1、一阶隐式微分方程及其参数表示0),(yyxF),(yxfy 变量分离、线性、恰当方程等能解出y转化),(yxfy),(yyfx0),(yxF0),(yyF0),(yyxF不能解出 或解出形式复杂y转化引进参数变量变换熟练掌握2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter representation一、能解出能解出 y (或或 x)的方程的方程 (2.1 4.1)(,)dyyf xdx这里假设函数 有连续的偏导数。),(dxdyxf解法解法：引进参数 ，则(2.4.1)变为 Pdxdy(,)(2.4.2)yf x p两边关于 x 求导，并把 代入，得dxd
2、yp)3.4.2(dxdppfxfp pfxfpdxdp关于 x 和 p 显式方程2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation(i)若已得出(2.4.3)的通解形式为,代入(2.4.2)得),(cxp),(,(cxxfy就是(2.4.1)的通解。(ii)若得出(2.4.3)通解形式为 ，则原方程(2.4.1),(cpx有参数形式的通解),(),(pcpfycpx其中 p 是参数，c为任意常数。(iii)若求得(2.4.3)通解形式 ，则原方程(2.4.1)0),(cpx),(0),(pxfycpx其中p是参数,c为任意常数。
3、有参数形式通解),(pxfy 2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 2 (2.4 4),.)dyxf ydx解法解法pdxdy)5.4.2(),(pyfx 两边对 y 求导 dydppfyfp1(2.4.6)pfyfpdydp1若求得为0),(cpy则(2.4.4)的通解为0),(),(cpypyfx),(,(cyyfx若求得为),(cyp则(2.4.4)的通解为2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation02)(3ydxdyxdxdy解法解法1
4、1：解出 y pdxdy令得xppy23两边对 x 求导pdxdpxdxdppp2232例例1 1求解方程0232pdxxdpdpp当0p时，上式乘以 p，得02323dxpxpdpdpp积分，得cxpp24432.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2443ppcx将它代入xppy23ppcpy)43(243因此，方程参数形式通解)0(21243322pppcyppcx当 p=0 时,由xppy23可知，y=0也是方程的解。解出 x，得2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter
5、 Representation解法解法2 2：解出 x，并把 ，得pdxdy)0(23pppyx两边对 y 求导2322)()31(1pdydppydydpppp023dppydppdycpyp42ppcy2424344322ppcppppcx所以，方程的通解为:022434322pppcyppcx此外，还有解 y=0 2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2)(22xdxdyxdxdyy解解令pdxdy得222xxppy两边对 x 求导，得 xpdxdpxdxdppp 2例例2 2求解方程0)2)(1(xpdxdp0
6、1dxdpcxp将它代入222xxppy得方程的通解222ccxxy2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation方程的通解222ccxxy再由02 xp得2xp 将它代入222xxppy，又得方程的一个解 42xy 此解与通解222ccxxy中的每一条积分曲线均 相切(如图)(P54)这样的解我们称之为奇解,下一章将给出奇解的确切含义。注意注意:2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representationxyo42xy 222ccxxy2.4 Implicit First
7、-Order ODE and Parameter Representation二二 、不显含不显含 y(或或 x 的方程的方程)3 (,)0 (2.4.7)F x y)(tx解法：解法：引入变换)(tdxdyy从(2.4.7)得到dxtdy)(dttt)()(dtttdy)()(cdttty)()(则，方程的参数形式通解为关键cdtttytx)()()()(ty(or 引入变换从(2.4.7)得到 )(tx2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 3 (,)0 (2.4.7)F x y pdxdyypdxdy 令)(px
8、dppp)(cdpppy)(cdpppypx)()(通解为特殊情形2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 4 (2.4.8,)0)F y y)(ty解法：解法：引入变换)(tdxdyy从(2.4.7)得到dxtdy)(dtttdytdx)()(1)(1则，方程的参数形式通解为cdtttx)()()()()(tycdtttx)(ty(or 引入变换从(2.4.7)得到 )(ty若00),(yF有实根ky 则ky 也是方程的解。关键2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Rep
9、resentation 4 (,(.)02 4.8F y y pdxdyydypdx1令)(pydppp)(1cdpppx)(1通解为特殊情形)()(pycdpppx若00),(yF有实根ky 则ky 也是方程的解。2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representationdxdyyyxyx这里0333解解令txpy则 由方程，得313ttx从而3213ttp于是dtttt3323)1()21(9求解方程例例4 4dxttdy3213cttdtttty2333323)1(4123)1()21(9cttyttx2333)1(2)41(313
10、通解为2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation例例52221)()(yyy求解方程解解yty 2把yty2代入原微分方程令得222)1(tyyty由此得tty1且21 tyydydx)(ttdt1112dtt21ctx1方程的参数形式的通解为ttyctx11此外,2y也是方程的解。2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation练习练习)(yxyy求解方程pdxdyy注意观察方程的解的特点解解pppxpp)(0)(ppx0 p)(pxcp)(ccxy)()
11、()(pppypx通解奇解克莱洛方程Clairant Equation作业作业:P.59 第第 1,3,4题题2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation三 利用变量代换的微分方程积分法利用变量代换的微分方程积分法有时方程0),(yyxF就,yyx都不易解出,或者虽能解出,但积分计算比较复杂，这时，除了引用适当的参数外，还可以先进行适当的变量代换后再 求解，这种方法称为利用变量代换的微分方程积分法。但是，如何选择适当的变量来代换，没有一定的规律,需要在做大量的练习中积累经验.2.4 Implicit First-Order
12、ODE and Parameter Representation解解vxuysinsin令则xdxdvydyducos,cosdvduyxycoscos代入原方程，得0)(2udvduvdvdu即2)(dvdudvduvu克莱洛方程vccu222vu通解奇解例例6 60222xyyxxyyycossincoscossincos)(求解方程xccysinsin22sinsin2xy2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation解解vxuy22,则xdvdvydydu2,2令于是dvduyxy代入原方程，得dvdudvduudvduv2)1)(例例7 72)(yxyyyxy的通解.求方程pdvdupuvpupvp22ppvpu12克莱洛方程通解奇解2221cycxc222222(1)2(1)xppyp2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
