1、专题二 函数与导数函数与导数 函数与导数要 点 回 扣易 错 警 示查 缺 补 漏3要点回扣1.求函数的定义域，关键是依据含自变量求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意的代数式有意义来列出相应的不等式义来列出相应的不等式(组组)求解，如开偶次方根、被开方求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏应列出所有的不等式，不应遗漏.对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同围就完全相同.问题1函数函数y 的定义域是的
2、定义域是_.12log2x2.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题即函数的定义域问题.问题2已知已知f(cos x)sin2x，则，则f(x)_.1 x2(x 1,1)3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数而不是几个函数.4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使对称，有时还要对函数式化简整
3、理，但必须注意使定义域不受影响定义域不受影响.f(x)f(x)，f(x)为奇函数为奇函数.答案奇奇5.弄清函数奇偶性的性质弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.(2)若若f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|).(3)若奇函数若奇函数f(x)的定义域中含有的定义域中含有0，则必有，则必有f(0)0.故故“f(0)0”是是“f(x)为奇函数为奇函数”的既
4、不充分也不的既不充分也不必要条件必要条件.解析由题意可知由题意可知f(0)0，即，即lg(2a)0，解得解得a1，函数函数y1lg(1x)是增函数，函数是增函数，函数y2lg(1x)是减函数，是减函数，故故f(x)y1y2是增函数是增函数.选选D.答案D6.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号号“”“”和和“或或”连接，可用连接，可用“及及”连接，或用连接，或用“，”隔开隔开.单调区间必须是单调区间必须是“区间区间”，而不能用，而不能用集合或不等式代替集合或不等式代替.(，0)，(0，)7.求函数最值求函数最值(值域值域)常用的方法：常用的方法
5、：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数.(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数图象法：适合于已知或易作出图象的函数.(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数函数.(4)导数法：适合于可导函数导数法：适合于可导函数.(5)换元法换元法(特别注意新元的范围特别注意新元的范围).(6)分离常数法：适合于一次分式分离常数法：适合于一次分式.(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，无论用什么方
6、法求最值，都要考查都要考查“等号等号”是否成立，特别是基本不等式法，是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域并且要优先考虑定义域.8.函数图象的几种常见变换函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移平移变换：左右平移“左加右减左加右减”(注意是注意是针对针对x而言而言)；上下平移；上下平移“上加下减上加下减”.”.(2)翻折变换：翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|).(3)对称变换：对称变换：证明函数图象的对称性，即证图证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心象上任意点关于对称中心(轴轴)的对称点仍在图象上；的对称点仍在图象上；函数函数yf(x)与与yf
7、(x)的图象关于原点成中心的图象关于原点成中心对称；对称；函数函数yf(x)与与yf(x)的图象关于直线的图象关于直线x0(y轴轴)对称；函数对称；函数yf(x)与函数与函数yf(x)的图象关于直线的图象关于直线y0(x轴轴)对称对称.问题8函数函数y|log2|x1|的递增区间是的递增区间是_.作图可知正确答案为作图可知正确答案为0,1)，2，).0,1)，2，)10.二次函数问题二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用区间上必有最值，求最值问题用“两看法两看法”：一看开：一看开口方向，二看对称轴与所
8、给区间的相对位置关系口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)二次函数解析式的三种形式：二次函数解析式的三种形式：一般式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)；零点式：零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，一元二次方程实根分布：先观察二次系数，与与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图值符号，再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是尤其注意若原题中没有指出是“二次二次”方程、函数方程、函数或不等式，
9、要考虑到二次项系数可能为零的情形或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.问题10若关于若关于x的方程的方程ax2x10至少有一至少有一个个正根，则正根，则a的范围为的范围为_.mnaNlog(2)指数函数与对数函数的图象与性质指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数指数函数yax的图象恒过定点的图象恒过定点(0,1)，对数函数，对数函数ylogax的图象恒过定点的图象恒过定点(1,0).问 题 1 1 函 数函 数
10、 y l o ga|x|的 增 区 间 为的 增 区 间 为_.答案当当a1时，时，(0，)；当当0a1时，时，(，0)12.幂函数幂函数形如形如yx(R)的函数为幂函数的函数为幂函数.(1)若若1，则，则yx，图象是直线，图象是直线.当当0时，时，yx01(x0)图象是除点图象是除点(0,1)外的外的直线直线.当当01时，在第一象限内，图象是下凸的时，在第一象限内，图象是下凸的.(2)增减性：增减性：当当0时，在区间时，在区间(0，)上，函数上，函数yx是增函数，是增函数，当当0时，在区间时，在区间(0，)上，上，函数函数yx是减函数是减函数.12xB13.函数与方程函数与方程(1)对于函数
11、对于函数yf(x)，使，使f(x)0的实数的实数x叫做函数叫做函数yf(x)的零点的零点.事实上，函数事实上，函数yf(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)0的的实数根实数根.(2)如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b上的图象是一条连续上的图象是一条连续曲线，且有曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数，那么函数yf(x)在区间在区间a，b内有零点，即存在内有零点，即存在c(a，b)，使得，使得f(c)0，此时这个，此时这个c就是方程就是方程f(x)0的根的根.反之不成立反之不成立.问题13已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)(x23x2)g(x)3x4，其中函数，其中函数
12、yg(x)的图象是一条连的图象是一条连续曲线，则方程续曲线，则方程f(x)0在下面哪个范围内必有实数在下面哪个范围内必有实数根根()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析f(x)(x2)(x1)g(x)3x4，f(1)031410.又函数又函数yg(x)的图象是一条连续曲线，的图象是一条连续曲线，函数函数f(x)在区间在区间(1,2)内有零点内有零点.因此方程因此方程f(x)0在在(1,2)内必有实数根内必有实数根.答案B15.利用导数判断函数的单调性：设函数利用导数判断函数的单调性：设函数yf(x)在在某个区间内可导，如果某个区间内可导，如果f(x)0，那么，那么f(x
13、)在该区间在该区间内为增函数；如果内为增函数；如果f(x)2或或x1.易错点2忽视函数的定义域致误找准失分点对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个内任意一个x，都有，都有f(x)f(x)，或，或f(x)f(x).即函数的定义域是即函数的定义域是x|10.73 B.log0.50.4log0.50.6C.0.750.1lg 1.4解析构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数构造幂函数yx3，为增函数，故，为增函数，故A对；对；对于对于B、D，构造对数函数，构造对数函数ylog0.5x
14、为减函数，为减函数，ylg x为增函数，为增函数，B、D都正确；都正确；对于对于C，构造指数函数，构造指数函数y0.75x，为减函数，故，为减函数，故C错错.C123456789 10 11 12查缺补漏4.函数函数f(x)log2x的一个零点落在下列哪个区的一个零点落在下列哪个区间间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析根据函数的零点的存在性定理得根据函数的零点的存在性定理得f(1)f(2)0.B123456789 10 11 12查缺补漏5.(2014天津天津)函数函数f(x)(x24)的单调递增区间的单调递增区间是是()A.(0，)B.(，0)C.(2，)D.(
15、，2)123456789 10 11 12查缺补漏解析因为因为y t在定义域上是减函数，在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，所以求原函数的单调递增区间，即求函数即求函数tx24的单调递减区间，的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为结合函数的定义域，可知所求区间为(，2).答案D123456789 10 11 12查缺补漏123456789 10 11 12查缺补漏由图象知只有由图象知只有D正确正确.答案D123456789 10 11 12查缺补漏123456789 10 11 12查缺补漏123456789 10 11 12查缺补漏解析由函数由函数f(x)的导函数的图象
16、可得，函数的导函数的图象可得，函数f(x)是是减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，即函数即函数f(x)图象上的点向右运动时，该点的切线的图象上的点向右运动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数由此可作出函数f(x)的草图如图所示，的草图如图所示，123456789 10 11 12查缺补漏由此可得结论中仅由此可得结论中仅正确，故应选正确，故应选D.答案D123456789 10 11 12查缺补漏8.若函数若函数f(x)是定义在是定义在R上的偶函数，在上的偶函数，在(，0上是减函上是减函数，且数，且f(
17、2)0，则使得，则使得f(x)0的的x的取值范围是的取值范围是_.解析因为因为f(x)是偶函数，所以是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|).因为因为f(x)0，f(2)0.所以所以f(|x|)f(2).又因为又因为f(x)在在(，0上是减函数，上是减函数，所以所以f(x)在在(0，)上是增函数，上是增函数，所以所以|x|2，所以，所以2x1时，两个函数图象的交点只有一个时，两个函数图象的交点只有一个.所以实数所以实数a的取值范围是的取值范围是(1，).答案(1，)123456789 10 11 12查缺补漏10.(2014江苏江苏)已知函数已知函数f(x)x2mx1，若对于任意，若对于任意xm，m1，都有，都有f(x)0且且x1，所以，所以(x)0.故函数故函数(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0,1)和和(1，).123456789 10 11 12查缺补漏(2)若若f(x)g(x)(x1)恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围.123456789 10 11 12查缺补漏因为因为x1，故，故h(x)0.所以所以h(x)在区间在区间1，)上单调递减，上单调递减，由由ln ah(x)maxh(1)0，解得，解得a1.故实数故实数a的取值范围为的取值范围为1，).123456789 10 11 12
