1、1.3.2函数的极值与导数第一章1.3导数在研究函数中的应用学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一函数的极值点和极值观察yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.思考1答案答案答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).思考2导数为0的点一定是极值点吗？答案答案不一定，如f(x)x3，尽管由f(x)3x20，得出x0，但f(x)在R上是递增的，
2、不满足在x0的左、右两侧符号相反，故x0不是f(x)x3的极值点.答案梳理梳理(1)极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)，而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x)的极小值点，叫做函数yf(x)的极小值.0f(x)0点af(a)(2)极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x)的极大值点，叫做函数yf(x)的极大值.(3)极大值点、极小值点统称为；极大值、极小值统称为 .0f(x)0f(x)0点bf(
3、b)极值点极值知识点二函数极值的求法与步骤(1)求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时，如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f(x)0，在x0的右侧函数单调递减，即f(x)0，那么f(x0)是 ；如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f(x)0，在x0的右侧函数单调递增，即f(x)0，那么f(x0)是 .极大值极小值(2)求可导函数f(x)的极值的步骤确定函数的定义区间，求导数f(x)；求方程 的根；列表；利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.f(x)0题型探究类型一求函数的极值点和极值命题角度命题角度1不含参数的函数求极值不含
4、参数的函数求极值例例1求下列函数的极值，并画出函数的草图.(1)f(x)(x21)31；解答解解f(x)6x(x21)26x(x1)2(x1)2.令f(x)0，解得x11，x20，x31.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)无极值极小值0无极值当x0时，f(x)有极小值且f(x)极小值0.函数的草图如图所示.解答令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)单调递增单调递减函数的草图如图所示.(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则.(2)求可导
5、函数f(x)的极值的步骤求导数f(x)；求方程f(x)0的根；观察f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.注意：f(x)无意义的点也要讨论，可先求出f(x)0的根和f(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则答案解析解析解析当x0，即f(x)0；当3x3时，f(x)1时，f(x)6xx(a1)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，0)0(0，a1)a1(a1，)f(x)0
6、0f(x)极大值极小值从上表可知，函数f(x)在(，0)上单调递增，在(0，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增.(2)讨论f(x)的极值.解解由(1)知，当a1时，函数f(x)没有极值.当a1时，函数在x0处取得极大值1，在xa1处取得极小值1(a1)3.解答讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2已知函数f(x)xaln x(aR).(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；解答因而f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)求函数f(x)的极值.解答当a
7、0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.类型二已知函数极值求参数例例3(1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.29答案解析解析解析f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0.当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当a
8、2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3).当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数.故f(x)在x1时取得极小值，a2，b9.(2)若函数f(x)x3x2ax1有极值点，则a的取值范围为_.答案解析(，1)解析解析 f(x)x22xa，由题意，方程x22xa0有两个不同的实数根，所以44a0，解得a1.引申探究引申探究1.若例3(2)中函数的极大值点是1，求a的值.解答解解f(x)x22xa，由题意得f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值.2.若例3(2)中函数f(x)有两
9、个极值点，均为正值，求a的取值范围.解答解解由题意，方程x22xa0有两个不等正根，设为x1，x2，则解得0a1.故a的取值范围是(0,1).已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3(1)函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4.求a，b，c的值；解答解解函数图象过原点，c0，即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb.又函数f(
10、x)的图象与直线y0在原点处相切，f(0)0，解得b0，f(x)3x22axx(3x2a).a3，bc0.求函数的递减区间.解答解解由知f(x)x33x2，且f(x)3x(x2).由f(x)0，得3x(x2)0，0 x2，函数f(x)的递减区间是(0,2).解答当0 x0，当x1时，f(x)0，x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点.故选D.12345答案解析2.已知函数f(x)x3ax23x9在x3处取得极值，则a等于A.2 B.3 C.4 D.5解析解析由题意得，f(3)3(3)22
11、a(3)30，所以a5.12345答案解析3.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为A.1a2 B.3a6C.a2 D.a6解析解析f(x)3x22axa6.因为f(x)既有极大值又有极小值，所以(2a)243(a6)0，解得a6或a3.123454.已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x是yf(x)的极值点，则ab_.答案解析解析解析f(x)3x22axb，2123455.已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值 .(1)求a，b的值；解答12345(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.解答解解 由(1)得，又f(x)的定义域为(0，)，令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，).12345规律与方法1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
