1、【课标要求【课标要求】1了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系方程与二元一次方程的关系2能正确地进行一般式方程与特殊形式的方程的转化能正确地进行一般式方程与特殊形式的方程的转化3能运用直线的一般式方程解决有关问题能运用直线的一般式方程解决有关问题【核心扫描【核心扫描】1直线的一般式与特殊形式方程之间的转化直线的一般式与特殊形式方程之间的转化(重点重点)2直线一般式方程的应用直线一般式方程的应用(难点难点)3.2.3 直线的一般式方程直线的一般式方程名称名称 已知条件已知条件 方程方程 适用范围适用范围 点斜式点斜
2、式 斜截式斜截式 两点式两点式 截距式截距式 特别的：过点特别的：过点(x0,y0)与与x轴垂直的直线可表示成轴垂直的直线可表示成_，过点过点(x0,y0)与与y轴垂直的直线可表示成轴垂直的直线可表示成_.0 xx0yy复习回顾：复习回顾：00yyk xx000,P xyk点斜率斜率存在的直线kb斜率，纵截距ykxb斜率存在的直线1212111222,xxyyP x yP xy点112121yyxxyyxx斜率存在、斜率不为0的直线0,0abab横截距，纵截距1xyab斜率存在且不为0、不过原点的直线直线的方程直线的方程新知探究：新知探究：【探究【探究】任意一条直线的方程都能化成任意一条直线的
3、方程都能化成Ax+By+C=0(A、B不同时为不同时为0)的形式，那么，对于任意一个二元一次方程的形式，那么，对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B不同时为不同时为0)，是否表示一条直线？，是否表示一条直线？Oxy直线的图象直线的图象【实例】方程【实例】方程 2x+3y-6=0，是否表示一条直线？若是，求出，是否表示一条直线？若是，求出直线的斜率、横纵截距，并画出直线的图象。直线的斜率、横纵截距，并画出直线的图象。2360 xy将方程解：变形为223yx 223表示斜率为，纵截距为 的直线03,yx令，得 3,00,2过点，3即直线的横截距为新知探究：新知探究：【探究【探究】任意
4、一条直线的方程都能化成任意一条直线的方程都能化成Ax+By+C=0(A、B不同时为不同时为0)的形式，那么，对于任意一个二元一次方程的形式，那么，对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B不同时为不同时为0)，是否表示一条直线？，是否表示一条直线？100BAxByC当时，将方程变形为ACyxBB 0ACBB表示斜率为，过点，的直线 2000BAxCA当时，方程变为CxA 即x表示与 轴垂直的直线(1)平面上任一条直线都可以用一个关于平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程的二元一次方程表示表示,(2)任意一个关于任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线的二元一次方程
5、都表示一条直线.新知介绍：新知介绍：关于关于x,y的二元一次方程的二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B不同时为不同时为0)，叫做直线的一般式方程，简称一般式叫做直线的一般式方程，简称一般式.一、直线的一般式方程一、直线的一般式方程一般式方程适用的范围：一般式方程适用的范围：平面直角坐标系中的所有直线平面直角坐标系中的所有直线【探究】在前面的探究过程中，我们发现一般式方程【探究】在前面的探究过程中，我们发现一般式方程 Ax+By+C=0(A、B不同时为不同时为0)当当B=0时，可以表示斜率时，可以表示斜率不存在的直线，那么不存在的直线，那么A、B、C分别为何值时，方程可以分别为何值时，方程可
6、以表示下列直线？表示下列直线？与与y轴平行轴平行与与y轴重合轴重合与与x轴平行轴平行与与x轴重合轴重合经过原点经过原点000BAC，000BAC，000ABC，000ABC，0,0CAB、不同时为【例例1】根据下列条件求解直线的一般式方程：根据下列条件求解直线的一般式方程：(1)直线的斜率为直线的斜率为2，且经过点，且经过点A(1，3)；(2)直线的倾斜角为直线的倾斜角为60，且在，且在y轴上的截距为轴上的截距为4；(3)经过两点经过两点A(2，3)，B(1，5)；(4)在在x，y轴上的截距分别为轴上的截距分别为2，4.思路探索思路探索分别利用直线的点斜式，斜截式，截距式求出分别利用直线的点斜
7、式，斜截式，截距式求出直线的方程，然后转化为直线方程的一般式直线的方程，然后转化为直线方程的一般式要求：要求：1、一般式按含、一般式按含x项项、含、含y项项、常数项常数项顺序排列；顺序排列；2、x项的系数为项的系数为正正；3、x，y的系数和常数项一般的系数和常数项一般不出现分数不出现分数；4、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式典型例题：典型例题：【例例1】根据下列条件求解直线的一般式方程：根据下列条件求解直线的一般式方程：(1)直线的斜率为直线的斜率为2，且经过点，且经过点A(1，3)；(2)直线的倾斜角为直线的倾斜角为60，且在
8、，且在y轴上的截距为轴上的截距为4；(3)经过两点经过两点A(2，3)，B(1，5)；(4)在在x，y轴上的截距分别为轴上的截距分别为2，4.典型例题：典型例题：1321yx解：210 xy 234yx340 xy 35232 13k 2323yx23130 xy 4124xy240 xy【例【例2】求下列直线的斜率以及它在求下列直线的斜率以及它在y轴上的截距，轴上的截距，并画出图象并画出图象.1 35150220314 25034xyxyxyy典型例题：典型例题：思路探索思路探索将直线方程转化为直线的点斜式方程将直线方程转化为直线的点斜式方程画直线的图象时，只需要直线的两个点即可，通常我们画
9、直线的图象时，只需要直线的两个点即可，通常我们会取直线与两坐标轴的交点会取直线与两坐标轴的交点【例【例2】求下列直线的斜率以及它在求下列直线的斜率以及它在y轴上的截距，轴上的截距，并画出图象并画出图象.1 35150220314 25034xyxyxyy典型例题：典型例题：135150 xy将：程解方变形为335yx 3,35kb Oxy 220 xy将方程变形为12yx1,02kb【例【例2】求下列直线的斜率以及它在求下列直线的斜率以及它在y轴上的截距，轴上的截距，并画出图象并画出图象.1 35150220314 25034xyxyxyy典型例题：典型例题：x 3134xy将方程变形为443
10、yx 4250y 将方程变形为4,43kb 52y 50,2kb Oxy名称名称 已知条件已知条件 方程方程 适用范围适用范围 点斜式点斜式 斜截式斜截式 两点式两点式 截距式截距式一般式一般式 复习回顾：复习回顾：00yyk xx000,P xyk点斜率斜率存在的直线kb斜率，纵截距ykxb斜率存在的直线1212111222,xxyyP x yP xy点112121yyxxyyxx斜率存在、斜率不为0的直线0,0abab横截距，纵截距1xyab斜率存在且不为0、不过原点的直线直线的方程直线的方程,00A BAxByC不同时为平面直角坐标系内的所有直线【练习练习1】根据下列条件求解直线的一般式
11、方程：根据下列条件求解直线的一般式方程：作业讲评：作业讲评：1282yx 解：240 xy20y 24135k 23yx 10 xy 1332xy230 xy 1182,2A经过点，斜率是；24 2,Bx经过点，平行 轴；1233254PP经过点，经过点，；343.2xy在 轴，轴上的截距分别是，一般式的要求：一般式的要求：1、按、按含含x项项、含、含y项项、常数常数项项顺序排列；顺序排列；2、x项的系数为项的系数为正正；3、x，y的系数和常数的系数和常数项一般项一般不出现分数不出现分数；4、无特别说明时，最、无特别说明时，最好将所求直线方程的好将所求直线方程的结果写成一般式结果写成一般式.【
12、练习【练习2】求下列直线的斜率以及它在求下列直线的斜率以及它在y轴上的截距，轴上的截距，并画出图象并画出图象.1 35021453204 7640 xyxyxyxy作业讲评：作业讲评：思路探索思路探索将直线方程转化为直线的斜截式方程将直线方程转化为直线的斜截式方程 1350 xy方解将程：变形为35yx 3,5kb 5254yx变形为5,54kb 132yx 变形为1,02kb 72463yx变形为72,63kb画直线的图象时，利画直线的图象时，利用赋值法，只需要找用赋值法，只需要找到直线的两个点即可到直线的两个点即可0(,AxByCA B求直线一般式方程在都不为零时)的斜率和截距的方法：1(
13、0)AkBB、斜率 规律总结：规律总结：把一般式转化为斜截式0B 时，斜率不存在20,(0)CxyBB、纵截距，令则30,(0)CyxAA、横截距，令则(0)CbBB(0)CaAA【例例1】已知直线已知直线l的方程为的方程为2x(k-3)y2k+6 0,根据下根据下列条件确定列条件确定k的值：的值：(1)直线直线l的斜率为的斜率为1；(2)直线直线l与坐标轴的截距之和为与坐标轴的截距之和为0典型例题：典型例题：213k直线的斜率为解：3k 213k 5k 2620,233kxykk令则0,3yxk令则320k 1k3k横截距为23k纵截距为【例例2】(1)直线直线 的倾斜角为的倾斜角为_；(2
14、)已知直线已知直线(2a27a3)x(a29)y3a20的倾斜角为的倾斜角为45,求实数求实数a的值的值.典型例题：典型例题：451k 2 由直线的倾斜角为，得直线的斜率2227319aaka 233aa 或290a 3a 23a【强调【强调】由直线的一般式，解决斜率、截距问题时，一定由直线的一般式，解决斜率、截距问题时，一定要注意，斜率、截距存在的条件要注意，斜率、截距存在的条件.310 xy 3303k 1 直线的斜率,则直线的倾斜角为解：【例例3】求满足下列条件的直线方程求满足下列条件的直线方程:(1)与直线与直线3x4y10平行且过点平行且过点(1，2)；(2)求经过点求经过点A(2，
15、1)且与直线且与直线2xy100垂直垂直典型例题：典型例题：【思路分析【思路分析】明确两平行直线斜率之间的关系，及两直线明确两平行直线斜率之间的关系，及两直线垂直时斜率之间的关系垂直时斜率之间的关系 13410 xy 与直线解：平行，34k 3214yx 直线方程为，34110 xy即：22100 xy与直线垂直，21k 1122yx 直线方程为，20 xy即：12k【观察【观察】两平两平行行(垂直垂直)直线直线一般式系数之一般式系数之间的关系间的关系【例例3】求满足下列条件的直线方程求满足下列条件的直线方程:(1)与直线与直线3x4y10平行且过点平行且过点(1，2)；(2)求经过点求经过点
16、A(2，1)且与直线且与直线2xy100垂直垂直典型例题：典型例题：【观察【观察】两平行直线一般式方程系数之间的关系给出平两平行直线一般式方程系数之间的关系给出平行直线系方程行直线系方程.13410 xy 与直线解：平行，34k 3214yx 直线方程为，34110 xy即：13410 xy 与直线解：平行，340(1)xyCC设直线方程为，34110 xy直线方程为：1,211C 将点代入：00AxByCAxByC与直线平行的直线系方程为【例例3】求满足下列条件的直线方程求满足下列条件的直线方程:(1)与直线与直线3x4y10平行且过点平行且过点(1，2)；(2)求经过点求经过点A(2，1)
17、且与直线且与直线2xy100垂直垂直典型例题：典型例题：22100 xy与直线垂直，21k 1122yx 直线方程为，20 xy即：12k【观察【观察】两垂直直线一般式方程系数之间的关系给出垂两垂直直线一般式方程系数之间的关系给出垂直直线系方程直直线系方程.22100 xy与直线垂直，20 xyC设直线方程为，2,10C 将点代入：20 xy直线方程为：00AxByCBxAy与直线垂直的直线系方程为【练习【练习】(1)求过点求过点(1，3)，且与，且与3x4y120平行的平行的直线方程；直线方程；(2)过点过点(1，3)，且与，且与3x4y120垂直的直线方程垂直的直线方程课堂练习：课堂练习：
18、134012xy 平行，设直解：线方程为1,3将点代入9 得3490 xy直线方程为 2430 xym垂直，设直线方程为1,3将点代入13m 得43130 xy直线方程为【练习【练习】(1)求过点求过点(1，3)，且与，且与3x4y120平行的直线平行的直线方程；方程；(2)过点过点(1，3)，且与，且与3x4y120垂直的直线方程垂直的直线方程课堂练习：课堂练习：42313yx垂直，直线方程为43130 xy即：3341204xyk 直线的斜解率方法二：31314yx 平行，直线方程为3490 xy即：典型例题：典型例题：【例【例4】(1)已知直线已知直线l1：ax(a1)y3 0与与l2：
19、(a1)x(2a3)y 20互相垂直，求互相垂直，求a的值的值(2)已知直线已知直线x2ay40与与(a1)xay 20平行，平行，求求a的值的值解解:(1)l1l2，a(a1)(a1)(2a3)0，即，即a22a30.a1或或a3.(2)l1l2，1(a)2a(a1)0，a1/2，或，或a0.经检验，当经检验，当a 1/2时，时，l1与与l2重合重合 a0【练习【练习】已知直线已知直线l1：xmy60与与直线直线l2：(m2)x3y2m 0平行，求平行，求m的值的值课堂练习：课堂练习：解：解：l1l2，13m(m2)0，m1，或，或m3.经检验，当经检验，当m3时，时，l1与与l2重合重合
20、m1一、平行直线系、垂直直线系方程一、平行直线系、垂直直线系方程课堂小结：课堂小结：直线直线l1的方程为的方程为A1x+B1y+C1=0，直线，直线l2的方程的方程A2x+B2y+C2=0二、直线平行与垂直的判定二、直线平行与垂直的判定121221/0llA BA B已知直线已知直线l的一般式方程为的一般式方程为Ax+By+C=0(A、B不同时为不同时为0)与直线与直线l平行平行的直线系方程为：的直线系方程为：与直线与直线l垂直垂直的直线系方程为：的直线系方程为：注意验证不重合1212120llA AB B0AxByC0BxAy注意：注意：已知两直线的一般式方程解决平行、垂直关系已知两直线的一
21、般式方程解决平行、垂直关系(1)可直接运用平行、垂直直线一般式方程的系数关系，可避免分类可直接运用平行、垂直直线一般式方程的系数关系，可避免分类讨论，减少失误讨论，减少失误.(2)转化为斜截式，用斜率来判定，但需要考虑斜率是否存在转化为斜截式，用斜率来判定，但需要考虑斜率是否存在.拓展训练题:设直线设直线 l 的方程为的方程为(a(a1)x1)xy y2 2a=0(aR)a=0(aR)（1 1）若）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；的方程；（2 2）若）若 l 不经过第二象限，求实数不经过第二象限，求实数a a的取值范围的取值范围 解析解析:（1 1）当
22、直线过原点时，该直线在）当直线过原点时，该直线在 x x 轴轴 y y 轴上的截轴上的截距都为零，当然相等，此时距都为零，当然相等，此时a=2,a=2,方程为方程为3x+y=0.3x+y=0.若若 ，即即l不过原点时，由于不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，在两坐标轴上的截距相等，有有 ，即，即 a+1=1,a=0,a+1=1,a=0,l 的方程为的方程为 x+y+2=0.x+y+2=0.所以，所以，l 的方程为的方程为3x+y=0 3x+y=0 或或 x+y+2=0 x+y+2=0 a-2a-2a1a2（2）将）将l的方程化为的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,欲使欲使l不经过
23、第二象限，不经过第二象限，当且仅当当且仅当 或或 ，综上所述，综上所述，a的取值范围是的取值范围是 (a1)0a20(a 1)0a 2 0 a-1(-,-1 设直线设直线 l 的方程为的方程为(a(a1)x1)xy y2 2a=0(aR)a=0(aR)（1 1）若）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；的方程；（2 2）若）若 l 不经过第二象限，求实数不经过第二象限，求实数a a的取值范围的取值范围 拓展训练题:例例4：利用直线方程的一般式，求过点（：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并）并且与坐标轴围且与坐标轴围 成三角形面积是成三角形面积是6的直线方程。的直线方程。解：设直线为解：设直线为Ax+By+C=0，直线过点（直线过点（0，3）代入直线方程得）代入直线方程得3B=-C，B=C/3A=C/4又直线与又直线与x，y轴的截距分别为轴的截距分别为x=-C/A,y=-C/B由三角形面积为由三角形面积为6得得122 ABC方程方程为034 CyCxC所求直线方程为所求直线方程为3x-4y+12=0或或3x+4y-12=0 xOy3
