1、什么是时间序列？时间序列的研究内容和方法模型？时间序列分析的应用？序 言第 1 章 差分方程1.1 时间序列模型I.一般原理：时间序列通常可以分解为趋势性、季节性、循环或周期性、和无规律性这四项。前三项具有可预测性，第四项对前三项有干扰性。如果其干扰或波动大小可以被估计，那么，时间序列的预测是可以进行的。II.例例（图1.1）：50个时间序列观测数据的分解和预测（选自Walter Enders的书“Applied Econometric Time Series”）该例子的数学模型：趋势项方程周期性方程无规律性方程tTt1.01)6/sin(16tSttttII17.0其中，Tt 为 t 期的趋
2、势性成分；St 为 t 期的周期性成分；It 为 t 期的无规律性成分；t 为 t 期的纯随机扰动项。t 期总的时间序列：ttttISTyIII.差分方程所谓差分方程，是将变量表示为该变量滞后值、时间和其它变量的函数，它可以表示为),(1ttttxtyfy按照这个定义，前面例子的三个成分方程都是差分方程。但真正理解差分方程的这个定义依赖于两条：1、差分的定义或含义；2、方程的定义及含义。这两条将在1.2节的I和II中解释。IV.三个差分方程或时间序列的例子1.随机游走（或游动）11tttyy或11tty例例：股价模型。yt 为股价，t+1的期望值为0。即在知道第 t 期股价 yt 情况下，第
3、t+1期股价 yt+1 的期望值就等于yt，即1101tttyy更广泛的随机差分方程tttyyyE)|(1这表示市场的变化是均衡的。2.结构方程和诱导方程将差分方程拆分成独立的单方程模型是很有用的。例例：随机形式的萨缪尔森（1939）经典模型：0,)(10,11ittttcttttttcciycicy其中，yt,ct和 it分别表示 t 期的实际GDP,消费和投资。ct,it 分别是消费和投资的随机干扰项，均值都为零。,为待估参数。第三个方程表示加速原理，即在消费增长必定带来新的投资支出前提下，投资支出等于消费变动的一定倍数。这是一个结构方程结构方程，因为它表明了两个当期内生变量it和ct之间
4、满足某个约束条件或系统结构。（1.1）（1.2）（1.3）诱导方程诱导方程是将当期变量值表示成该变量滞后值、其它内生变量的滞后值、外生变量的当期值和过去值、以及扰动项的函数。式（1.2）或消费是一个诱导方程，但式（1.3）或投资还不是诱导方程。为了得到投资的诱导方程，将式（1.2）代入（1.3）得到itctttittctttcycyi1111)(诱导方程并不唯一。例如投资的诱导方程进一步可以写为itctctttitctcttttyyyyi)()()(121121将式（1.2）和（1.4）代入（1.1）得到GDP的诱导方程121)1()1(ctitcttttyyy（1.4）（1.5）3.误差纠正
5、：远期和即期价格在即期市场可以买卖一定的商品和金融产品进行即期交割，或在规定的未来某一日期完成交割。例例：外汇（或期货）设某外汇的即期（或卖出）价格为 st 美元，未来一期的远期交割（或买入）价格为 ft 美元。假设一投机者以每单位 ft 美元的价格购买该远期外汇，即在 t 期，该投机者获得外汇，并按每单位 ft 美元进行支付。于是，每交易单位在t+1期的盈利（或亏损）为 st+1ft。无偏远期利率假设认为投机行为的期望收益为零，即成立11tttfs当该假设不成立，即 st+1与 ft 不一致时，后期就会进行某种调整以恢复均衡。考虑调整过程的误差纠正误差纠正模型：0,)(0,)(1,112,1
6、12tftttttsttttfsfffsss即变量在任何一期的变动都和变量前一期值与长期均衡的离差有关。当即期汇率st+1与远期汇率ft相等时，则即期汇率和远期汇率就倾向于保持不变。当即期汇率st+1大于远期汇率ft时，则即期汇率将会下降，远期汇率将会上升；当即期汇率st+1小于远期汇率ft时，则远期汇率将会下降，即期汇率将会上升。1.2 差分方程及解法I.差分的定义函数 y=f(t)在变量 t 的特定值 t*处变化 h时的一阶差分定义为*)()(*ththtyytfhtfy将单位标准化，以 h代表时期 t 处的一个单位变化，即h=1，并考虑自变量均匀分布的序列。不失一般性，去掉 t*上的星号
7、，则得到一阶差分122111)1()2()()1()1()(tttttttttyytftfyyytftfyyytftfy同样，可从一阶差分的变化中得到二阶差分21211122)()()()(tttttttttttyyyyyyyyyyy类似地，可以定义 n 阶差分 。记号：为了方便，通常将整个序列 表示成 。,2112tttttyyyyyty)(nII.差分方程的形式 考虑 n 阶常系数线性差分方程，其一般形式可以表示为tniititxyaay10其中，xt 项称为推动过程推动过程，其形式非常广泛，可以是时间、其它变量的当期值或滞后值，和（或）随机干扰项的任一函数。的一个重要特例是tx0iiti
8、tx其中，t 为常数（某些可取零），序列 t 不是 yt 的函数。于是，可以认为 只不过是一个未取定外生变量的序列。t（1.10）式（1.10）可以写为差分算子形式（）。由（1.10）得tniititttxyayaayy21101)1(令 ，则得到自回归方程0,1210tntntttyayayaay22110令 ，则得到随机游走模型1,0,110aantttyy1令 ，则得到11 atniitittxyayay210（1.11）式（1.11）与通过给定导数求原函数的形式有类似之处。进一步，式（1.11）又可以写成tniititttxyayayay322102)()1(易知，式（1.10）可以写
9、成关于ttntnxyyyy,0111的一个方程，其中 项的系数都为1。ttnxy 和因此，差分方程是时间序列的一种数学结构和表示，是研因此，差分方程是时间序列的一种数学结构和表示，是研究时间序列的一个重要方法。究时间序列的一个重要方法。III.差分方程的解差分方程的解是将未知项 yt 表示为序列 中的元素和t（也可以和序列 的一些给定值，即初始条件初始条件）的一个已知函数，使得代入到差分方程之中，满足方程式。例例1：或 易知，是该差分方程的解。这里，c为任意常数。因此，其解有很多或不唯一。例例2：考虑无规律性方程 的解。则可以验证，该一阶差分方程的解为txty2ty21ttyyctyt 2tt
10、tII17.00)7.0(iititI这个解实际上可以从诱导方程的迭代推导出来（略）。注意诱导方程和解的区别。1.3 差分方程及解法通过对y的诱导方程进行迭代，有可能得到整个y序列的解。I.初始条件已知的迭代考虑初始条件 y0已知的一阶差分方程a.向前迭代tttyaay110（1.17）10101yaay211021100210101021102)(ayaaaayaaaayaay10101011032112103121010032110211001032103)()()(titiitititayaaayaayaaaaaaayaaaaaayaay（1.18）b.向后迭代1010101101122
11、13312101001123102110011221100121010110)()()()()()()()(titiititittttttttttttttttttayaaayaayaaaaaaayaaaaaaayaaaayaaaayaay也得到与式（1.18）相同的结果。II.初始条件未知的迭代初始条件 y0未知时，式（1.18）也未知，即不是一阶差分方程（1.17）的解。对式（1.18）继续向后迭代，得到1010111000111110101010110110101010110)(mtimtiitimmtititiititititiititititiitititayaaaayaaaayaaa
12、aaayaaay（1.20）若 ，则当 时，得到一阶差分方程（1.17）的一个解1|1am0110)1(iititaaay（1.21）而且，容易验证，对于任意常数 A，01101)1(iitittaaaAay（1.22）也是一阶差分方程（1.17）的解。注注：解（1.21）或（1.22）的收敛性意味着序列t的过去 值对yt的当期值的影响越来越小。IV.非收敛序列（或收敛性）当 ，式（1.20）收敛到解（1.21）。当 ，式（1.20）不收敛或发散，但只要给出初始条件 y0，则可使用解（1.18）。当 ，一阶差分方程（1.17）可写为1|1atttyay101|1a1|1a使用迭代法，可得到01
13、0ytaytiit当初始条件 y0 给定时，（1.26）是（1.17*）的一个解。若没有初始条件，式（1.26）可能是不收敛或发散的，又未知，因此不是一个解。（1.17*）（1.26）0y收敛性图示右图为一个计算机随机模拟的解（1.18）的表现性质。其中，细线为解的序列，实线为解的确定性部分的序列。1.4 备选解法对于一般的差分方程（1.10）I.齐次方程差分方程（1.10）中常数项a0和推动过程项xt都不出现时，就得到了齐次（差分）方程齐次方程（1.30）解的一个性质是：若 为（1.30）的解，则对于任意常数 A，也是（1.30）的解。当阶数n较高时，迭代法就显得非常复杂和困难，此时可使用其
14、它的备选解法。tniititxyaay10（1.10）niitityay1（1.30）htyhtAyII.一阶差分方程的备选解法考虑一般的一阶差分方程则得到一阶齐次方程tttxyaay110（1.27）11ttyay显然，恒零序列 是齐次方程（1.27）的一个解。另外，当初始条件 y0已知且非零时，也是它的一个解。两者都包含在（1.27）的齐次通解01ttyy01yaytht01yAaAyythtt之中，A为任意常数（此时，上式右端y0可以省略）。（1.10*）若 为（1.10*）的一个特解，则（1.10*）的通解为pty01yAayAyyytpthtptt参数 A对应于非零的初始条件y0，即
15、 。00/1yyApIII.一般差分方程的解法对于一般差分方程（1.10），其求解方法通常为第1步：建立齐次方程（1.30），求出它的n个齐次解pty;,21nhththtyyy第2步：求出（1.10）的一个特解 ；第3步：通解为所有齐次解的线性组合与特解之和，即第4步：将初始条件代入通解中，确定线性组合的系数nihtipttiyAyy1nAAA,21。1.6 解齐次差分方程I.解一阶齐次差分方程在第4节“备选解法”里已经介绍了一阶齐次差分方程解的形式为11ttyay（1.27）ttAay1其中，A为任意常数。一般的 n 阶（线性）差分方程为tniititxyaay10（1.10）II.解二阶
16、齐次差分方程thtAy02211tttyayay考虑一般的二阶齐次方程 待定，A为任意常数。把它代入到（1.45），得到（1.45）的解。猜想其齐次解也如一阶一样有相同的形式02211tttAaAaA消去 A和 t-2之后，得到关于 的一元二次方程（1.46）0212aa(1.47)又称它为特征方程，特征方程，其解称为特征根特征根。运用一元二次的求根公式，得个两个特征根为2)(24,1221121daaaa(1.48)其中，2214aad为判别式。ttAA)()(2211和于是，都是（1.45）的解，其中A1和 A2为任意常数，且它们之和tthtAAy)()(2211也是（1.45）的解，即为
17、二阶差分方程的齐次解。但是，解的性质则取决于这两个特征根 1,2和判别式 d。(1.48*)情形情形1：判别式04221aad此时，1和2为两个不同的实数特征根。当1或2的绝对值大于1时，则二阶差分方程的齐次解(1.48*)就趋于发散。例例1：2135.02.0tttyyy则齐次解为5.0,7.02)44.12.0(235.042.02.024,2221121aaatthtAAy)5.0()7.0(21其解的轨迹如右图所示，随着时间t增大，它趋于零。2135.07.0tttyyy则齐次解为337.0,037.12)89.17.0(235.047.07.024,2221121aaatthtAAy
18、)337.0()037.1(21其解的轨迹如右图所示，随着时间t增大，它发散。例2：情形情形2：判别式04221aad此时，1和2为两个重根，即其中，A1和A2为任意常数。显然，当|a1|2时，解就发散；当|a1|2时，解就收敛。2/121a除了 是一个解之外，可以验证 是另一个解。于是，得到了齐次解taA)2(11tatA)2(12tthtatAaAy)2()2(1211情形情形3：判别式04221aad此时 ，1和2为两个共轭的虚数特征根，即这里，。2)i(,2)i(1211dada04/212aa1i则)sin(i)cos(,)sin(i)cos(21rr注意齐次解的表达式为tthtAA
19、y)()(2211(1.48*)令 ，选择 ，使得满足2/12)(ar)(2/)cos(2/121aa由de Moivre定理知)sin(i)cos()(,)sin(i)cos()(21ttrttrtttt因 是实数，是复数，所以 必为复数，假设hty21,21,AA)sin(i)cos(,)sin(i)cos(22122211BBBABBBA其中，均为任意实数。于是，可以计算出)sin(i)cos()()sin(i)cos()(2212222111BtBtrBABtBtrBAtttt21,BB从齐次解的表达式(1.48*)，可得)cos(2)()(212211BtrBAAytttht由于 是
20、任意常数，所以可以将齐次解写成21,BB)cos(21trytht其中，均为任意实数。21,（1.49）三角函数表达式说明了齐次解（1.49）在时间路径上像波浪一样，其波动频率取决于 的大小。而解的稳定性则由 的值是否小于 1 或 是否大于 1 所决定。2/12)(ar2a例例：1)(2/12ar219.06.1tttyyy其判别式004.19.046.142221aad949.09.0)(2/12/12ar567.0,843.09.02/6.1)(2/)cos(2/12/121aa所以，其齐次解为)567.0cos()949.0(21tytht其中，均为任意实数。于是，对于二阶差分方程 可得
21、齐次解21,（1.49）当 ，即 ，则波动的增幅不变；当 ，即 ，则波动呈递减趋势；当 ，即 ，则波动呈发散趋势；由于 ，所以04/212aa12a012a12a219.06.0tttyyy)89.1cos()949.0(21tytht1)(2/12ar1)(2/12ar)567.0cos()949.0(21tytht取0,121)89.1cos()949.0(21tytht219.06.1tttyyy的齐次解219.06.0tttyyy的齐次解随着 的值增大，波动的频率加快。III.稳定性条件及其图示情形情形2的稳定性条件的稳定性条件为弧线 AOB，即2|,041221aaad情形情形1的的
22、稳定性条件稳定性条件在AOB的上面，即242211aaa它等价于121 aa且121aa情形情形3的稳定性条件的稳定性条件在AOB的下面，即 ，且1)(2/12ar12a0d，且04221aad即 等号成立等价于1是一个特征根或常数解 的情形。AyhtIV.高阶方程假设每一个齐次解具有形式 ，其中A为任意常数。代入（1.55），得到（1.56）考虑 n 阶齐次方程01niitityay（1.55）thtAy01niititAaA两边除以 ，得到特征方程ntA（1.57）02211nnnnaaa n 阶多项式有n个根，记这n个特征根分别为 。n,21 可以为实数或复数。复数根则成对出现，相互共轭
23、。稳定性条件要求除了为1的单特征根（对应常数解），其它特征根的绝对值都小于1或在单位园之内；否则解将发散。ia.所有特征根都是相异实根，此时，解的表达式为tnntthtAAAy2211其中，为任意常数。给定n个初始条件，则可以确定它们的具体取值。nAAA,21（1.57*）齐次解的表达式b.所有特征根都是实根，但有 个重根。不妨设m21其中，为任意常数。特别地，或 。假设互不相同的特征根有s个，则齐次方程的通解就等于这 s 个不同特征根所产生的解之和，其中含有n个参数。给定n个初始条件，就可以确定这 n个参数的具体取值。mAAA,21)(nm 于是，这m个重根所产生的解可以写为tmmmtttA
24、tAA112111mnm c.一些特征根为复根，此时它们共轭出现，记一对共轭根为i其中，为任意常数。转换为极坐标，则可以写成21AA和于是，齐次差分方程的通解就等于所有不同实或复特征根所产生的解之和；其中含有n个参数。给定n个初始条件，就可以确定这 n个参数的具体取值。，则由这对共轭根所产生的解为ttAA)i()i(21)cos(21trt其中，为任意常数。21和a.所有特征根都位于单位圆内的必要条件为11niia 稳定性判别条件b.所有特征根都位于单位圆内的充分条件为1|1niiac.若 ，则至少有一个特征根等于1。11niia包含一个或多个等于1的特征根序列称为单位根序列单位根序列。此时，
25、n 阶差分方程（1.10）的解可能发散或不稳定。d.对于三阶方程，稳定性条件可以写为03303301,01,0132132123231321321aaaaaaaaaaaaaaaa或后两个式子中的任何一个可由其它四个式子导出。由特征方程)1()1(111nniia)()(111nnnnaa，可得1.7*求确定性过程的特解I.情形1：xt=0此时，差分方程的形式为令解的形式为常数，即ntntttyayayaay22110（1.58）cyt代入到（1.58）之中，得到寻找特解需要技巧，跟推动过程xt的具体形式有关。本节介绍推动过程xt为确定性项的求特解方法。cacacaacn210所以)1(210n
26、aaaac（1.59）只要0121naaa，则得到（1.58）一个特解)1(210nptaaaay如果0121naaa，则yt是一个单位根序列，ctypt其齐次解已包含常数解，此时，除非a0=0；否则常数解就无效，而应该考虑线性特解 ，于是，线性解将出现在单位根过程中。把 代入到（1.58）之中，得到ctypt)()2()1(210ntcatcatcaactn注意到nncacacactact2102121naaa，所以)2(210nnaaaac若0221nnaaa，则继续尝试使用nptctctcty,32作为解。对于n阶方程，这些解中总会有一个会是特解。I.情形2：此时，差分方程的形式为考虑一
27、阶方程rtntntttbdyayayaay22110（1.58*）令解的形式为其中，为指数增长率。都为常数。和其中rrdbbdxrtt,rtttbdyaay110rtptdccy10都是待定常数。和10cc（1.60）把上式代入（1.60），得rttrrtbddccaadcc)1(101010为使得两边对应相等，取)(,)1(11100adbdcaacrr因此，特解就为rtrrptdadbdaay1101如果 当,111rdaa或11a，尝试使用rttrrtbddctcadcct)1()1(101为使得两边对应相等，取)1(,10rrdbdcac因此，特解就为则可以运用情形1中的技巧。把它代入
28、（1.60），得rtptdccty1作为解。为待定常数。和其中，1ccrtrrptddbdtay10当1|rd，该特解将收敛于 。)1(10aa 当rda 1，尝试使用rttrrtbddtccaatdcc)1()1(101010为使得两边对应相等，取bcaac1100,)1(因此，特解就为把它代入（1.60），得rtpttdccy10作为解。为待定常数。和其中，10ccrtptbdtay0 当,11rda式（1.60）化为btcact)1(0为使得两边对应相等，取bac0因此，特解就为把它代入（1.60），得cttdctcyrtpt10为待定常数。作为解。其中，ctbaypt)(0此时 。bx
29、t 对于高阶方程，同样可以使用这类方法。此时(a1=1)，高阶方程就等价于推动过程 xt=0，常数项为 a0+b，其求解即化为情形1。byaytt10则尝试使用I.情形3：此时，差分方程的形式为其特解形式一般为dntntttbtyayayaay22110（1.62）把它解的形式 代入上式，得到为正常数。为常数其中dbbtxdt,btyayaayttt22110tccypt10ddpttctctccy2210其中，为待定常数。dccc,10考虑 d=1 时的二阶方程bttccatccaatcc)2()1(102101010为使得两边对应相等，可解得)1()2()1(2111200211aacaa
30、acaabc（1.62*）代入式（1.62*)，得到210tctcyptbttctcatctcaatctc)2()1()1()1(210221010210为使得两边对应相等，可解得)1(2)31()1(2220021abaacabc若121aa，则令解的形式为即04241211121100bttcatcacacaca1.8*求随机性过程的待定系数法 简单情形 I：考虑只带一个随机项的一阶差分方程（1.64）这一节介绍推动过程为随机性项的求特解的待定系数法。因这种待定系数法可能无解，所以称它为挑战解挑战解。tttyaay110令挑战解为010iitittbby其中，都是待定系数。和所有的ibb1
31、0,（1.17）将式（1.64）代入到式（1.17），得到tttttttbbaatbb)1(211010102211010合并同类项，得到0)()()()1()1()(321321121011011110100ttttaaatabbabaab（1.65）式（1.65）对 t 的所有值和序列 的所有可能值都成立。因此，必须满足t0)1(00001111101001120110abbabaabaa求解过程可以分为独立的两组来求解，即后两个方程可以解出b0和b1，余下前面的方程组可以解出0,1,2,，即由前面的方程组00011120110aa0)1(011110100abbabaab可解得,1121
32、2110iiaaa第二组方程的求解可分两种情况)1(0110011aabba，则。当|a1|1时，此时特解为01101iititaaay这个结果与用迭代法求得的式（1.21）的结果完全相同。任意。，而，则00111baba此时特解为000iitttaby这个解的形式是不规则的，即求和有可能发散。施加初始条件tiittayy100000iiby则得到解因齐次解为 ，所以，当|a1|1时，就得到通解tAa1tiititAaaaay101101给定一个初始条件，就可以确定常数A的值。这个结果与用迭代法求得的式（1.26）的结果完全相同。简单情形 II：考虑带二个随机项的一阶差分方程11110tttt
33、yaay令挑战解仍为010iitittbby（1.67）代入到式（1.67），得到11211010102211010)1(ttttttttbbaatbb因此11112101101iiaaa)()(11111112111aaaaaii（1.64）另外，比较常数项和截距项的系数，可得111110100babbabaab其求解仍要可分两种情况：)1(0110011aabba，则，此时当|a1|1时，特解为1111110)(1iitittaaaay加上齐次解之后可得通解（略）。任意。，而，则00111baba此时特解为1100)1(iittttaby这个解的形式是不规则的，即求和有可能发散。施加初始条
34、件（与前一节同理）后可得到11100)1(tiittttayy 高阶方程考虑带一个随机项的二阶差分方程ttttyayaay22110令挑战解仍为02210iitittbtbby（1.68）代入到式（1.68），得到tttttttttbtbbatbtbbaatbtbb)2()2()1()1(3120221022110221010221102210对两边对应项分别施加相等，得到2221221221112102210100)4()2()42()(bababbbabbabbbbabbbaab(B)122130211201101aaaaa21313221211021aaaaaa2211jjjaa当 时，
35、系数 的解满足二阶差分方程2j(C)j(C*)满足初始条件110,1a解得2,)(1112jdjjj其中22112114,2)(,2)(aaddada方程（C*）的收敛性条件与式（1.68）的齐次方程的收敛性条件完全相同，都取决于系数a1和a2。再来考察式（B）中参数b0,b1,b2的求解，分两种情况：，则由式（B）可知又可以分为两种情况：i)。则解为0,0,)1(212100bbaaab121aa ，则式（B）等价于121aa0)1()31()1(2202212baababa任意。02201,0,)1(bbaabii)a2=-1,a1=2。则解为注注1：由前面讨论（或参见图1.5）可知，收敛
36、性条件为12a任意。都和1002,2bbab 1|,1|,1|21212aaaaa注注2：挑战解也是由确定性部分和随机性部分所组成，它们实际上是独立进行的，可以分别来确定。例：ttttyyy212.09.03使用求确定性部分和随机性部分分别进行的方法。容易求出确定性部分的通解为ttAAy4.05.01021其随机性部分的挑战解假设为0iitity则由前面讨论可知，其系数 满足二阶差分方程1102211,1,aaajjjj解得2,)4.0(4)5.0(5)4.05.0(1011jjjjjj于是，得到整个解为itijjjjiAAy021)4.0(4)5.0(5)4.0()5.0(10若给定初始条y
37、1和y2，则还可以确定A1和A2的取值。1.9 滞后算子定义：滞后算子滞后算子L为理论上运用滞后算子，表达上比待定系数灵活方便。ittiyyL则可以得到如下一些性质和表达式：（1.77）1.常数的滞后算子为常数：2.分配律也适用于滞后算子，即cLc jtittjtitjiyyyLyLyLL)(3.结合律也适用于滞后算子，即jitjtitjitjiyyLyLLyLL)(4.L取负次方时，实际上为超前算子超前算子，即ittiyyL)1()1(3322aLyyLaLaaLtt5.当 时，则1|a6.当 时，则1|a01)()()1(itityaLaLaLy7.利用滞后算子，可将p阶差分方程tptpt
38、tyayaay110表示为ttppayLaLaLa0221)1(记做ttayLA0)(其中ppLaLaLaLA2211)(01221ppLaLaLa 称为反比特征方程反比特征方程。它的特征根是特征方程的特征根的倒数。所以，许多文献称稳定性条件为特征根大于1，指的就是这个方程的特征根。8.差分方程qtqttptpttyayaay11110可以表示为ttLBayLA)()(0其中qqLLLB2211)(用滞后算子解差分方程例例1：考虑一阶差分方程tttyaay110其中 。1|1a利用滞后算子L，式（1.17）可表示为tttLyaay10（1.17）（1.78）于是，解得)1()(10Laaytt
39、（1.79）)1()1()1(100310210100331221110aaaaaaaaaaLaLaLaLaa因为 ，所以00aLa 3312211133122111)1()1(ttttttaaaLaLaLaLa因为 ，所以ittiL联合上面两式和式（1.79），得到式(1.17）的特解0110)1(iititaaay（1.21）例例2：考虑一阶差分方程11110ttttyaay其中 。1|1a利用滞后算子L，式（1.67）可表示为ttLayLa)1()1(101（1.67）于是)1()1()1()1()1(111110110LaLaaaLaLaytttt（1.80）因此解得111111043
40、132121113312211110)()1()()()1(iitittttttttttaaaaaaaaaaaay例例3：考虑一阶差分方程tttyaay110其中 。此时，实际上发散。例1的方法失效。1|1a利用性质6，则01111011101011011111011)()()(1)()1()(iitiiitiiitiiitttaaaaaaaaLaaLaLaLaayty例如二阶方程 高阶方程中的滞后算子n 阶差分方程tntnttyayaay110可以表示为ttnnayLaLaLa0221)1(或)1()(2210nnttLaLaLaayttttyayaay22110可表示为)1)(1()()1()(2102210LbLbaLaLaayttt为其中，21/1,/1bb的两个根。01221LaLa 0212100021210002121020110111(111kkjiktjiijjitjiijjitjiiititbbaaabbaaabbbbaLbbbay）（）（时，则的绝对值均小于当1,21bb注注1：差分方程算子表示的一般模型ttLBayLA)()(0注注2：差分方程的解也可以表示为前向形式（如例3），但前向的未来值还未发生，不能被直接观察到，所以它只具有理论意义，实际意义不大。
