1、2022-12-31第四节第四节 隐函数隐函数及及由参数方程由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数 第二章第二章 三、相关变化率三、相关变化率二、二、由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数四、小结与思考题四、小结与思考题2022-12-32一、隐函数的导数一、隐函数的导数（Derivative of Implicit FunctionDerivative of Implicit Function）31xy若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数,由)(xfy 表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数03
2、275xxyy可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y2022-12-3303275xxyy)(xyy 在 x=0 处的导数.0ddxxy解解:方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x=0 时 y=0,故210ddxxy0确定的隐函数例例1 1 求由方程2022-12-34191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx169232
3、3xy43故切线方程为323y43)2(x即03843 yx例例2 2 求椭圆2022-12-35)0(sinxxyx的导数.解解:两边取对数,化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx例例3 3 求2022-12-36 1)对幂指函数vuy 可用对数求导法对数求导法求导:uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:说明说明:2022-12-37例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yyba
4、lnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb2)有些显函数用对数求导法求导很方便.2022-12-38)4)(3()2)(1(xxxxy(ln)uuu 21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x又如又如,2022-12-39二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数（Derivative of Function Determined by Parametric EquationDerivative of Funct
5、ion Determined by Parametric Equation）若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(,)(tt可导,且,0)()(22tt则()0t时,有ddyxxttyddddtxtydd1dd()()tt关系,()()tt()0t时,有ddxyyttxddddtytxdd1dd(此时看成 x 是 y 的函数)2022-12-310)(,)(tt二阶可导,22ddyx)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt()t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxytddxt)()(ddttxy)(tx且,0)(t则由它确定的函数)
6、(xfy 可求二阶导数.利用新的参数方程,可得若上述参数方程中2022-12-311点击图中任意点动画开始或暂停2022-12-312解：解：0 x22sina1;2a0y21cosaa2022-12-313而而ddyxttyx(1cos)(sin)ata ttsin,1costt所以，所以，k2sin1costtt1于是所求切线方程为于是所求切线方程为121aayx 即即(2).2yxa 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两
7、腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。皮肌炎图片皮肌炎图片皮肌炎的症状表现皮肌炎的症状表现2022-12-315解：解：ddyxttyx(sin)(cos)btatcos(sin)btatcot bta (0,2)t 22ddyxddddyxxddcotddbtttax21cscbtxtadd21csscinbtaat23sinbat (0,2).t 2022-12-316)10(1sin 222yytttx确定函数,)(xyy 求.ddxy解解:方程组两边对 t 求导,得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostyd
8、d0)1(2ddttxtyddtxdd例例6 6 设由方程2022-12-317三、相关变化率三、相关变化率（Related Rates of ChangeRelated Rates of Change）)(,)(tyytxx为两可导函数yx,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率2022-12-318解：解：22()()5()3rt h tH t216 1832022-12-31933()25()6 27h tH t22()()5()3rt h tH t216 18321
9、d()d()()2509ddh tH th ttt2022-12-32021d()d()()2509ddh tH th ttt由由(2)(2)可得可得d()dH tt21d()()925dh th tt d()dH tt212(1)925 16(cm/s)252022-12-321其速率为140m min,当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?500h解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h=500m 时,1tan22sec1tan,2sec2tdd14050012114.
10、0)minrad/(例例8 8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,2022-12-322内容小结内容小结1.1.隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2.2.对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3.3.参数方程求导法参数方程求导法4.4.相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式202
11、2-12-323课后练习课后练习习题习题2-4 12-4 1（2 2）（）（4 4）；）；3 3；5 5（2 2）（）（4 4）；）；6 6（2 2）；）；7 7；1010思考与练习思考与练习1y2y,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1.设答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx21 2ln3(2)3(2)xxxxx2022-12-324)(xyy 由方程eyxey确定,)0(y解解:方程两边对 x 求导,得0yxyyey再求导,得2yey yxey)(02 y当0 x时,1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(e
12、y 求.)0(y 2.2.设2022-12-325试求当容器内水Rhxhr 自顶部向容器内注水,325cms位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR两边对 t 求导ddVt22hR2)(xhd,dxt而,)(25222xhRh,2时当hx hxhRr故txdd3d25(cm s)dVt2d100(cm s)dxtR体积为 V,则R3.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,现以2022-12-326考研真题考研真题22222e2 cos()2 cos()2xyxxyyxyxy210 xy 2022-12-327(65)(1)ttt
