1、第二节第二节 复数域数学模型复数域数学模型传递函数传递函数第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型建立系统微分方程的目的是什么？建立系统微分方程的目的是什么？如何求解得到的微分方程式？如何求解得到的微分方程式？对于高阶线性微分方程如何求解？对于高阶线性微分方程如何求解？使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些优势？些优势？思考？思考？在求解方法上：计算简单在求解方法上：计算简单 (把微积分运把微积分运算变换成代数运算或查表算变换成代数运算或查表)，容易求出系统，容易求出系统对输入的响应。对输入的响应。引入传递函数的概念引入传递函数的概念(复数域数学模
2、型复数域数学模型)，把系统的动态性能和传函的零极点联系起来，把系统的动态性能和传函的零极点联系起来，使在复数域内使在复数域内(根轨迹法根轨迹法)和频域内和频域内(频率法频率法)分析和设计系统成为可能。分析和设计系统成为可能。优势优势：项 目内 容教 学 目 的从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的传递函数形式过渡。教 学 重 点熟悉传递函数的各种一般表达形式。教 学 难 点传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思维方法。对典型环节传递函数的理解。讲授技巧及注意事项 注重微分方程同传递函数的对比。2-2 复数域数学模型复数域数学模型传递函数传递函数 本节课的学习思路：从多个方本节课的学习思
3、路：从多个方位来观察我们将要研究的对象位来观察我们将要研究的对象传传递函数递函数，为下一步深入细致的讨论，为下一步深入细致的讨论(第四章和第五章第四章和第五章)做准备。做准备。本节内容本节内容v拉式变换拉式变换v传递函数的概念和表达形式传递函数的概念和表达形式v系统传递函数的建立系统传递函数的建立v典型环节的传递函数典型环节的传递函数v拉式反变换拉式反变换v1.定义：定义：设函数设函数 f(t)当当 时有定义，设时有定义，设 且积分存在，则称且积分存在，则称F(s)是是f(t)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。简称拉氏变换。简称拉氏变换。f(t)称为称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：的拉氏逆变换
4、。记为：0()()stF sLf tf t edt 1()f tLF s0t 原函数象函数2-2 传递函数传递函数一一 拉氏变换拉氏变换(2)例例2 求阶跃函数求阶跃函数 的拉氏变换。的拉氏变换。0000000()()()()1stsssF st edtt edtet dte(1)例例1 求单位脉冲函数求单位脉冲函数 的拉氏变换。的拉氏变换。()()f tt()1()f tRt00()ststRRF sRedtess 单位阶跃函数单位阶跃函数 的拉氏变换的拉氏变换为为 。()1()f tts1v2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)1tv3.几个重要的拉氏变换
5、几个重要的拉氏变换（掌握）（掌握）21scosatetsinatet22()sasa22()sa22sate22sssintcos t1s1sa()t1()t(1)线性性质线性性质)()()()(2121tfbLtfaLtbftafL111()()(0)Lf t dtF sfss(2)积分性质积分性质(3)微分性质微分性质121()()(0)(0)(0)nnnnnL f ts F ssfsffv4.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质(4)终值定理终值定理)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(lim0ssFtfst(5)初值定理初值定理(6)时间比例尺时间比例尺(相似相似)定理定理
6、()()tL faF asaa.实域中的位移定理，若原函数在时间上延实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟迟 ，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以 。)()(sFetfLs seb.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以原函数应乘以 。即。即ate)()(asFtfeLat(7)位移定理位移定理 1.定义：从象函数定义：从象函数F(s)求原函数求原函数 f(t)的运算称为拉的运算称为拉氏反变换。记为氏反变换。记为 。由。由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。所有极点的实部。直接
7、按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直必须是一种能直接查到的原函数的形式。接查到的原函数的形式。)(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst二二 拉氏反变换拉氏反变换 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需不能在表中直接找到原函数，则需要将要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。部分分式的拉氏变换在表中可以查到。展开的常用方法有：u配方法u比较系数法u留数法例例1：求：求 的拉氏反变
8、换。的拉氏反变换。例例2：求：求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。1111()()()()F ssa sbba sasb221111()(1)1F ssssss)1(1)(2sssFu配方法配方法1()()()F ssa sb解：解：解：解：1()()atbteef tLF sba则1()()1tf tLF ste u比较系数法比较系数法2()1(1)abcF ssss解：213()(1)F ss s例 求的拉氏反变换。2(1)(1)1a sbs scs则1,1,1abc 对应项系数相等得2111()1(1)F ssss1()()1ttf tLF seteu留数法留数法10111011()()()
9、()mmmmnnnnb sbsbs bN sF smnD sa sasa s aF(s)总能展开成如下简单的部分分式之和：总能展开成如下简单的部分分式之和：nnpscpscpscsF2211)(lim()()iiispcF s spnumernationdenominator （1）D(s)=0没有重根没有重根1()(1)(2)(3)F ssss例4 求的原函数。3121()(1)(2)(3)123cccF sssssss解：设1111lim(1)(1)(2)(3)6scssss 其中：其中：所以：所以：所以：所以：111111()61152103F ssss 2211lim(2)(1)(2)
10、(3)15scssss3311lim(3)(1)(2)(3)10scssss23111()61510tttf teee(2)D(s)=0(2)D(s)=0包含包含r r重根重根其中：其中：11111111()()nrrrrrrncccccspspspspsp11()()()()()rrnN sF sspspsp1(1)1111lim()()(1)!rrrspdcspF srds11lim()()rrspcspF s111lim()()rrspdcspF sds1()11lim()()!jrrjjspdcspF sjds1112111()(1)!(2)!nrp tptp trrrrrnccf t
11、ttc ec ec err1111()(1)!mptmtespmL由于：由于：所以所以：例5 求 的拉氏反变换。)1()2(3)(2ssssF2()(2)21abcF ssss其中：其中：所以：所以：所以：所以：解：设解：设2223(2)1(2)(1)ssasss 2223(2)2(2)(1)sdsbsdsss 123(1)2(2)(1)sscsss2()(2)2ttf ttee 2122()(2)21F ssss用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤 对微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，方程中的初始值应取系统在t=0时刻的对应值；求出系统输出变
12、量的表达式；将输出变量的表达式展开成部分分式；对部分分式进行反变换，即得微分方程的解。2)(6)(5)(22tydttdydttyd)3)(2(27)65(27)(222sssssssssssY272()(2)(3)23ssabcY ss sssss例6.已知系统的微分方程式为：2)0(,1)0(yy并且设：，试求微分方程的解。ssYyssYysysYs2)(6)0(5)(5)0()0()(2解：方程两边进行拉氏变换代入初始值变换形式可得设22724(3)sssbs s23110()433tty tee其中：其中：所以：所以：两端进行拉氏反变换，得两端进行拉氏反变换，得20721(2)(3)3
13、sssas ss237210(2)3ssscs s 1410()323(3)Y ssss22()(532)672abc sabc sass如果使用比较系数法：如果使用比较系数法：1532762abcabca110433abc 解得：通分后令通分后令比较系数得比较系数得1410()323(3)Y ssss同样求出同样求出23110()433tty tee两端进行拉氏反变换，得两端进行拉氏反变换，得线性定常系统微分方程的一般形式为：线性定常系统微分方程的一般形式为：1.定义：定义：零初始条件零初始条件下，系统输出量的拉氏变换下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。与输入量
14、拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。1011110111()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdddac tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdt三三 传递函数的概念和表达形式传递函数的概念和表达形式 c(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)为系统输入，则在为系统输入，则在零初始零初始条件下条件下，对上式两边取拉氏变换，由，对上式两边取拉氏变换，由微分性质微分性质得到得到系统传递函数为：系统传递函数为：标准形式、有理分式形式标准形式、有理分式形式或多项式形式或多项式形式1011110111()()()()()()()()n
15、nnnnnmmmmmmdddac tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdt10111011mmmmnnnnb sb sbsba sa sasa()()()C sG sR s 在零初始条件下求系统或环节的传递在零初始条件下求系统或环节的传递函数，只需要函数，只需要将微分方程中变量的各阶导数将微分方程中变量的各阶导数用用s s的相应幂次代替的相应幂次代替就行了，因此从微分方就行了，因此从微分方程式求传递函数非常容易。经过变换后，我程式求传递函数非常容易。经过变换后，我们把一个复杂的们把一个复杂的微分方程式微分方程式变换成了一个简变换成了一个简单的
16、单的代数方程代数方程。为系统增益（放大系数）为系统增益（放大系数）返回返回尾尾1 1形式形式mm 101m-1mnn 101n-1n22aibibibi1122cidididii=1i=1b sb sbsbG(s)a sa sasa(s 1)(2s 1)s(T s 1)(T s2T s 1)uiis 因式分解因式分解时间常数形式时间常数形式典型环节形式典型环节形式mnbKa各项提取各项提取an各项提取各项提取bmu传递函数的第二种表达形式传递函数的第二种表达形式为根轨迹增益为根轨迹增益首首1 1形式形式mm 101m-1mnn 101n-1ni*0121012ii=1b sb sbsbG(s)
17、a sa sasa(s-z)()()()()()()s(s-p)mminnb szszszKa spspsp因式分解因式分解零极点增益形式零极点增益形式根轨迹形式根轨迹形式*00bKa各项提取各项提取a0各项提取各项提取b0u传递函数的第三种表达形式传递函数的第三种表达形式稳态增益稳态增益K和根轨迹增益和根轨迹增益K*的定义及关系：的定义及关系：*1011*001()lim()()()miminsnjjnjjmiizbKs GsKappbKKaz这两个参数是重要的调试参数。这两个参数是重要的调试参数。1011()nnnnD sa sasasa称为系统的特征多项式，称为系统的特征多项式，S的最高
18、阶次的最高阶次n即为即为系统的阶次。系统的阶次。D(s)=0称为系统的特征方程。称为系统的特征方程。分母分母mm101m-1mnn101n-1n22aibibibi1122cidididii=1i=1012012i*1ii=1b sb sbsbG(s)a sa sasa(s1)(2s1)s(T s1)(T s2T s1)()()()()()()(s-z)s(s-p)uiimnminsbszszszaspspspK 传递函数的三大表达形式：传递函数的三大表达形式：传递函数的零极点分布图传递函数的零极点分布图0.5()(1)(2)sG sss传函传函的零极点分布图的零极点分布图2.传递函数的性质传
19、递函数的性质（1）对应性：传递函数与微分方程一一对应。）对应性：传递函数与微分方程一一对应。如果将如果将 置换，传递函数置换，传递函数 微分方程微分方程（2）固有性：传递函数表征了系统本身的动态）固有性：传递函数表征了系统本身的动态特性。传递函数只取决于系统本身的结构参数，而特性。传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入等外部因素无关，可见传递函数有效地描述与输入等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。了系统的固有特性。（3）局限性：只反映零初始条件下输入信号引）局限性：只反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。起的输出，不能反映非零初始条件引起
20、的输出。（4）唯一性。）唯一性。dsdt（5）传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响）传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应，反之，系统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的应，反之，系统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的传递函数，两者有一一对应的关系。传递函数，两者有一一对应的关系。（6）同形性：）同形性：G(s)虽描述了输出输入间的关系，虽描述了输出输入间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。物理性质截然但它不提供任何该系统的物理结构。物理性质截然不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。（7）特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。）特殊性：传递函数仅适用于线
21、性定常系统。（8）有理性：传递函数为有理真分式函数。即）有理性：传递函数为有理真分式函数。即m小于等于小于等于n。静一静，想一想：静一静，想一想：1.1.我们已经前进一步了，我们将一般形我们已经前进一步了，我们将一般形式的微分方程变换成了传递函数，并且有了许式的微分方程变换成了传递函数，并且有了许多表达形式；多表达形式；2.2.我们把研究对象的微积分运算形式变成我们把研究对象的微积分运算形式变成了代数运算形式，简化了运算，降低了工作的了代数运算形式，简化了运算，降低了工作的难度；难度；3.3.更大的收获是在传递函数代数和几何形更大的收获是在传递函数代数和几何形式下，想象力增强了。我们可以对系统
22、采取更式下，想象力增强了。我们可以对系统采取更多的方法进行分析和研究了。多的方法进行分析和研究了。四四 传递函数的建立传递函数的建立方法方法1：一般元件和系统传递函数的求取方法：一般元件和系统传递函数的求取方法：（1）列写元件或系统的微分方程；）列写元件或系统的微分方程；（2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；（3）取输出与输入的拉氏变换之比。）取输出与输入的拉氏变换之比。例1 对RC无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：已求得网络的微分方程形式为已求得网络的微分方程形式为()()()ooidu tRCu tu tdt两边进行拉氏变换，可得两边进行
23、拉氏变换，可得()()()ooiRCsUsUsU s取输出与输入的拉氏变换之比取输出与输入的拉氏变换之比()1()()1oiUsG sU sRCs 例2 对无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：已求得网络的微分方程形式为已求得网络的微分方程形式为211221122122()()()()()oooid u tdu tRC R CRCR CRCu tu tdtdt两边进行拉氏变换，可得两边进行拉氏变换，可得21122112212()()()()()oooiRC R C s UsRCR CRC sUsUsU s取输出与输入的拉氏变换之比取输出与输入的拉氏变换之比21122112212()1
24、()()()1oiUsG sU sRC R C sRCR CRC s 例3 一个由弹簧、质量、阻尼器组成的做直线运动的力学系统。图中，m为物体的质量，k为弹簧系数，f为粘性摩擦系数，F(t)为物体受到的外作用力，y(t)为物体的位移。试求传递函数Y(s)/F(s)。f解：已求得系统的微分方程形式为已求得系统的微分方程形式为22()()()()d y tdy tmfky tF tdtdt两边进行拉氏变换，可得两边进行拉氏变换，可得2()()()()ms Y sfsY skY sF s取输出与输入的拉氏变换之比取输出与输入的拉氏变换之比2()1()()Y sG sF smsfsk方法方法2：利用系
25、统的单位脉冲响应求系统的传：利用系统的单位脉冲响应求系统的传递函数。递函数。（1）测量系统在零初始条件下的单位脉冲响应；）测量系统在零初始条件下的单位脉冲响应；（2）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。证明：证明：由 ()()()()C sG sC sR sG sR s ()1r ttR s由()C sG s所以又因为()()L c tC s ()L c tG s所以C(s):系统单位脉冲响应复数域形式系统单位脉冲响应复数域形式c(t):系统单位脉冲响应时域形式系统单位脉冲响应时域形式 例例4 测得测得某系统在零初始条件下脉冲输入作用某系统
26、在零初始条件下脉冲输入作用时的输出响应为时的输出响应为2()4ttc tee求系统的传递函数。求系统的传递函数。11241()()421ttG sLc tLeess解解:对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数(重要)v运算(复)阻抗()()()()()()U su ti t RU sRI sRI s电阻()1()()()()()du tU si tCI sCsU sdtCsI s电容()()()()()()di tU su tLU sLsI sLsdtI s电感1()()()R sRC sL
27、sLsCs 例例5 对无源网络，对无源网络，求传递函数求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：把图中各量用复阻抗表示解：把图中各量用复阻抗表示221222122221122111()111()()111()11oiRC sC sRC sC sC sUsU sRRC sC sC sRRC sC s21122112212()1()()()1oiUsG sU sRC R C sRCR CRC s根据分压定理写出根据分压定理写出Uo(s)表达式表达式化简得传函表达式化简得传函表达式复阻抗复阻抗+分压定理分压定理 例例6 对无源网络，对无源网络，求传递函数求传递函数Uo(s)/Ui(s)。2()()()o
28、RCUsUsUs11211122111()11()()111()()1111iiRRC sRRC sC sRU sU sRRRRRC sC sC sC sC sRRRRC sC s2121()()21()oiUsG sRC C sRC sU s解：解：复阻抗复阻抗+分压定理分压定理根据分压定理写出根据分压定理写出Uo(s)表达式表达式化简得传函表达式化简得传函表达式1.比例比例(放大放大)环节环节 ()G s()C sKc tKr tR s特点：输出与输入成正比，无失真和时间延迟。特点：输出与输入成正比，无失真和时间延迟。五五.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数uc2.惯性环节惯性环节特
29、点：含一个储能元件，对突变的输入不能立即跟特点：含一个储能元件，对突变的输入不能立即跟随，输出无振荡。随，输出无振荡。()1G s()1C sdcTcrR sTsdt0.633.微分微分(超前超前)环节环节 G sdr tC(s)=Tsc tTR(s)dt特点：能预示输入信号的变化趋势。特点：能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的关系。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的关系。r(t)由于由于 在实际工程中不存在，所以纯微分环节不在实际工程中不存在，所以纯微分环节不能单独存在，只是理想微分环节。能单独存在，只是理想微分环节。G sC(s)TsR(s)若输入一阶跃信号
30、若输入一阶跃信号1()R ss，则可求出则可求出()(),c tTt()t实际微分环节为实际微分环节为(带有惯性环节带有惯性环节)G s1C(s)TsR(s)Ts实际微分环节实现电路实际微分环节实现电路4.积分环节积分环节 11G siic tr t dtTsT特点：输入消失后输出仍具有记忆功能。特点：输入消失后输出仍具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的关系，物体行驶距离实例：电动机角速度与角度间的关系，物体行驶距离与物体速度间的关系，模拟计算机中的积分器等。与物体速度间的关系，模拟计算机中的积分器等。0tdt5.振荡环节振荡环节 22221G s20121d cdcTTcrT sTsd
31、tdt特点：环节中有两个独立储能元件，并可进行能量交特点：环节中有两个独立储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。换，其输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路、两级电路、两级RCRC电路、弹簧电路、弹簧-物体物体-阻尼器力学阻尼器力学位移系统等。位移系统等。6.一阶微分环节和二阶微分环节一阶微分环节和二阶微分环节()()()dr tG sTs+1c tTr tdt 222C(s)G sT s+Ts1R(s)222()()()2()d r tdr tc tTTr tdtdt 一阶微分环节、二阶微分环节和纯微分环节都一阶微分环节、二阶微分环节和纯微分环节都称为理论微分环节，不满足称为理论微
32、分环节，不满足 的条件，所以在实的条件，所以在实际工程中不会单独存在。际工程中不会单独存在。nm7.延迟环节延迟环节特点：准确复现输入量，但延迟了一个固定的时间特点：准确复现输入量，但延迟了一个固定的时间间隔。间隔。实例：液压、气动等压力在容器内或热量在管道中实例：液压、气动等压力在容器内或热量在管道中的传播有延迟时间；胶带输送机等机械传动系统、的传播有延迟时间；胶带输送机等机械传动系统、晶闸管（可控硅）整流器等的控制问题的数学模型晶闸管（可控硅）整流器等的控制问题的数学模型就含有延迟环节；计算机控制系统中，由于运算需就含有延迟环节；计算机控制系统中，由于运算需要时间，也会出现延迟。要时间，也会出现延迟。G s()()c tr t-se传函典型环节表达式传函典型环节表达式本节应该掌握：本节应该掌握：1.传递函数的概念和表达形式传递函数的概念和表达形式2.系统传递函数的建立系统传递函数的建立3.典型环节的传递函数典型环节的传递函数小小 结结作业：作业：2-3 2-4 2-9 2-10
