1、 复变函数复变函数 与积分变换与积分变换教材与参考用书教材与参考用书3 目目 录录一、学习本课程的目和的意义一、学习本课程的目和的意义复变函数与积分变换复变函数与积分变换（Function of Complex Variable and Function of Complex Variable and Integral TransformIntegral Transform）课程介绍课程介绍 “复变函数复变函数”是是“高等数学高等数学”在复数域的推广，它在复数域的推广，它的先修课程是的先修课程是“高等数学高等数学”。高等数学中的重要概念，。高等数学中的重要概念，如导数、积分、级数、微分方程等，
2、在本课程中都有如导数、积分、级数、微分方程等，在本课程中都有相应的定义，但又显示出新的特点及运算方法。相应的定义，但又显示出新的特点及运算方法。学习复变函数需要高等数学、线性代数的学习复变函数需要高等数学、线性代数的的知识基础；同时，复变函数的知识又能进一步加的知识基础；同时，复变函数的知识又能进一步加深对已学过的高等数学相关知识的理解。深对已学过的高等数学相关知识的理解。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个更为简单且易于处理的函数。它以复数变成另一个更为简单且易于处理的函数。它以复变函数的知识为基础，且两者关系密切。变函数的知识为基础，
3、且两者关系密切。“复变函数与积分变换复变函数与积分变换”是一门重要的基础课，是一门重要的基础课，它的后续课程是电子信息专业的相关专业课程。它它的后续课程是电子信息专业的相关专业课程。它与电子技术，自动控制等课程有密切的联系，是解与电子技术，自动控制等课程有密切的联系，是解决诸如电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分决诸如电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分析的有力工具。析的有力工具。通过本课程的学习，使同学们初步掌握复变函通过本课程的学习，使同学们初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习工程力学、数与积分变换的基本理论和方法，为学习工程力学、电工学，电磁学、振动力学、电子技术等课程
4、奠定电工学，电磁学、振动力学、电子技术等课程奠定必要的数学基础。必要的数学基础。二、课程内容介绍二、课程内容介绍本课程本课程“复变函数与积分变换复变函数与积分变换”的内容分为两部分。的内容分为两部分。第一部分由第一至第五章组成，讨论了复数的第一部分由第一至第五章组成，讨论了复数的运算及相互关系，其主要研究对象是解析函数。重运算及相互关系，其主要研究对象是解析函数。重点内容是复变函数积分的各种计算；柯西（点内容是复变函数积分的各种计算；柯西（CauchyCauchy）定理、柯西（定理、柯西（CauchyCauchy）积分公式的理解与应用；解）积分公式的理解与应用；解析函数的级数表示；孤立奇点的分
5、类及其留数的计析函数的级数表示；孤立奇点的分类及其留数的计算。算。这一部分介绍的复变函数的基本内容和方法，这一部分介绍的复变函数的基本内容和方法，在自然科学的很多领域，如理论物理、空气动力学、在自然科学的很多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学及自动控制、电子通信等学科流体力学、弹性力学及自动控制、电子通信等学科领域有着广泛应用。领域有着广泛应用。第二部分由第七、第八两章组成，介绍了两种第二部分由第七、第八两章组成，介绍了两种在工程技术上十分重要的积分变换，即在工程技术上十分重要的积分变换，即FourierFourier变变换和换和LaplaceLaplace变换。变换。这一部分内
6、容从这一部分内容从FourierFourier级数出发，介绍了级数出发，介绍了FourierFourier积分公式、并由此得到积分公式、并由此得到FourierFourier变换，研究变换，研究了这个变换的重要性质。在此基础上，引入了更加了这个变换的重要性质。在此基础上，引入了更加有效的有效的LaplaceLaplace变换、变换、LaplaceLaplace逆变换，讨论了变换逆变换，讨论了变换的重要性质的重要性质 积分变换的思想、理论和方法在自然科学及积分变换的思想、理论和方法在自然科学及各种工程技术领域中都有广泛应用，它是不可缺各种工程技术领域中都有广泛应用，它是不可缺少的重要运算工具。少
7、的重要运算工具。复变函数复变函数 与积分变换与积分变换v内容提要：内容提要：复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续本章中的许多概念在形式上与微积变函数极限、连续本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广分学中相应的概念及定理在复数域中的推广 v1.1 复数复数v1.2 复平面及复数的三角表达式复平面及复数的三角表达
8、式v1.3 平面点集平面点集v1.4 复变函数复变函数v一、复数的基本概念一、复数的基本概念(Re),Rexzalzx称 为 的实部记(Imaginary),Imyzzy称 为 的虚部记2,zi例如：Re2,Im1zz则00,xyziy当且时 则称为纯虚数；0,yzx特别地，当时 则为实数；1xyxiy定 义：设 与 都 是 实 数，称为 复 数，zxiy记为：211iii 称 为虚数单位，且定义或111222zxiyzxiy定义2：设两复数与，121212zzxxyy则，1212ReRe,ImImzzzz即二、复数的代数运算二、复数的代数运算 111222zxiyzxiy设复数与，则1.复数
9、的和、差、积、商、模121212()(zzxxi yy)和与差：积：1212121221()()zzx xy yi x yx y商：1121221122222222222()(),0zx xy yx yx yizzxyxy注：复数的运算像实数运算一样满足交换律、结合律、分配律注：复数的运算像实数运算一样满足交换律、结合律、分配律模：22xyzxiy称为复数的模，.z记作2共轭复数及性质共轭复数及性质 zxiyxiyzz定义3：设复数，则称复数为 的，记做共轭复数重要性质：1112121 21222(1),zzzzzzz zz zzz(2)zz222(3)(Re)(Im)zzzzz(4)2Rez
10、zz,2 Imzziz注：复数的共轭性质注：复数的共轭性质在实际计算和证明中有广泛应用在实际计算和证明中有广泛应用 v例例1计算复数计算复数 3223ii解：112122112222222222()()zx xy yx yx yizxyxy22223 2(2)32(2)3 32323ii 法一（商的公式）法二（共轭性质）_11212_22222|zzzzzzzzz22(32)(23)(66)(49)(23)(23)23iiiiii 注：某些情况应用共轭性质计算显得简单，在计算注：某些情况应用共轭性质计算显得简单，在计算中要灵活运用共轭性质。中要灵活运用共轭性质。v例222)()0,.xyi x
11、yx y设（求实数解：220,0 xyxy由题意得 12.14xxyy 解得：或 例313,Re(),Im().1izzzzzii 设复数求与解：131izii 因为3(1)31()(1)(1)22iiiiiiii2231315Re,Im,()()22222zzzz 所以v例4111222,zxiy zxiy设为两个任意复数，证明：121 2122Rez zz zz z证明：121 211221122()()()()z zz zxiyxiyxiyxiy1212211212122112()()()()x xy yi x yx yx xy yi x yx y2121212()2Re.x xy yz
12、 z121 21212z zz zz zz z121 22Re()2Re().z zz z证法二：第二节第二节 复数的表示法复数的表示法 v一、复平面一、复平面 定义定义：()()xy由实轴轴，虚轴轴 按直角坐标系构成的平面，称为复平面（或z平面）o实轴虚轴复平面(,)M x yzxiy在复平面内任一点与复数是一一对应xiyyx复数的模复数的模：22zxyrz复数的辐角：复数的辐角：Argz主辐角主辐角：(,argz arg2(0,1,2,)Argzzkk注：复数的辐角注：复数的辐角ArgzArgz是多值的是多值的v二、复数的表示法二、复数的表示法 1 1复数的向量表示法复数的向量表示法 OM
13、zxiy 因此 22,zrxytan()yA rgzx显然有不等式：,;xzyzzxyzxy22zzzzzo实轴虚轴复平面xiyxyM2112zzzz表示 与 的距离1z2z复数、复平面上点、向量之间一一对应12121212,zzzzzzzz共轭复数之间的几何关系：zxiyzxiyx与，关于 轴对称1zxyo,argargzzzz 且有：2 2复数的三角表示法复数的三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系：cos,sinxryr复数的三角表示式：(cossin)(cossin)zxiyrizi(cossin)cos()sin()zriri3 3复数的指数表示法复数的指数表示法 利用欧拉公式利用欧
14、拉公式：cossiniei复数的指数表示式复数的指数表示式：,iizz ereizz e22cos,sin,arctan(cossin)x ry ryrxyxzxiyzri cossinieiizre 注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示式相等：无穷多种选择，如果有两个三角表示式相等：111222(cossin)(cossin),riri则可以推出：12,rr122,kk其中 为整数主辐角值的确定：主辐角值的确定：argtan,0,0,0,arg20arctan,0,0,0,0yxyxxyzzyxyxxy当当0
15、当当v例1122zi 将化为三角表示式和指数表示式.解：令主辐角为，则2tan+,12yx（）(,),2 23arctanarctan312于是554cos()sin()66zi564.iez566 iziziziz212,212,212,212 iz212 例例2 2：32zi 将化为三角表示式和指数表示式.|32|13,ri 22arctanarctan332213cos(arctan)sin(arctan)33zi2(tan)313.arcie主辐角解：模 v三、用复数的三角表示及指数表示作乘除法三、用复数的三角表示及指数表示作乘除法 111111(cossin)|,izzize设有两复
16、数222222(cossin)|izzize12zz那么121212(cos()sin()zzi12()12izz e1212,zzzz1212ArgzzArgzArgz即：模辐角定理定理1 1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，辐角等于它们的：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，辐角等于它们的辐辐角之和角之和 说明：说明：1212(1)Arg z zArgzArgz多值函数相等的理解：由于幅角是多值的，（）理解为：1212121212(coscossinsin)(cossinsincos)zzi对于左端的任一个值，右端有一值与它对应，反之也一样；定理定理2 2：两复数的商的模等于它们模的商，辐
17、角等于被除数与除数的辐角之差：两复数的商的模等于它们模的商，辐角等于被除数与除数的辐角之差 证明：111izz e设，222,izz e1(0)z 1212()212121|,|iiizzezezzez则2211,zzzz2211.zArgArgzArgzz即：模辐角12(2)zz当用向量表示复数时，表示乘积的向量是12,zArgz从表示 的向量旋转一个角度2z并伸长(缩短)到陪得到.1z2z11z21 2z z1 2z z v例例5用三角表示式和指数表示式计算下列复数用三角表示式和指数表示式计算下列复数(1)(13)(3),ii解：3132(cossin)233iiie(1)因为565532
18、cos()sin()266iiie 2(13)(3)4cos()sin()44.22iiiiei 所以1arg tan211(2)25(cos arg tansin arg tan)522iiiearg tan(2)125(cos arg tan(2)sin arg tan(2)5iiie211cos(argtanargtan2)sin(argtanargtan2)1 222iii所以2cossin.22iie.212*)3(,331)2(iiziiz v四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式 1 1乘方公式乘方公式,izre设复数nz则乘方(cossin)nrnin
19、1z 当时，有(cossin)cossinninin这公式称这公式称棣摩弗公式棣摩弗公式 2 2开方公式开方公式(p13)(p13)(cossin),izreri设复数则11222cossin,kinnnnkkwzrir enn0,1,2,1kn0,1,2,3,1knn(1)当时，得 个相异的根,1,kn n 当时，这些根又重复出现.nzn(2)在几何上，的 个值是以原点为中心，1nrnn为半径的圆的内接正 边形的 个顶点注：注：v例7计算下列各题：3(1)(13),i4(2)1.i3(1)(13)i解：(2)12(co ssin)44ii1441 2(cossin)44ii所以822442(
20、cossin),44kki0,1,2,3k 即：802(cossin),1616wi81992(cossin),1616wi32(cossin)33i8(cossin)8i82这四个根是内接于中心在原点，半径为的圆的正方形的顶点，10203040,wiwwwwiwwiw 且.1625sin1625cos2,1617sin1617cos28382例8310.z 求方程的根解：33101,zz 方程，即其解为 1331cos0sin0zi22cossin33kki0 23,0,1,2kiek001,ze2312213cos()sin(),3322izeii 4324413cossin.3322iz
21、eii 作业：练习册作业：练习册 1.1 复数复数 练习册练习册 1.2 复数的三角表示与指数表示复数的三角表示与指数表示复习：高等数学第九章第一节多元函数的基本概念复习：高等数学第九章第一节多元函数的基本概念第三节第三节 平面点集的一般概念平面点集的一般概念 v 研究复变函数问题，和实函数一样，每个复变量都有自己的一、开集与闭集一、开集与闭集 00z平面上以 为中心，为半径的00z称为 的的邻域,0,zz圆的内部点的集合000zzz 所确定的点集称为 的去心邻域.1.邻域：2.内点：0GzG该邻域内的所有点都属于，则称 为 的内点.00GzGz设 是平面点集，为 中任一点，如果存在 的一个邻
22、域，3.开集：GG如果 中的每一个点都是内点，称 为开集.变化范围，复变量的变化范围同于二元函数的变化范围5边界：.GG的边界点全体称为 的边界0CzGG如果点 的任意邻域内既有 的点又有的点，0,zG则称 是 的边界点6孤立点：0.zG则称 是 的一个孤立点000,zGzzG若在 的某一邻域内 外不含 的点7有界集与无界集：GG称 为有界集，否则称 为无界集.0zG如果存在一个以点为中心的圆盘包含，G有界开集边界孤立点0z内点0z的 邻域4.闭集：如果G的边界也全属于G,则称G称为闭集.二、区域二、区域 1连通：设G中任何两点都可以用完全属于G的折线连接起来，则称G是连通的 2区域：连通的开
23、集称为区域，记为D 3闭区域：区域D与它的边界一起构成闭区域，.D记为4圆环域：112.rzzr满足不等式的所有点构成的区域5.角形域：0arg3z30arg zo1r2rv例1试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域：(1)0,zz(2)|2|1,zi 解：(1)20,zzx0.x 即是表示右半平面，这是一个区域(2)|2)|(2)|1zizi 21.i 这表示以为中心，以为半径的圆周连同其外部区域，这是一个闭区域1光滑曲线(),()x ty t设函数满足：1(),(),x ty ta b（）在区间内连续22(2),()()0ta bx ty t当时，()()zx tiy t
24、则称曲线为光滑曲线 由若干段光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线 三、平面曲线三、平面曲线 2简单闭曲线(),()(),z a z bzz t分别称为曲线的起点与终点()()zz tatb 若曲线，满足下列条件：(1)()();z az b1212()()ttz tz t(2)当时，有；则称这条曲线为简单闭曲线 简单闭曲线 非简单闭曲线 四、单连通区域与多连通区域四、单连通区域与多连通区域 设D为一平面区域，若在D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于D，则称D为单连通区域，否则是多连通区域 单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可经过连续 变形而缩成一点 单连通区域多连通区域洞
25、第第四四节节 复变函数复变函数v一、复变函数的概念一、复变函数的概念 wuiv().wf z按照这一法则，1定义：设G设是一个复数的集合，如果有一个确定的法则存在，对于集合里的每一个复数 zG，都有一个或几个一个或几个复数与之对应，那么称w是z的复变函数，记作：GzG wuiv()wf z 例1 2.wz求复变函数对应的两个二元函数解：,zxiy设2222()()2wzxiyxyi xy令二元函数：22(,),(,)2.u x yxyv x yxyfzw 2复变函数与二元函数的关系 1 1(,),(,)wu x yv x y即：xiy(,)x yf(,)(,)u x yiv x yf(,),(
26、,)u x yv x y例2（exp1.14）v二、复变函数的极限和连续二、复变函数的极限和连续 1复变函数的极限(p23)定义100()0wf zzzz设函数在 的去心邻域内有定义，A如果有一个确定的复数 存在，0对于任意给定的，()(0)总存在一个正数，0:0zzz使得，()f zA都有，0()Af zzz那么称 为函数当 趋向 时的极限，00lim()()(zzf zAf zAzz记做或当时).定理定理1 1设函数 00000()(,)(,),f zu x yiv x y A uivzxiy00,00,000lim()lim(,),lim(,)zzxx yyxx yyf zAu x yu
27、v x yv则证明：0lim()zzf zA0000,lim(,)(,)xxyyu x yiv x yuiv000000,lim(,),lim(,)xxyyxxyyu x yuv x yv说明：说明：这个定理是将复变函数()(,)(,)f zu x yiv x y的极限问题转化为求两个二元函数(,),(,)uu x y vv x y的极限问题.定理定理2 2如果 0lim(),zzf zA0lim(),zzg zB则0(1)lim()(),zzf zg zAB0(2)lim()(),zzf zg zA B0()(3)lim,(0).()zzf zABg zB 例1 Re()0zf zzz证明函
28、数，当时，极限不存在.证明：zxiy设，22Re()zxf zzxy则222001lim()lim()1zy kxy kxxf zxkxk 00,zykx让沿着直线趋向 则0lim()zzkf z该极限随 的不同而不同，故极限不存在.2复变函数的连续性 000lim()()()zzf zf zf zz如果，则称函数在点 处是连续的,()f zD如果在区域 内处处连续，().f zD则称在 上的连续函数定理定理3 3函数 000()(,)(,)f zu x yi x yzxiy在点处连续的充分必要条件是00(,),(,)(,).u x y v x yxy二元函数在处连续 例2 2222()ln(
29、)().f zxyi xy讨论函数的连续性2222ln(),uxyvxy二元函数解：(0,0),在除了外处处连续()(0,0)f z故函数在复平面上除外处处连续.说明：说明：复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义形式上完全相同，因此高等数学中的有关定理依然成立，因此又有有界闭区域上连续函数的性质 定理定理4 4(1)连续函数的和、差、积、商（分母不为0）是连续函数；(2)连续函数的复合函数是连续函数();Df z(3)有界闭区域 上的连续函数是有界的()|()|Df zDf z(4)有界闭区域 上的连续函数，在 上其模可取得最大值和最小值.()Df zD有界闭区域 上的连续函
30、数在 上是一致连续的：0,0,:|,|()()|.z zDzzf zf z都有定义*：作业：作业：P18 4T P18 7T 复习：一元及二元函数（偏）导数的基本概念复习：一元及二元函数（偏）导数的基本概念 目目 录录v 内容提要：内容提要：解析函数是复变函数研究解析函数是复变函数研究的主要对象在理论和实际问题中有着广的主要对象在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章在介绍复变函数导数的概泛的应用，本章在介绍复变函数导数的概念和求导法则的基础上，着重讲解析函数念和求导法则的基础上，着重讲解析函数的概念，判别方法及重要性质的概念，判别方法及重要性质 v2.1 解析函数的概念解析函数的概念v2.2
31、解析函数和调和函数的关系（不讲）解析函数和调和函数的关系（不讲）v2.3 初等函数初等函数v本章小结v 思考题v一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分 1导数定义导数定义 (p30)(p30)01.()wf zz定义 设函数在点 的某邻域内有定义，0zz 是该邻域内任意一点，00()()wf zzf z函数的增量，000()()limzf zzf zz 如果极限存在，0()f zz则称函数在 处可导，0()f zz此极限值称为在 处的导数，00000()()()|lim,z zzf zzf zdwfzdzz 即：说明：(1)0,()0,0z 语言描述：当时，()()f zDf zD(
32、3)若在 内处处可导，就说在区域 内可导.00(0)zzzz (2)定义中即的方式是任意的，定义中极限值存在的要求000()()()f zzf zfzz都有00zzz 与的方式无关；例12().f zz求函数的导数解：22000()()()limlimlim(2)2zzzf zzf zzzzzzzzz ()2.fzz所以例2()Ref zz函数在全平面内处处没有导数。证明:22000000()()limlimzzzzzh zzh zzz 00000000()()limlimzzzz zzz zzzzzz zzz 000000lim()lim,zzzzzzzzzzz 0z任取，由于00(0)0z
33、f 当时，；000000()zzzyyk xxz当时，让沿直线趋向于，1111yizxi ykixyzxi ykiix k随着 的变化而变化，20()|0h zzz故在可导，而其它点却不可导，例32()|f zz函数证明:在 z=0 点可导，且导数等于零，而在其余的点不可导。例4()f zzxiy函数是否可导？()()f zzf zzzzzzzzzzzz 解：xiyxiy 1zzz（）若沿平行于实轴方向趋向于，00yx 即，而，00,0()()limlim1zxyf zzf zxi yzxi y 则有2zzz（）若沿平行于虚轴方向趋向于，00 xy 即，而，00,0()()limlim1zyx
34、f zzf zxi yzxi y 则有()f zzxiy故不可导.2可导与连续关系（介绍）可导与连续关系（介绍）()f zzxiy函数处处连续，但处处不可导，反之可导必连续.从例2从可以看出：00().wf zzz函数在 可导，则在 处必连续，反之不成立结论：证明：000()()0,()0,0()f zzf zzfzz 当时，都有由导数的定义可知 000()()()limzf zzf zfzz 存在000()()()()f zzf zzfzz令0lim()0zz 那么000()()()()f zzf zfzzzz 000lim()()zf zzf z 所以0().f zz即函数在点 处连续3求
35、导法则求导法则 (p32)(p32)(1)()0,CC （其中 为常数）1(2)(),nnznzn（其中 为正整数）(3)()()()()f zg zfzg z(4)()()()()()()f zg zfzg zf zg z2()1(5)()()()(),()0()()f zfzg zf zg zg zg zg z(6)()()(),()f g zfw g z wg z1(7)(),()()()0.()fzwf zzwww与是互为反函数且单值函数，结论：由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数在形式上完全相同，而且极限的运算法则也一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中去 v二、解析函
36、数二、解析函数 在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是在区域D内内处处可导的函数，即解析函数 1解析函数的概念解析函数的概念 000()();f zzzf zz(1)如果函数在 及 的某一邻域内处处可导，那么称在 处解析(2)()()f zDf zD如果函数在区域 内每一点都解析，那么称在 内解析，()f zD或称是 内的一个解析函数(全纯函数或正则函数).00(3)()()f zzzf z若在 处不解析，那么称 为函数的奇点.注意：注意：（1）函数在区域内解析与在区域内可导是等价的；（2）函数在一点处解析和可导是两个不等价的概念，即在一 点处可导不一定在该点解析；00zz反之
37、函数在 点解析，必在 处可导.例522()()()|.f zzg zxiyh zz研究函数，的解析性解：2()f zz(1)前面章节中已经讨论过函数在整个复平面上处处可导，所以在整个复平面处处解析（见例（见例1）()g zxiy(2)已经讨论过函数在整个复平面上处处不可导，所以在整个复平面处处不解析（见例（见例4）2(3)()|.h zz讨论函数的解析性20()|0h zzz在可导，而其它点却不可导，函数在复平面上处处不解析.（见例（见例3）结论结论1 1：在区域在区域D D内解析函数的和、差、积、商（除去分母为内解析函数的和、差、积、商（除去分母为0 0的点）在的点）在D D内解析内解析结论
38、结论2 2：设函数()hg zzD在 平面上的区域 内解析，()wf hhG在 平面上的区域 内解析,(),Dzg zG如果对 内的每一个点，函数的对应值都属于().wf g zG那么复合函数在 内解析特别地：特别地：任何有理分式函数()0,0()P zQ z在分母不为 的点的区域内是解析函数 使分母为 的点是函数奇点.2函数解析的条件函数解析的条件()(,)(,)f zu x yiv x yD函数定义在区域 内，则定理定理1 1：(p33(p33）(证明从略证明从略)()f zDzxiy在 内一点处可导的充分必要条件是：(1)(,)(,)(,)u x yv x yx y与在点可微；(),.u
39、vuvCRxyyx(2)在该点满足柯西黎曼方程方程：证明：必要性0()()()()limzf zzf zf zzxiyfzz 在处可导，存在0()()()(),lim()0zf zzf zfzzzzz 其中()()f zzf zui v 设，0zxi y 对充分小的，有12(),()fzaibziui v 所以12()()()()aibxi yixi y 1221()()a xb yxyi b xa yxy 0lim()0zz 由于，12()zi而，120,00,0lim0,lim0 xyxy 所以2212()()xyoxy 因此，2221()()xyoxy 22()(),ua xb yoxy
40、 22()()vb xa yoxy (,),(,)(,)u x y v x yx y于是在处可微.且沿平行于实轴方向：0,0limxyuuaxx 沿平行于虚轴方向：0,0limxyvvayy uvxy从而，.uvyx 同理12ua xb yxy 从而，21vb xa yxy 充分性()()(,)(,)(,)(,)f zzf zu xx yyv x yi v xx yyv x y由于ui v (,),(,)(,)u x y v x yx y又因为在点可微，可知34vvvxyxyxy 12uuuxyxyxy 00lim0,kxykN ，其中1234()()()()()()uvuvf zzf zix
41、iyixiyxxyy 因此2,uvuvvCRixyyxx 根据方程：1324()()()()()()uvf zzf zixi yixiyxx 所以1324()()()()f zzf zuvxyiiizxxzz0()()()lim.zf zzf zuvfzizxx 注：导数的计算公式（注：导数的计算公式（p34）：）：xviyvyuixuyuiyv定理定理2 2(p34):(p34):函数()(,)(,)f zu x yiv x yD在域 内解析的充分必要条件是:(,),(,).u x y v x yDCR函数在 内可微分且满足方程注注2 2：函数在区域解析的一个充分条件函数在区域解析的一个充分
42、条件：(1)(,),(,)u x y v x yD在 内偏导数连续；(2),.uvuvCRxyyx 满足方程：()(,)(,)().f zu x yiv x yDCRf zD若函数在 内不满足方程，则在 内不解析注注1：例例1 讨论下列函数的可导性和解析性讨论下列函数的可导性和解析性(p35)(p35).)()4(,Re)()3(,)()2(,)sin(cos)()1(2zzfzzzfzzfyiyezfx cos,sinxxuey vey因此偏导数连续，cos,sin,sin,cosxxxxuuvveyeyeyeyxyxy 且，CR以上四个偏导数连续，且满足方程，()f z所以在复平面内处处可
43、导，()(cossin)().xfzeyiyf z于是处处解析，且)sin(cos)()1(yiyezfx 解：解：解：,ux vy 因为偏导数连续1,0,0,1,uuvvxyxyuvxy可知，,CR即不满足方程wz所以函数在复平面内处处不可导，从而处处不解析.iyxzzf )()2(2(3)Re()(),wzzxiy xxixy2,2,0,uuvvux vxyxyxxyxy且，0 xyCR这四个偏导数连续，但只有当时，才满足方程,0z 因此函数仅在处可导，但在复平面内处处不解析.222)()4(yxzzf 例21.wz研究函数的解析性解：2110dwwzzdzz 复平面内除点外处处可导，且，
44、0z 所以在除外的复平面内，函数处处解析，0z 而是它的奇点.例3()(),f zxayi bxcya b c若函数在复平面上解析，试确定实常数的值.解：,uxay vbxcy1,uuvvabcxyxy且，()f z因为在复平面上解析，,uvuvCRxyyx 故需满足方程：1,.cba 所以有 例4()()f zDf zD如果在区域 内解析，而且满足下列条件之一，则在 内为一常数.(1)()0,fz2 Re()f z（）为常数，(4)|()|f z为常数.证明：(1)()0,uvvufziixxyy0uuvvxyxy，()0,fz由uv所以，为常数，().f zD于是函数在 内为一常数Im()
45、f z（3）为常数，(2)0uuuxy因为 为常数，故，0vvCRxy由方程可知：，().f z所以为常数222(4)|()|f zuv常数，,x y分别对求偏导数，得：0,0,uvuvuvuvxxyyCR由方程知：0,0,uuuuuvuvxyyx0,0uuuvxyuuuuxyvuxy 解关于的齐次线性方程组：，2200()0;uvuvf z当，即，显然2200uuuvuxy当时，故常数，().vf zD同理，常数，在 内为常数 例5(,)(,).wu x yiv x yz如果为一解析函数，则它一定能单独用 来表示证明*：11(),(),22xzzyzzi1,22xyizz则，,(,)(,),
46、x ywu x yiv x ywz z将代入中，那么 可看成是变量的函数0.wwzz要证明 仅依赖于，只要证明即可由复合函数偏导数求法知：()wuxuyvxvyixyxyzzzzz 11()2222uiuvivixyxy1()()22uvivuxyxywCR由于 是解析函数，由方程得：,uvuvxyyx 0.wz得：),(),()(yxivyxuzf 233),(,)0(xyxyxuif 在复平面内解析，在复平面内解析，例例6：设：设求：求：)(zf例例7 7（不讲）（不讲）()()0f zuivfz如果为一解析函数，且，12(,)(,).u x yCv x yC那么曲线和必互相正交证明：1(
47、)0,uvuvfziyyyy由于故，必不全为零下面分两种情况讨论：(1)uvyy如果在曲线的交点处，和都不为零，因为由隐函数求导法知：11(,),uxu x yCkuy 曲线族中任一条曲线的斜率为22(,),vxv x yCkvy 同理：曲线族中任一条曲线的斜率为()f zCR由于函数解析，由方程得：12()()()()1vuuvyyxxkkuvuvyyyx 12(,)(,).u x yCv x yC因此曲线和互相正交(2)uvyy如果和中有一个为零，则另一个必不为零，此时知曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，它们依然互相正交 120,tan,0,02uvkkyy若，2222wzx
48、yixy由此例可知：，00dwzdz当时，12(,)(,).u x yCv x yC所以曲线和必互相正交作业节作业节1.1 和和 1.2中的问题解答中的问题解答1.1、1（4），），31.21（4），），2（1）（）（2），），3（2）（）（4）作业：练习册作业：练习册2.1解析函数的概念解析函数的概念v平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓的调和函数，它们都与某种解析函数有着密切的关系下面给出调和函数的定义 一、调和函数的概念一、调和函数的概念 定义1：(调和函数)(,)x y如果二元函变函数满足：D(1)在区域 内具有二阶连续偏导数，
49、2222)0Laplacexy(2)满足二维拉普拉斯(方程：(,)x yD则称为区域 内的调和函数.定理1：设函数()(,)(,)f zu x yv x yD则的实部和虚部都是区域 内的调和函数.()(,)(,)f zu x yiv x yD在区域 内解析，证明：()wf zuivD因为为 内的一个解析函数，,uvuvDCRxyyx 则在区域 内满足方程：222222,uvuvx yxy xyx y 上式分别对求偏导，得：解析函数有任意阶导数，并且解析函数的导数仍是解析函数.uv则 与 具有任意阶连续的偏导数,22vvy xx y 2222220uuvvxyy xx y 从而，(,).u x
50、yD即是区域 内的调和函数22220.vvxy同理可证，,.u v因此二元实变函数都是调和函数二、共轭调和函数二、共轭调和函数 定义2：(共轭调和函数)(,)(,)x yx yD设函数及均为区域 内的调和函数，,CRxyxy 且满足方程：(,)(,).x yx y则称是的共轭调和函数定理2：复变函数()(,)(,)f zu x yiv x yD在区域 内解析的充分必要条件是()(,)(,).Df zv x yu x y在区域 内，的虚部是实部的共轭调和函数 根据这个定理，可以利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数 三、解析函数与调和函数的关系三、解析函数与调和函数的关系 (,)u
