1、第第2章章 二元一次方程组二元一次方程组 一只乌鸦口渴了，到处找水喝。乌鸦看见一只乌鸦口渴了，到处找水喝。乌鸦看见一个瓶子，瓶子里有水。可是瓶子里水不一个瓶子，瓶子里有水。可是瓶子里水不多，瓶口又小，乌鸦喝不着水，怎么办呢多，瓶口又小，乌鸦喝不着水，怎么办呢?它看见旁边有许多小石子，想出办法来了它看见旁边有许多小石子，想出办法来了，就把小石子一个一个地放进瓶子里。瓶就把小石子一个一个地放进瓶子里。瓶子里的水渐渐升高，乌鸦就喝着水了。子里的水渐渐升高，乌鸦就喝着水了。这个故事告诉我们这个故事告诉我们,遇到困难的时候，要善遇到困难的时候，要善于思考，学会于思考，学会“转化转化”，我们这节课就要学我
2、们这节课就要学习一个很重要的数学思想方法习一个很重要的数学思想方法转化方法。转化方法。用含用含x的代数式表示的代数式表示 y：（1）x-2y+3=0；（2）2x+5y=-21；（3）-0.5x+y=7.“曹冲称象曹冲称象”的故事告诉的故事告诉我们一个什我们一个什么数学道理？么数学道理？你得到什么你得到什么启发？启发？一个苹果和一个梨的质量合计一个苹果和一个梨的质量合计200g(200g(如图如图1),1),这个苹果的质量加上一个这个苹果的质量加上一个10g10g的砝码恰好与这个的砝码恰好与这个梨的质量相等梨的质量相等(如图如图2).2).问苹果和梨的质量各为多问苹果和梨的质量各为多少少g?g?
3、x+y=200.y=x+10,你知道怎样求出它的解吗?我们再回顾上一节的一道题我们再回顾上一节的一道题:解 设苹果和梨的质量分别为设苹果和梨的质量分别为x g x g 和和y g.y g.根据题意可列方程根据题意可列方程:图图2图图1x +y =x +y =200200y=y=x+10 x+10现在我们现在我们 “以梨换苹果以梨换苹果”再称一次梨和苹果再称一次梨和苹果:用用x+10代替代替yx+(x+10)=x+(x+10)=200200(二元二元 )(一元一元 )消元消元 以梨换苹果以梨换苹果+=+10=200+10+=200 x xy yx xx xx xy y即即:苹果和梨的质量分苹果和
4、梨的质量分别为别为95g95g和和105g.105g.x+x+(x+10)(x+10)=200=2002x+10=202x+10=200 0 x=95 x=95=95+10=95+10=105=105 怎样代入怎样代入？这这1 1个苹果的质量个苹果的质量x x加上加上10g10g的砝码恰好与的砝码恰好与这这1 1个梨的质量个梨的质量y y相等，相等，即即x+10 x+10与与y y的大小相等的大小相等(等量代换等量代换).解解:为什么可以代入为什么可以代入？y=x+10y=x+10代入消元法代入消元法，简称，简称代入法代入法.把 y=2代入 得,x=2-1=1.例例1 1 解方程组解方程组23
5、1,1.yxxy 解:把 代入 ，得2y-3(y-1)=1，2y-3y+3=1，y=2.2y-3x=1 x=y-1注意注意：为了检查上面的计算是为了检查上面的计算是否正确，可把所求得的否正确，可把所求得的解分别代入方程检解分别代入方程检验检验过程可以口算，验检验过程可以口算，不必写出不必写出方程组的解为x=1,y=2.x=2yx=2y2x+y=102x+y=10提示提示:用含哪个未知数的代数式表示另用含哪个未知数的代数式表示另一个未知数一个未知数?有一个未知数的系数是有一个未知数的系数是1 1.系数不为系数不为1 1的未知数的代数式表的未知数的代数式表示另一个系数为示另一个系数为1 1的未知数
6、的未知数.你认为具有什么特征的方程用代入法你认为具有什么特征的方程用代入法比较方便比较方便?解下列方程组解下列方程组x=4x=4y=2y=2解解:2x=8+7y,即即 8 7.2yx 把代入，得 2112810 0,2yy 4.5y 把54y代入，得 例2 解方程组6,54.5xy 方程组的解是 2x 7y=8，3x 8y 10=0 23(8+7y)8y10=0,由，得 6.5x=87()452对了对了!可由方程可由方程用一个未知数的代用一个未知数的代数式表示另一未知数式表示另一未知数，再代入另一方数，再代入另一方程！程！你能说说用代入法解二元一次方程组的一般步骤吗你能说说用代入法解二元一次方
7、程组的一般步骤吗?用这个代数式用这个代数式代替代替另一个方程中相应的未知数，另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；得一个未知数的值；把这个未知数的值代入代数式把这个未知数的值代入代数式(回代回代)，求得另一，求得另一个未知数的值；个未知数的值；将方程组中一个方程将方程组中一个方程变形变形，使得一个未知数能，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；用含有另一个未知数的代数式表示；写出写出方程组的方程组的解解.即:变形代替回代写出解1.1.用代入法解方程组:237,453.xyxy(4)(3)31,21 0.x yxy 5,(1)1.xy
8、xy2340,(2)5.xyxy2.已知关于已知关于x x、y y的二元一次方程组的二元一次方程组的一组解是的一组解是，求求a a、b b的值的值.112axbybxay21xy 3.已知已知 和和 是方程是方程axax+byby=15=15的两个解，求的两个解，求a,ba,b的值的值.x x=2=2y y=5=5x x=1=1y y=10=104、已知（已知（2x+3y-4）2+x+3y-7 =0,则则x=，y=.-31031.消元实质消元实质2.代入法的一般步骤代入法的一般步骤3.学会检验，学会检验，能灵活运用适当方法解二元能灵活运用适当方法解二元一次方程组一次方程组.二元一次方程组 消
9、元代入法 一元一次方程一元一次方程即:变形代替回代写解x+1=2(y-1)3(x+1)=5(y-1)+43x+2y=13x-2y=51.解下列二元一次方程组解下列二元一次方程组.你认为怎样代入更简便?请用你最简便的方法解出它的解.你的思路能解另一题吗？你的思路能解另一题吗？x+1=2(y-1)3(x+1)=5(y-1)+41.解下列二元一次方程组解下列二元一次方程组.可将可将(x+1)、(y-1)看作一个整体求解看作一个整体求解.解解:把代入把代入,32(y-1)=5(y-1)+4,6(y-1)=5(y-1)+4,(y-1)=4.y=5.把代入把代入,x+1=24 x=7.分析分析=8,原方程组的解为原方程组的解为x=7,y=5.得得 得得3x+2y=13x-2y=5解下列二元一次方程组解下列二元一次方程组.分析分析 可将可将2y看作一个数来求解看作一个数来求解.解解:由得由得把代入把代入,3x+(x 5)=13.4x=18,x=4.5.把把x=4.5代入代入,2y=4.5 5=0.5.y=-0.25.2y=x 5.原方程组的解为原方程组的解为x=4.5,y=-0.25.得得 得得 2.今有鸡兔同笼今有鸡兔同笼上有三十五头上有三十五头下有九十四足下有九十四足问鸡兔各几头问鸡兔各几头你能解决这个有趣的鸡兔同笼问题吗？你能解决这个有趣的鸡兔同笼问题吗？944235yxyx
