1、稳定性模型稳定性模型1 微分方程稳定性的理论知微分方程稳定性的理论知识识2 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获3 军备竞赛军备竞赛4 废水的生物处理废水的生物处理 稳定性模型稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势间充分长以后过程的变化趋势 平衡状平衡状态是否稳定态是否稳定.不求解微分方程，而是用微分方程稳定性不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性理论研究平衡状态的稳定性.1 微分方程稳定性的理论知识微分方程稳定性的理论知识1.1 一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性1.2 线性常
2、系数微分方程组的平衡点及其稳定性线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性1.1 一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性)1()(xFx 一阶非线性自治一阶非线性自治(右端不含右端不含t)方程方程F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡点平衡点000 xxxxx设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，某邻域的任一初值出发，都有都有,)(lim0 xtxt称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点.不求不求x(t),判断判断x0稳定性的方法稳定性的方法直接法直接法)2()(00 xxxFx(1)的近似线性方程的近似线性方程)1(
3、),2(0)(00对稳定xxF)1(),2(0)(00对不稳定xxF1.2 线性常系线性常系数微分方程组数微分方程组dycxtybyaxtx)()(的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x0,y0)=(0,0)代数方程代数方程00dycxbyax的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有,)(lim0 xtxt称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点,)(lim0ytyt记系数矩阵记系数矩阵dcbaA特征方程特征方程0)det(IAAqdapqpdet)(02特征根特征根2/)4(22,1qpp线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组d
4、ycxtybyaxtx)()(的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性特征根特征根2/)4(22,1qpp平衡点平衡点 P0(0,0)微分方程一般解形式微分方程一般解形式ttecec2121平衡点平衡点 P0(0,0)稳定稳定平衡点平衡点 P0(0,0)不稳定不稳定 1,2为负数或有负实部为负数或有负实部p 0 且且 q 0p 0 或或 q 0cErEpNEESETER)1()()()(R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度(临界强度临界强度)Es=2ER)1(rENxsspc临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场鱼量 cp,ER)1(2pNcrERE*令令=0)1(pNcrEsssxE,xs由成本由
5、成本价格比决定价格比决定捕捞过度捕捞过度捕捞捕捞过度过度T(E)0rES(E)Es2Es1S(E)pNEE*pNE/2)()()(ESETERpNcpN2/)1()(rEpNEET收入收入cEES)(支出支出利润利润临界强度临界强度Es=0)/2/(NcpNc 经济学捕捞过度经济学捕捞过度*1EEEss2/pNc)/2(Ncp*2EEEss 生态学捕捞过度生态学捕捞过度捕鱼业的捕鱼业的持续收获持续收获在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模.用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度讨论产量、效益和捕捞
6、过度3个模型个模型.3 军备竞赛军备竞赛 描述双方描述双方(国家或国家集团国家或国家集团)军备竞赛过程军备竞赛过程.解释解释(预测预测)双方军备竞赛的结局双方军备竞赛的结局.假设假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力在增加军备的潜力.进一步进一步假设假设 1）2）的作用为线性；）的作用为线性；3）的作用为常数）的
7、作用为常数.目的目的gkyxtx)(建模建模军备竞赛的结局军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性微分方程的平衡点及其稳定性x(t)甲方军备数量，甲方军备数量，y(t)乙方军备数量乙方军备数量hylxty)(,本方经济实力的制约；本方经济实力的制约；k,l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g,h 本方本方军备竞赛的潜力军备竞赛的潜力.t 时的时的x(t)，y(t)klAqpdet0)(klhglyklgkhx00,平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断lkA系数系数矩阵矩阵平衡点平衡点(x0,y0)稳定的条件稳定的条件0,0qpklhylxtygkyxtx)()(模型模型军备竞赛军备竞赛模型
8、的定性解释模型的定性解释kl双方军备稳定双方军备稳定(时间充分时间充分长后趋向有限值长后趋向有限值)的条件的条件1)双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张才会稳定，否则军备将无限扩张.平衡点平衡点klhglyklgkhx00,2)若若g=h=0,则则 x0=y0=0,在在 kl 下下 x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平即友好邻国通过裁军可达到永久和平.hylxtygkyxtx)()(模型模型,本方经济实力的制约；本方经济实力的制约；k,l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g,h 本方本方军备竞赛
9、的潜力军备竞赛的潜力.3）若）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因很小，但因 ，也会重整军备，也会重整军备.0,0yx4）即使某时一方）即使某时一方(由于战败或协议由于战败或协议)军备大减军备大减,如如 x(t)=0，也会因也会因 使该方重整军备，使该方重整军备，gkyx 即存在互不信任即存在互不信任()或固有争端或固有争端()的单方面的单方面裁军不会持久裁军不会持久.0k0g模型的定性解释模型的定性解释,本方经济实力的制约；本方经济实力的制约；k,l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g,h 本方本方军备竞赛的潜力军备
10、竞赛的潜力.hylxtygkyxtx)()(模型模型4 废水的生物处理废水的生物处理 废水处理废水处理(去掉有害的有机物去掉有害的有机物)通常通常有生物化学与物理化学两种方法有生物化学与物理化学两种方法.背景与问题背景与问题 生物处理生物处理 利用微生物利用微生物(主要是细菌主要是细菌)的生命活动过的生命活动过程程,把废水中的有机物转化为简单的无机物把废水中的有机物转化为简单的无机物.已知废水中有害物质浓度为已知废水中有害物质浓度为10-310-2g/m3,要将浓度降要将浓度降至至510-4g/m3以下以下,需建立废水与微生物混合的处理池需建立废水与微生物混合的处理池.设废水将以设废水将以10
11、m3/h的流量进入处理池的流量进入处理池,确定处理池的确定处理池的容积容积,使排出废水中使排出废水中有害物质的浓度达到规定的标准有害物质的浓度达到规定的标准.模型假设模型假设 生物化学提供了有机物分解、转化和生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数微生物增殖、衰亡的规律及相关参数2.微生物依于有害物质分解、转化的能量而增殖的速微生物依于有害物质分解、转化的能量而增殖的速率与有害物质浓度成正比，比例系数率与有害物质浓度成正比，比例系数r2=1.26m3/g.h4.处理池内有害物质和微生物任何时候都均匀混合处理池内有害物质和微生物任何时候都均匀混合,排出废水中有害物质和微生
12、物的浓度与池内相同排出废水中有害物质和微生物的浓度与池内相同.3.微生物的自然死亡率为常数微生物的自然死亡率为常数 d=10-5/h1.有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物浓度成正比，比例系数物浓度成正比，比例系数r1=0.1m3/g.hc(t)时刻时刻 t 有害物质的浓度有害物质的浓度 b(t)时刻时刻 t 微生物的浓度微生物的浓度模型假设模型假设 生物化学提供了有机物分解、转化和生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数微生物增殖、衰亡的规律及相关参数6.进入处理池的废水中有害物质浓度为进入处理池的废水中有害物质浓
13、度为c0,c01 c0 c02,c01=10-3g/m3,c02=10-2g/m3,c0可以改变可以改变,最坏情况是最坏情况是c0由由c01突然增加到突然增加到c027.环境保护法规定的废水中有害物质浓度为环境保护法规定的废水中有害物质浓度为c*=510-4 g/m3,它是长期稳定排放的标准它是长期稳定排放的标准,如果是短期排放并超如果是短期排放并超标不大标不大,可以用处罚等方法解决可以用处罚等方法解决.5.忽略蒸发等因素忽略蒸发等因素,废水进入处理池和排出处理池的废水进入处理池和排出处理池的流量均为常数流量均为常数Q=10m3/h;废水满池废水满池,池的容积为池的容积为V单池模型单池模型建立
14、一个处理池建立一个处理池(t,t+t)内内池内有害物质的平衡池内有害物质的平衡改变量改变量=进入量进入量 排出量排出量 分解转化量分解转化量)()(tcttcVttQctQc)(0ttctbVr)()(1c(t)有害物质浓度有害物质浓度b(t)微生物的浓度微生物的浓度V池的容积池的容积bcrccVQdtdc10)(t,t+t)内内池内微生物的平衡池内微生物的平衡)()(tbttbVttQbttVdbttctbVr)()()()(2bVQdcrdtdb)(2Q流量流量非线性方程组无解析解非线性方程组无解析解单池模型的稳态状况单池模型的稳态状况平衡点平衡点用微分方程稳定性理论可以验证用微分方程稳定
15、性理论可以验证:bcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2cVrccQbVrVdQcP1021)(,:0,:02bccPVQdcr/02微生物的增殖率大于死亡和排除率微生物的增殖率大于死亡和排除率dcrQVcc020当当 时时P1稳定稳定,P2不稳定不稳定单池模型的稳态状况单池模型的稳态状况c01 c0 c02Q=10m3/hr2=1.26m3/g.hd=10-5/hc0=c01=10-3g/m3V8103 m3V1.6104 m3c0=c*=510-4 g/m3Vc0dcrQV02平衡点平衡点P1稳定条件稳定条件为使稳定状况下有害物质浓度达到规定标准为使稳定状况下有害物质浓度达
16、到规定标准c*,处理池的容积至少需要达到处理池的容积至少需要达到1.6104 m3.一个长宽各一个长宽各100 m,深深1.6m的的池子池子!考察最坏情况考察最坏情况取稳定平衡点取稳定平衡点P1为初值为初值,即即单池模型的动态过程单池模型的动态过程当当c0=c01时池内浓度已处于稳态时池内浓度已处于稳态,c0突然增加到突然增加到c02)0()0()0(,)0(102cVrccQbVrVdQcbcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2设设V=1.6104 m3 和和 3104 m3,用数值方法解微分方程组用数值方法解微分方程组:有害物质浓度将有有害物质浓度将有约约1300小时超过小
17、时超过2c*,最高达到最高达到5c*单池模型的动态过程单池模型的动态过程01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=1.6104m3c(10-3g/m3)t(h)01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c(10-3g/m3)t(h)有害物质浓度将有有害物质浓度将有约约900小时超过小时超过2c*,最高达到最高达到3c*13002c*要达到规定的标准需要太大的池子要达到规定的标准需要太大的池子!长宽各长宽各100 m,深深3m的的池子池子两个串接的池子两个串接的池子双池模型双池模型V1,c1,
18、b1Q,c0V2,c2,b2Q,c1,b1池池池池1111011)(cbrccVQdtdc1222222)(bVQbVQdcrdtdb2212122)(cbrccVQdtdc11121)(bVQdcrdtdb与单池模型相同与单池模型相同(只是加上下标只是加上下标1)增加从池增加从池的流入量的流入量池池方程方程的平衡点的平衡点双池模型的稳态状况双池模型的稳态状况11110121111)(,:crVccQbrVdVQcPdcrQVcc02101当当 时时P1稳定稳定c0=c01,V18103 m3池池方程方程的平衡点的平衡点)(4)(21,)(:21222111221112222122122VQd
19、crVQdbrcrVQdbrcrrccrVccQbP*11*2*1*12*2)()(cbrdcrccccQVcc要求稳态下要求稳态下双池模型的稳态状况双池模型的稳态状况*11*2*1*12)()(cbrdcrccccQV在在c0=c01,V18103 m3下取值计算下取值计算c1,b1,V2V1(103m3)c1(10-3g/m3)b1(10-3g/m3)V2(103m3)81.000.0216.03100.802.509.63120.674.145.39140.575.312.37160.506.180.10,)(,1111012111crVccQbrVdVQc应选择较大的应选择较大的V1和
20、较小的和较小的V2相配合的方案相配合的方案双池模型的动态过程双池模型的动态过程仍考察仍考察c0由由c01突然增加到突然增加到c02的最坏情况的最坏情况01000200030004000500000.511.52x 10-3c*V1=1.4104m3,V2=7103 m3c2(10-3g/m3)01000200030004000500000.511.52x 10-3c*c2(10-3g/m3)V1=1.4104m3,V2=2.5104 m3有害物质浓度有害物质浓度约约1200小时小时超过超过c*,很短时间超过很短时间超过2c*要使有害物质浓度要使有害物质浓度完全完全不超过不超过c*,需要需要V2
21、太大太大双池模型与单池模型的比较双池模型与单池模型的比较有害物质浓度有害物质浓度约约1200小时小时超过超过c*,很短时间超过很短时间超过2c*有害物质浓度有害物质浓度约约900小时小时超过超过2c*,最高达到最高达到3c*双池总容积比单池减少近双池总容积比单池减少近1/3,处理效果好得多处理效果好得多虽然有超标虽然有超标,但这是最坏情况但这是最坏情况,可按处罚等方法解决可按处罚等方法解决01000200030004000500000.511.52x 10-3c*V1=1.4104m3,V2=7103 m3c2(10-3g/m3)双池双池01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c(10-3g/m3)t(h)单池单池V1+V2=2.1104m3
