1、第一章第一章 常微分方程与偏常微分方程与偏微分方程概论微分方程概论主要内容：主要内容：常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等；解的概念、最基本的求解方法等；偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导出，初边值问题、方程的傅立叶变换等；出，初边值问题、方程的傅立叶变换等；略微详细介绍略微详细介绍热传导方程热传导方程。1.1 常微分方程简介常微分方程简介1.1.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念牛顿第二定律牛顿第二定律：ddrmFdtdt其中：其中：m是质量，是质量，r是位置向量，
2、是位置向量，t是时间，是时间，F是作用于质点的是作用于质点的力力牛顿引力定律：牛顿引力定律：2MmrFGrr 其中：其中：G是万有引力常数，是万有引力常数，M与与m是一对相互是一对相互吸引的质点，吸引的质点，r是从是从M到到m的向量，的向量，r|r|是与是与r同向的单位向量同向的单位向量2ddrMmrmGdtdtrr 这就是描述行星运动的微分方程这就是描述行星运动的微分方程微分微分方程中未知函数只出现一个自变量。方程中未知函数只出现一个自变量。求解方程，可引入极坐标变换，令求解方程，可引入极坐标变换，令 u=1r则得到下面的二阶常系数线性微分方程：则得到下面的二阶常系数线性微分方程：222d
3、umuG MdK001cosmuuG MrKu0,0是由初始条件确定的是由初始条件确定的2个常数。个常数。1.1.2 一些典型的常微分方程一些典型的常微分方程一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程具有如下形式：具有如下形式：()()d yfxgyd x1()()d yfxgyd x可转化为可转化为两边对两边对x积分（如果可能的话）积分（如果可能的话）1()()dydxfx dxg ydx得得 G(y)+C1=F(x)+C2即即 G(y)=F(x)+C二、齐次方程二、齐次方程具有如下形式具有如下形式d yyfd xx作变量替换，令作变量替换，令 u=yx y=ux()()duduf uuxuf
4、 udxdxx是可分离变量的方程是可分离变量的方程三、线性变系数方程三、线性变系数方程具有如下形式（一阶）具有如下形式（一阶）()()dyp xyq xdx相应的齐次方程相应的齐次方程()0dyp xydx显然是个可分离的方程显然是个可分离的方程()(y0)dyp x dxy 积分得通解积分得通解 yh(x)=Cexp-P(x)其中：其中：定义积分因子定义积分因子则则 m(x)yh(x)=C()Pp xxxd()expexp)()m xp x dxP x两边求导两边求导0()()()()()()()()()()()()()()()hhhhhhhdm xyxdxm xyxmxyxmm xyxpx
5、yxm xp xyxxyx对于对于q(x)0 时时 m(x)y(x)=C 不成立。不成立。但由上面的推导，可有但由上面的推导，可有()()()()()()()()dm xy xm xy xp xy xdxm xq x对上式积分得对上式积分得()()()()m xy xm xq x dxC即有即有1()()()()y xm xq x dxCm x伯努利方程伯努利方程111()()()()1()()1nnnnndyp xyq xydxdyyp xyq xdxdyp xyq xndx作变换，令作变换，令 u =y1-n()()dup xuq xdxn 阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0()m
6、nmmmdyafxd x其中，其中，a0,an均为常数。均为常数。先考虑齐次情形先考虑齐次情形00mnmmmdyadx令令 y=el lx 代入得代入得00nmmmal解这个方程得解这个方程得 l l=l l1 1,l ln 若若 l lil lj ,i j方程通解为方程通解为1mnxmmycel若某个若某个l lj是是 h 重根，则对应还有如下的重根，则对应还有如下的h个解个解10jhxkkkyedxl可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。的任意线性组合都是齐次方程的通解。下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，
7、令下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令00()()()()xnxnnmxnmmxnmnnd eadxyez xd za ez xf xdxd zdzabef xdxdxllll令令 dzdx=u10()()mnxmmmd ubef xG xdxl这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解特解 y =y0(x)则，原方程通解为则，原方程通解为01()mnxmmyyxcel1.2 偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解1.2.1 偏微分方程的概念偏微分方程的概念未知函数含有多个
8、自变量，方程中出现多元函未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。程称为偏微分方程（数学物理方程）。几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。和求解。但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性但是，偏微分方程
9、十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。偏微分方程研究的一般性理论。1.2.2 几个典型的数学物理方程几个典型的数学物理方程热传导方程（温度分布）热传导方程（温度分布）扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）2222222(,)uu t x y zuuuuatxyz其中其中 a0，a2=kQ，k是传热系数，是传热系数，Q是热容量。是热容量。拉普拉
10、斯方程拉普拉斯方程调和方程调和方程当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）2222220uuuuxyz 波动方程波动方程当声波在空气中传播时，如果当声波在空气中传播时，如果 u 表示压强的小扰表示压强的小扰动，动，a0 是声音（电磁波或其他波动）在空气中是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度的传播速度222222222uuuuatxyz1.2.3 初边值问题初边值问题对于最典型的求解问题是初始值问题对于最典型的求解问题是初始值问题柯西问题柯西问题即：求波动方程的
11、解即：求波动方程的解 u，使其满足初始条件，使其满足初始条件01(0,)(,)(0,)(,)ux y zux y zux y zux y ztu0(x,y,z)和和u1(x,y,z),表示在表示在t=0时波的形状和关时波的形状和关于于t 的变化率。的变化率。一维情形一维情形弦振动方程弦振动方程222220uuatx初始条件初始条件01(0,)(),(0,)()uuxuxxu xt作变换作变换 x x=x-at ,h h=x+at方程变为方程变为20uxh且通解为且通解为 u=f(x-at)+g(x+at)其中其中f与与g是任意两个具有连续二阶导数的是任意两个具有连续二阶导数的函数。函数。并由初
12、始条件，就得到下面弦振动的达朗并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（贝尔（dAlembert）公式）公式001()()1()22x atx atuxatuxatuuda高维情形，把高维情形，把(x，y，z)记记 x=(x1,x2,x3),x x=(x x1,x x2,x x3)利用傅立叶变换（利用傅立叶变换（Fourier）其中其中 x x x=x x1 x1+x x2 x2+x x3 x3123123()(,)i xff x xx edx dx dxxx 且当且当 f 满足一定条件时有满足一定条件时有Fourier逆变换逆变换12313331()(,)(2)fxfdddxxxxxx另外有
13、另外有123123()(,)i xiififxxxedx dx dxxxxx 222222222uuuuatxyz对于下面方程，利用对于下面方程，利用Fourier变换变换222221232d uaudtxxx 01(0,)(,)(0,)(,)ux y zux y zux y zux y zt0100(),()ttduuuudtxx变成解常微分方程的初值问题，解得变成解常微分方程的初值问题，解得12301231123(,)(,)cos()sin()+(,)u tuatatuaxxxxxxxxxxxx其中其中做做Fourier逆变换，得泊松（逆变换，得泊松（Poisson）公式）公式222123
14、xxxx01111101221111(,)()()4411 ()()44ttatatttu t xatu x atl dsatu x atl dstaaatu x l dsatu x l dsta tta t 其中其中ds1（dsat）是球面）是球面|l|=1（|l|=at）的）的面积元素。面积元素。1.3 热传导方程初值问题的求解热传导方程初值问题的求解2220(,),0 (,0)(),uuaf x txttxu xuxx 两边关于两边关于x 做做Fourier变换变换220(,)()tduauftdtull l解常微分方程得解常微分方程得22222222()0()0(,)(,)(,)(,)
15、tatattatatutefedu x tefedllllll l 若记若记且有且有从而从而2241(,)2xa tg x teat22(,)ateg x tl2222()41 21 ()2atxa teggx edatlxx2222()()4()1(,)(,)2()xatatfefedatxll x x同理同理代入得代入得其中其中通常称通常称K(x-x x,t-)为热传导方程基本解，且当为热传导方程基本解，且当f(x,t)0、(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。给出的初值问题解。0(,)(,)()+(,)(,)tu x tK xtddK x
16、tfdx xxxx x221,0(,)20 ,0 xta tetKx tatt1.4 二阶偏微分方程的分类与化简二阶偏微分方程的分类与化简1.4.1 二阶偏微分方程的分类二阶偏微分方程的分类三个典型的二阶偏微分方程的三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：标准形式：2222 uauftuauftuf （波动方程）（波动方程）（热传导方程）（热传导方程）（位势方程）（位势方程）其中其中 ：f是是 (x1,xm)或或(x1,xm,t)的函数，的函数，a a为常数，为常数，是是Laplace算子。算子。二阶偏微分方程的一般形式：二阶偏微分方程的一般形式：221miix2,11mmijii jiijiuu
17、abcufx xx 其中其中 aij=aji、b、c、f 都是都是 (x1,xm)的函数。的函数。用用A表示矩阵（表示矩阵（aij)i,j=1,2,.,m对于波动方程，取对于波动方程，取 m=n+1,t=xn+122001aAa对于热传导方程，取对于热传导方程，取 m=n+1,t=xn+12120,100naAba对于位势方程，取对于位势方程，取 m=n1001A如果如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵，一定存在一个正交矩阵 T ，使得，使得 TTAT是对是对角阵，且对角线上的元素就是角阵，且对角线上的元素就是A的特征值。的特征值
18、。位势方程：位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即的特征是都是正（或负）的，即A是正定的或负定的；是正定的或负定的；热传导方程：热传导方程：A的特征值有一个为的特征值有一个为0，其它的都，其它的都为正（或负）的，即为正（或负）的，即A是非负（或非正）的；是非负（或非正）的；波动方程：波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即其它的都是负（正）的，即A是不定的。是不定的。设设 x0(x01,.,x0m)是空间中一点，是空间中一点，A(x0)表示矩阵表示矩阵A在在x0点的值点的值定义定义：若：若A(x0)的的m个特征是全是正（或负），称方个特
19、征是全是正（或负），称方程在程在x0点是椭圆型的；若点是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为的特征是除了一个为0外全是正（或负）的，称方程在外全是正（或负）的，称方程在x0点是抛物型的；点是抛物型的；若若A(x0)的特征值除了一个为负（或正）外，其它的特征值除了一个为负（或正）外，其它 m-1个全是正（或负）的，称方程在个全是正（或负）的，称方程在x0点是双曲型的点是双曲型的。如果对于区域。如果对于区域 上每一个点，方程是椭圆型的，上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在区域则称方程在区域W W上是椭圆型的。类似有抛物型的上是椭圆型的。类似有抛物型的和双曲型的。和双曲型的。定理定理：如果方程
20、的二阶项系数：如果方程的二阶项系数aij 是常数，即是常数，即A是是常数矩阵，且它属于椭圆型常数矩阵，且它属于椭圆型 （抛物型、双曲型（抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。1.4.2 二阶偏微分方程的化简二阶偏微分方程的化简定义：定义：称称m维空间中的一张曲面维空间中的一张曲面S=(x1,xm)=0为二阶偏微分方程一般形式的为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面特征曲面，如果曲，如果曲面面S的每一个点，有的每一个点，有,10mijijijaxx定义：定义：对于固
21、定点对于固定点 x0=(x10,xm0)，如果过，如果过该点的方向该点的方向 l=(a a1 1,a am)满足特征方程满足特征方程则称则称 l 为该点的为该点的特征方向特征方向。0,1()0mijiji jxaaa由于由于 表示曲面表示曲面(x1,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。征方向的曲面。怎样求特征方向和特征曲面，总假设怎样求特征方向和特征曲面，总假设 a ai2 =1即取即取a ai为特征方向的方向余弦。为特征方向的方向余弦。1,mxx例：例：热传导方程热传导方程的特征方程为的特征方程为 a a12 +a a2
22、2 +a a32 =0由假设有由假设有 a a02 +a a12 +a a22 +a a32 =1从而从而 a a02 =1因此特征曲面为超平面因此特征曲面为超平面 t=常数常数2222222uuuuatxyz例：例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程对于两个自变量的二阶线性偏微分方程其特征方程为其特征方程为 a11a a12 +2+2a12a a1a a2+a22a a22=0 =0 满足上述关系的方向满足上述关系的方向(a a1,a a2)为特征方向，其特为特征方向，其特征线征线 (x,y)=0222211122212222uuuuuaaabbcufxx yyxy 满足满足 a11 x2
23、+2 2a a1212 x y+a22 y2=0 *求解这个方程。求解这个方程。对对 (x,y)=0微分并代入上式微分并代入上式 xdx+ydy=0 x=-ydydx a11dy2 -2a12dxdy+a22dx2=0 *偏微化为常微，求出偏微化为常微，求出 *的一族积分曲线的一族积分曲线 1(x,y)=C则，则，z=1(x,y)是是*方程的解。方程的解。求求*的积分曲线，将它分解为两个方程的积分曲线，将它分解为两个方程2121211221121212112211aaa adydxaaaa adydxa此时在此时在(x0,y0)的近旁有三种情况，记的近旁有三种情况，记 0 =a122-a11a
24、22 =0 0即，在即，在 (x0,y0)近旁近旁0 此时此时*有两族不同的实积有两族不同的实积分曲线分曲线 (x,y)=C和和 y y(x,y)=C引入自变量引入自变量 x x=(x,y),h h=y y(x,y)*由由*可看出可看出-x y、-y yx y yy是二次方程是二次方程 a11l l2 +2+2a12l l+a22=0 =0 两个不同实根，从而两个不同实根，从而即，上述自变量变换是可逆的。即，上述自变量变换是可逆的。(,)0(,)xyxyJx yx hyy由于由于ux=uxx xx+uhh hxuy=uxx xy+uh hh hyuxx=uxxx xx2+2uxhx xxh h
25、x+uhhh hx2+uxx xxx+uhh hxxuxy=uxxx xxx xy+uxh(x xxh hy+x xyh hx)+uhhh hxh hy +uxx xxy+uhh hxyuyy=uxxx xy2+2uxhx xyh hy+uhhh hy2+uxx xyy+uhh hyy原方程化为原方程化为 b11uxx+2b12uxh+b22uhh+c1ux+c2uh+Du=f其中其中b11=a11x xx2+2a12x xxx xy+a11x xy2 b12=a11x xxh hx+a12(x xxh hy+x xyh hx )+a22x xyh hy b22=a11h hx2+2a12h
26、hxh hy+a11h hy2 由由*和和*知知 b11=b22=0,*=b122-b11b12=*J2故故b120从而原方程化为从而原方程化为2(,)(,)(,)(,)uuuvufa x h x hx hx hx hxh 如果令如果令 x x=(s+t)2,h h=(s-t)2方程最终化为方程最终化为12(,)ttsstsuubub ucuf s t222211122212222uuuuuaaabbcufxx yyxy 1.5 与图像处理有关的偏微分方程的例子与图像处理有关的偏微分方程的例子几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程1.220(,0)
27、()uautu xux 其对应的滤波器具有锐化作用。其对应的滤波器具有锐化作用。2.0(,0)()BuDutu xux其中其中D为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭代有一定联系。迭代有一定联系。3.0()(,0)()ucurv uD utu xux这个方程叫做曲率流方程，与中值滤波器的这个方程叫做曲率流方程，与中值滤波器的迭代有一定联系。迭代有一定联系。4.130()(,0)()ucurv uDutu xux这个方程导出了这个方程导出了AMSS算子，它满足平移算子，它满足平移 不不变、灰度平移不变、仿射不变、数学形态学变、灰度平移不变、仿射不变、数学形态学等多种不变性。等多种不变性。
