们看看微积分青涩的模样们
19、看看微积分青涩的模样一一门学科草创之初，其实是非门学科草创之初，其实是非常混乱的。实际上微积分还要常混乱的。实际上微积分还要过两三百来年才能变得接近现过两三百来年才能变得接近现在的模样，更加通俗易懂。在的模样，更加通俗易懂。3、莱布尼茨 莱布尼兹从莱布尼兹从 1673 1673 年开始研究微积分问题年开始研究微积分问题 ,他在他在数学笔记数学笔记中指中指出出 :求曲线的切线依赖于纵坐标与求曲线的切线依赖于纵坐标与 横坐标的差值之比横坐标的差值之比 (当这些差值变成当这些差值变成无穷小时无穷小时););求积依赖于在横坐标的无限小区间上纵坐标之和或无限小矩求积依赖于在横坐标的无限小区间上纵坐标之和
20、或无限小矩形之和形之和 ,并且莱布尼兹开始认识到了求和与求差运算的可逆性，指出了并且莱布尼兹开始认识到了求和与求差运算的可逆性，指出了 :作为求和过程的积分是微分之逆作为求和过程的积分是微分之逆 ,实际上也就是今天的实际上也就是今天的定积分定积分。莱布尼茨创造的莱布尼茨创造的微积分符号微积分符号，正像阿拉伯数字促进了算术与代数发展，正像阿拉伯数字促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者一样，促进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。之一。牛顿当时采用的微分和积分符号现牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号
21、现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。今仍在使用。好的符号能大大节省思维好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。键之一。4、推广 牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法,但是但是,他们他们留下了大量的事情要后人去解决留下了大量的事情要后人去解决,首先是微积分的主要内容首先是微积分的主要内容的扩展的扩展,其次是微积分还缺少逻辑基础其次是微积分还缺少逻辑基础.18 18世纪世纪,伯努利、欧拉、拉格朗日、克雷尔、达朗贝尔、伯努利、欧拉、拉格朗日、克雷尔、达朗贝尔、马克劳林等数学家马克劳林等数学家,随
22、着对函数和极限研究的深入随着对函数和极限研究的深入,把定积把定积分概念推广到分概念推广到二重积分、三重积分二重积分、三重积分,也对微积分基础作了深也对微积分基础作了深刻的研究刻的研究,并且无穷级数、微分方程、变分法等微积分分支并且无穷级数、微分方程、变分法等微积分分支学科也初具规模学科也初具规模,但微积分的逻辑基础问题还没有得到圆满但微积分的逻辑基础问题还没有得到圆满解决解决 .三、完成阶段 1919世纪的前世纪的前2020年年,微积分的逻辑基础仍然不够完善微积分的逻辑基础仍然不够完善,如一如一般的函数概念尚未建立般的函数概念尚未建立,微积分的许多基本概念微积分的许多基本概念,如无穷小、如无穷
23、小、无穷大、导数、微分、积分仍无精确定义等无穷大、导数、微分、积分仍无精确定义等.从从1919世纪世纪2020年代至年代至1919世纪末世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,微积分的理论基础基本完微积分的理论基础基本完成。成。首个用极限思想真正解决导数与积分问题首个用极限思想真正解决导数与积分问题的科学家波尔查诺，他通过极限给出了积分的的科学家波尔查诺，他通过极限给出了积分的定义定义 ,指出指出“”“”不能理解为一个和式，而是不能理解为一个和式，而是一个和式的极限值。因此他认为，人们在应用一个和式的极限值。因此他认
24、为，人们在应用定积分之前定积分之前 ,必须首先必须首先确定积分的存在性确定积分的存在性，即，即在积分定义下的这个极限值的存在性。在积分定义下的这个极限值的存在性。然而波尔查诺仍然没有清楚地将极限的本然而波尔查诺仍然没有清楚地将极限的本质呈现出来，仍然没有将质呈现出来，仍然没有将极限的基本概念极限的基本概念解释解释清楚。清楚。波尔查诺波尔查诺 直到直到1919世纪，法国科学家柯西结合前辈的思想世纪，法国科学家柯西结合前辈的思想进一步较完整地阐述了极限的概念，对变量，极限，进一步较完整地阐述了极限的概念，对变量，极限，连续，收敛等给出了连续，收敛等给出了明确的定义明确的定义，微积分长期纠缠，微积分
25、长期纠缠在基础问题上的局面终于被打破，为微分学和积分在基础问题上的局面终于被打破，为微分学和积分学提供了严谨的理论基础，形成了以极限论为核心学提供了严谨的理论基础，形成了以极限论为核心的函数理论，经后人稍加丰富，就成了现在严谨的的函数理论，经后人稍加丰富，就成了现在严谨的数学分析学。数学分析学。柯西柯西 此外，柯西给出了此外，柯西给出了原函数原函数的准确定义，证明了在某些条件成立时，的准确定义，证明了在某些条件成立时，函数原函数的存在性，指出一个确定的函数的原函数彼此只相差一个函数原函数的存在性，指出一个确定的函数的原函数彼此只相差一个常数常数,在此基础上给出了原函数的具体表达式，并由此推导出
26、牛顿在此基础上给出了原函数的具体表达式，并由此推导出牛顿莱布尼兹公式。莱布尼兹公式。四、发展阶段 然而，柯西的积分理论是对于闭区间上连续函数然而，柯西的积分理论是对于闭区间上连续函数来定义的，若闭区间上具有无限多不连续点，柯西积来定义的，若闭区间上具有无限多不连续点，柯西积分就不适用了。狄利克雷、黎曼等针对柯西方法对积分就不适用了。狄利克雷、黎曼等针对柯西方法对积分的不足之处，开始考虑重建积分的定义分的不足之处，开始考虑重建积分的定义 狄利克雷提出可以用一种新的包容性更强的积分理论来处理在闭区狄利克雷提出可以用一种新的包容性更强的积分理论来处理在闭区间上具有无限多不连续点的函数，这种理论同间上
27、具有无限多不连续点的函数，这种理论同“无穷小量分析的基本原无穷小量分析的基本原理理”相关。他从来没有在这个方面提出过什么思想，也从来没有指出过相关。他从来没有在这个方面提出过什么思想，也从来没有指出过如何对高度不连续的函数积分。但是，他给出了一个说明这种情况存在如何对高度不连续的函数积分。但是，他给出了一个说明这种情况存在例子，显示了柯西方法的不足之处。这也就是著名的狄利克雷函数：例子，显示了柯西方法的不足之处。这也就是著名的狄利克雷函数：()cxdxx，为有理数，为无理数1、黎曼积分 狄利克雷的优秀学生狄利克雷的优秀学生黎曼黎曼试图找到不需要试图找到不需要预先假设函数必须如何连续就定义积分的
28、途径。预先假设函数必须如何连续就定义积分的途径。使使可积性同连续性分离可积性同连续性分离是一种大胆的、极有创是一种大胆的、极有创见的思想。见的思想。黎曼在黎曼在18541854年为获得德国大学的教授职位年为获得德国大学的教授职位而写的而写的“大学执教资格讲演大学执教资格讲演”这篇高水平的学这篇高水平的学术论文中，提出了黎曼积分。术论文中，提出了黎曼积分。而现在在任何微而现在在任何微积分学教程中，它都占据着突出的地位。积分学教程中，它都占据着突出的地位。这个这个定义没有对连续性作任何假设。与柯西不同，定义没有对连续性作任何假设。与柯西不同，对黎曼来说，连续性并不成为一个问题。对黎曼来说，连续性并
29、不成为一个问题。1、黎曼积分 有界函数的黎曼积分从把定义域分为细小的子区间的一个有界函数的黎曼积分从把定义域分为细小的子区间的一个划分开始，在这些子区间上构建矩形，它们的高由函数值确定，划分开始，在这些子区间上构建矩形，它们的高由函数值确定，最后令最大子区间的宽度收缩为零。相反，替代的最后令最大子区间的宽度收缩为零。相反，替代的勒贝格积分勒贝格积分乃是基于一种简单而富有想象力的思想：采用函数值域的划分乃是基于一种简单而富有想象力的思想：采用函数值域的划分代替定义域的划分。代替定义域的划分。2、勒贝格积分 从数学的发展过程可以知道从数学的发展过程可以知道,人们首先研究的是定积人们首先研究的是定积
30、分分,生生活中的活中的面积和体积问题使人们对定积分产生关注面积和体积问题使人们对定积分产生关注,进而去建立进而去建立和完善它的概念、寻找它的求法和完善它的概念、寻找它的求法,产生牛顿产生牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式.然而然而,为了便于更好地计算定积分为了便于更好地计算定积分,进入大学的高等数学从进入大学的高等数学从不定积分入手讲述原函数的各种解法不定积分入手讲述原函数的各种解法,然后再通过牛顿然后再通过牛顿-莱布尼莱布尼兹公式计算定积分兹公式计算定积分,最后介绍定积分的各种应用最后介绍定积分的各种应用.我们中学仅仅我们中学仅仅是抛砖引玉，是抛砖引玉，引导引导同学们把一个复杂的问题能够简化，不
31、断同学们把一个复杂的问题能够简化，不断探索新方法。探索新方法。积分的发展是漫长而缓慢的，而积分发展的动力源自积分的发展是漫长而缓慢的，而积分发展的动力源自实际应用中的需求，经过前人的不懈努力，使得积分体系实际应用中的需求，经过前人的不懈努力，使得积分体系得以完善，并运用积分可以解决更多实际问题。积分的概得以完善，并运用积分可以解决更多实际问题。积分的概念中包含着用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性念中包含着用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等思想。可以说积分概念的建立，不仅是数学史上，而化等思想。可以说积分概念的建立，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要创举。且是科学思想史上的
32、重要创举。结语 任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目的地的路都有许多且通常并不成功。每一条通向某个目的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘未知的真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将正确的途径示以他人。愿冒险，才能将正确的途径示以他人。可以这样可以这样说，为了寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。说，为了寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。感谢大家的聆听！1 1、课前收集的、课前收集的“微积分微积分”有关书籍，有关书籍，微积分研究的对象，微积分解决的问题微积分研究的对象，微积分解决的问题；2 2、谈谈历史上对于微积分创立和发展的一些重要评价、谈谈历史上对于微积分创立和发展的一些重要评价；3 3、总结一下牛顿和莱布尼茨对于微积分创立的贡献；总结一下牛顿和莱布尼茨对于微积分创立的贡献；4 4、将课本上所学和上述思考问题汇总形成一个书面报告将课本上所学和上述思考问题汇总形成一个书面报告；
