1、第二讲复变函数与解析函数&1.复变函数的定义复变函数的定义&2.映射的概念映射的概念&3.反函数或逆映射反函数或逆映射5 复变函数复变函数1.复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义).(,zfwzwivuwGzfiyxzG 记记作作）的的函函数数（简简称称复复变变函函数数是是复复变变数数则则称称复复变变数数与与之之对对应应就就有有一一个个或或几几个个使使得得存存在在法法则则的的非非空空集集合合是是一一个个复复数数设设A 是是多多值值函函数数.值值，称称多多个个是是单单值值函函数数;值值，称称一一个个若若)()(zfwzzfwz。论的函数均为单值函数论的函数
2、均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨面面区区域域（定定义义域域）的的定定义义集集合合，常常常常是是平平)(zfG*(),Gw wf zzG函数值集合(值域),(),()()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 则则令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函数数表表示示成成将将zzfzzzf1)()(21),(21,zziyzzxiyxz 则
3、则设设oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：).()(*)(变换变换平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw 的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw)(定义域定义域函数值集合函数值集合 2.映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)wA 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理
4、解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）.所构成的映射所构成的映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos设设解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-1oxy(z)图图1-1uv(w)o.2所所构构成成的的映映射射研研究究zw 例例5oxy(z)ouv(w)2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3.反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2
5、的反函数或逆映射的反函数或逆映射zw )1,0(22 kezzwk为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w=f(z)的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*Gz*)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或几几个个一一个个则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.GzzfzGwwfw )()(*当当反反函函数数单单值值时时显显然然有有)(zfz 一般一般是是一一一一对对应应的的。与与集集合合是是一一一一的的。也也称称集集合合映映射射都都是是单单值值的的，则则称称函函数数逆逆映映射射和和其其反反函函数数映映射射当当函函数数 GGzfwwzzf
6、w)()()()()()(例例 已知映射已知映射w=z3，求区域求区域 0argz 在平面在平面w上的象。上的象。3 例例?1:,122平平面面上上怎怎样样的的曲曲线线映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲线线判判断断已已知知映映射射wyxzzw&1.函数的极限函数的极限&2.运算性质运算性质&3.函数的连续性函数的连续性6 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性1.函数的极限函数的极限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0,0),(),(000)000时时，或或当当时时的的极极限限，记记作作当当为为则则称称有有时时当当）（，若若存存在在数数设
7、设（定义定义uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中A (1)(1)意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高.0zz(2)A是复数是复数.2.运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 设设定理定理1(3)若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极
8、限是唯一的是唯一的.0z0),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 则则，根据定义，当如果必要性Azfzz)(lim:022000 0|()()zzxxyy时，则有202000)()(|)()(|)(|vvuuivuivuAzf时，有所以，当2020)()(0yyxx00|v-v|uu000000,lim(,),lim(,)xx yyxxyyu x yuv x yv0lim()zzf zA即。有时于是当,|0 0zz00220000|()()|()()|)|uui vvuuvvuuAvfzv22000()()xx
9、yy即当时，有2/|v-v|2/|00uu0,0),(lim ,),(lim:0000vyxvuyxuyyxxyyxx如果充分性 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000则则若若定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证!例例1.)(22在在平平面面上上处处处处有有极极限限证证明明yxiyxw 例例2.0)(时时的的极极限限在在求求 z
10、zzzzzf例例3.0Re)(时时的的极极限限不不存存在在在在证证明明 zzzzf在在平平面面上上处处处处有有极极限限22,yxyx .)0,0()(2)(2222处处极极限限不不存存在在在在yxyxzf 3.函数的连续性函数的连续性定义定义.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000处处连连续续上上点点在在曲曲线线，则则称称且且、若若内内连连续续在在内内处处处处连连续续，则则称称若若在在区区域域处处连连续续在在，则则称称若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(000000
11、0yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx 处处连连续续在在设设定理定理3例例4 证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。上上不不连连续续。在在负负实实轴轴在在负负实实轴轴上上 argarglim arglim)0)(0,()2(00zzzxxPyy 故故不不连连续续。在在原原点点没没有有定定义义，arg)()1(zzf 证明证明xy(z)ozz)0,(xP 例例5 ()a(rg0)f zz z求证：在整个复平面除去原点和负实数轴的区域上连续，在负实数轴上不连续。000Im0Im0,lim arg,lim argzxzxzzxzz 解
12、：当 在负实数轴上时 有在负实数轴上不连续；故zarg,0Im,0Re0时当zzCz0zyxO与负实数轴不相交。使得角状域00argarg,0zz中，包含在邻域的，则取argargarg|)sin(|00000zzzzzzzz连续。在，即所以00)(|argarg|zzfzz 定理定理4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为分母不为0)仍为连续函数仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。.0)()()()(10点点外外处处处处连连续续在在复复平平面面内内除除分分母母为为的的；在在整整个个复复平平面面内内是是连连续续由由以以上上讨讨论论
13、zQzPzRzazaazPnn MzfMCzfC )(,0)(在在曲曲线线上上恒恒有有上上连连续续在在若若内内的的曲曲线线段段为为闭闭曲曲线线或或端端点点包包括括在在设设曲曲线线有界性：有界性：&1.复变函数的导数定义复变函数的导数定义&2.解析函数的概念解析函数的概念2.1 解析函数的概念解析函数的概念 一一.复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义定义定义 设函数设函数w=f(z)zD,且且z0、z0+zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f(z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f(z)在在z0的导数，的导数，记作记作zzfzzfz )()(li
14、m000zzfzzfdzdwzfzzz )()(lim)(00000 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f(z)在区域在区域D内可导内可导。A (1)(1)z z00是在平面区域上以任意方式趋于零。是在平面区域上以任意方式趋于零。A (2)(2)z=z=x+iy,x+iy,z z=x+iy,f=f(z+z)-f(z)x+iy,f=f(z+z)-f(z).Re)(:可可导导在在平平面面上上的的任任何何点点都都不不证证明明zzf 例例1zzzzzf )Re()Re(:证证明明yixxxx yixx ;0,0;1,0zfzzfz时时取取纯纯虚虚数数趋趋于于当当时时取取
15、实实数数趋趋于于当当.lim0不不存存在在zfz (2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c=(a+ib)=0.(zn)=nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz-实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广 设函数设函数f(z),g(z)均可导，则均可导，则 f(z)g(z)=f (z)g(z)，f(z)g(z)=f (z)g(z)+f(z)g(z)0)(,)()()()()()()(2 zgzgzgzfzgzf
16、zgzf.0)()()()(10处处可可导导点点外外）处处在在复复平平面面上上（除除分分母母为为导导；在在整整个个复复平平面面上上处处处处可可由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 复合函数的导数复合函数的导数(f g(z)=f (w)g(z)，其中其中w=g(z)。反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中:w=f(z)与与z=(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w)0。)(1)(wzf?)(,;),()(,22的的可可导导性性复复函函数数中中内内可可导导在在实实函函数数中中zzfxxf&思考题思考题例例3 问：函数问：函数f(z)=x+2yi是否可导？是否可导？!0,0
17、20,012lim0不存在不存在时时当当时时当当 yxxyyixyixz)(11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例2解解22)1(1)52)(5(2)(zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解.2)(处处处处不不可可导导故故函函数数yixzf 例例4 证明证明 f(z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。时时不不存存在在时时0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00证明证明不存在！不存在！时时当当时时当当 0,010,00
18、lim0yxxyyixxzA (1)(1)复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。以任意方式趋于零的原故。(2)(2)在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举。(3)可导与连续可导与连续若若 w=f(z)在点在点 z0 处可导处可导 w=f(z)点点 z0 处连续处连续.?连续连续在在
19、所以所以由此可得由此可得则则令令有有时时使得当使得当则则可导可导在在若若证明证明000000000000000)(),()(lim,)()()(,0lim),()()(,)()()(,0,0,0,)(:zzfzfzzfzzzzfzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzzfzz 二二.解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f(z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f(z)在在z0解析；解析；如果如果f(z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f(z)在在D内解析，或称内解析，或称f(z)是是D内的解析函数内的解
20、析函数 (全纯函数或正则函数）全纯函数或正则函数）。如果如果f(z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f(z)的的奇点奇点。A (1)w=f(z)在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。(2)函数函数f(z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。定理定理1 设设w=f(z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及及 f(z)g(z)(g(z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。.)0()()()()(10的的解解析析函函数数点点外外除除分分母母为为是是复复平平面面上上函函数数；是是整整个个复复平平面面上上的的解解析析由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 定理定理 2 设设 w=f(h)在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析,h=g(z)在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析,h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。u注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；u注解2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；u注解3、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解：注解：
