1、1复数的加减法复数的加减法高二高二 数学数学2复数的加法与减法复数的加法与减法3一、复数加法与减法的运算法则复数的加法与减法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 很明显，两个复数的和仍然是一个复数 容易验证：对于任意 ，C，有Z Z 1Z Z 2Z Z 3 +=+，Z Z 1Z Z 2Z Z 2Z Z 1Z Z 3(+)+=+(+).Z Z 1Z Z 2Z Z 3Z Z 1Z Z 21、复数加法的运算法则4(a+bi)(c+di)=x+yi，2、复数减法的运算法则复数减法规定是加法的逆运算(c+di)+(x+yi)=a+bi，由复数相等定义，有 c+x=a，d+y=b 由此，x
2、=ac，y=bd(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i一、复数加法与减法的运算法则5例1、计算(23i)+(-83i)(34i)解：(23i)+(-83i)(34i)=(283)+(-33+4)i=-92i .一、复数加法与减法的运算法则6一、复数加法与减法的运算法则思考：设Z Z=a+bi (a,bR)Z Z+=?Z ZZ Z =?Z Z7证明：设 =，=Z Z 1a+b i11Z Z 2a+b i22a1b1a2b2(,)R，则 例2、设 ,C，求证：Z Z 1Z Z 2Z Z 1Z Z 2+=+，=-Z Z 1Z Z 2Z Z 1Z
3、 Z 2-Z Z 1Z Z 2Z Z 1Z Z 2+=()+()a+b i11a+b i22=()+()ia+a 12b+b12=()()ia+a 12b+b12=(i)+(i)a b 11a b22=+Z Z 1Z Z 2一、复数加法与减法的运算法则同理可证：=Z Z 1Z Z 2-Z Z 1Z Z 2.8二、复数加法与减法运算的几何意义1、复数加法的运算的几何意义设：，分别对应复数a+bi 与c+di,oz1oz29二、复数加法与减法运算的几何意义(1)，不共线oz1oz2xy0 Q P R SZ Z 1Z Z 2 Z ZZ Z S OQ，Z Z 1=Z Z 2且 PRS 是矩形，因此Z
4、Z 1OR=OP+PR=OP+SZ Z 1 =OP+OQ=a+c RZ Z=RS+SZ Z=P +Q =b+d Z Z 1Z Z 2 点Z Z(a+c,b+d),就是与复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量.oz10二、复数加法与减法运算的几何意义(2)，共线oz1oz2画出一个“压扁”了的平行四边形，并据此画出它的对角线来表示 ,的和.oz1oz2复数的加法可以按照向量的加法法则来进行，这就是复数加法的几何意义.11二、复数加法与减法运算的几何意义2、复数减法的运算的几何意义xyZ Z 1Z Z 2 Z Z 0(1)xyZ Z 1Z Z 2 0(2)复数 Z ZZ Z 差所对应的向量：-=
5、1oz1oz2ozozz z =21oz1 -=ozz z11两个复数的差Z ZZ Z 与连接两个向量终点并指向被减数的向量对应.12二、复数加法与减法运算的几何意义Z Z=a+bi Z Z+=2aZ ZZ Z-=2bi Z ZxyB 0AZ ZZ ZC2aaxyB 0AZ ZZ Zab-b13例3、已知复平面内一个平行四边形的三个顶点对应的复数是0,5+2i,-3+i，求第三个顶点对应的复数.解：设 ,对应的复数分别为5+2i,-3+i OA OB 对应的复数是OC(5+2i)+(-3+i)=2+3i 如图(1)，在 OACB中,=+OAOCOBxyB 0CA(1)二、复数加法与减法运算的几
6、何意义14 对应的复数是OC(-3+i)-(5+2i)=-8-i 如图(2)，在 OACB中,=-OAOCOBABxyB 0CA(2)二、复数加法与减法运算的几何意义15(5+2i)-(-3+i)=8+i 对应的复数是 CO如图(3)，在 OBAC中,=-OBOCOA BAxyB 0CA(3)所以第三顶点C对应的复数是2+3i,-8-i,8+i.二、复数加法与减法运算的几何意义16二、复数加法与减法运算的几何意义3、复平面内两点间距离xyZ Z 1Z Z 2 0设Z Z =+i,=+i 它们在复平面内分别1x 1y 1Z Z 2x 2y 2对应于点 ,则d=|-|Z Z 1Z Z 2Z Z 2
7、Z Z 1x 2证明：|-|=|(+i)-(+i)|Z Z 2Z Z 1y 2x 1y 1x 1y 2x 2=|(-)+(-)i|y 1=d=(-)+(-)x 1y 2x 2y 117二、复数加法与减法运算的几何意义例4、用复数表示圆心在点P，半径为r的圆的方程。解：如图，设圆心P对应的复数是P=a+bi，圆的半径为r，圆心任一点Z Z与复数P对应的复数Z Z=a+bi 对应，那么|Z Z-P|=r这就是复平面内的圆的方程利用复数的减法法则，把圆的方程|Z Z-P|=r化成用实数表示的一般形式为：(x-a)+(y-b)=rxyZ Z 0P18二、复数加法与减法运算的几何意义例5、如果复数Z Z
8、满足|Z Z+2-2i|1，求|Z Z|的最大值与最小值及相应的复数Z Z。xy 0CZ Z 2Z Z 1解:Z Z+2-2i=Z Z-(-2+2i)直线OC的方程是y=-x，圆C的方程是满足|Z Z+2-2i|1 所对应的点Z Z，径的圆的内部（如图），|Z Z|就是圆C及其内部各点到圆点的距离，使|Z Z|取得最大值与最小值的点就是OC与圆C的两个交点。组成以C(-2,2)点为圆心，以r为半(x+2)+(y+2)=119二、复数加法与减法运算的几何意义解方程组 y=-x (x+2)+(y+2)=1(-,)得 点的坐标是(-,)，点的坐标是Z Z 132 232 2Z Z 2 22 22当Z
9、 Z=-+i 时，|Z Z|=3；32 232 2max 当Z Z=-+i 时，|Z Z|=1；min 22 2220二、复数加法与减法运算的几何意义思考题1、已知复Z Z 满足|Z Z|=1，求|Z+Z+1-2i i|的最大值与最小值。分析：|Z+Z+1-2i i|=|Z Z-(-1-2i i)|xyB-1 0 1PA M(1,2)如图，求得|OM|=5|Z+Z+1-2i i|=|MB|=+1max 5|Z+Z+1-2i i|=|MA|=-1min 521二、复数加法与减法运算的几何意义2、设复平面内的点 ,分别对应复数为 ,，Z Z 1Z Z 2Z Z 1Z Z 2则线段 ,垂直平分线的方程是：Z Z 1Z Z 2|Z Z-|=|Z Z-|Z Z 2Z Z 1例如|Z+Z+1|=|Z Z-i i|是连结复数-1,i i在复平面内对应点的线段的垂直平分线方程。xy1 -1 0 1Z Z 22二、复数加法与减法运算的几何意义3、根据复数的几何意义及向量表示，将椭圆+y b x a=1(ab0)，双曲线 =1(a0,b0)-y b x a分别写成复数方程的形式。答：|Z+Z+C|+|Z Z-C|=2a，其中C=；a-b|Z+Z+C|-|Z Z-C|=2a，其中C=；a+b23作业基础题 习题二十七 1、2、3、4、5 提高题 习题二十七 6、7、8、924复数的加法与减法谢 谢
